Описанная и вписанная окружность. Работа №69900

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Описанная и вписанная окружность

8 класс

 

 

 

 

 

Аннотация:

по темам «Описанная и вписанная окружность» представлены методические разработки:

опорные

конспекты;

самостоятельные

работы

на

2

варианта;

задания

«укажи

верное

утверждение»

на

2

варианта;

приведены

ответы

 

 

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 класс

 

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

 

При этом многоугольник называется описанным около окружности.

 

 

 

• •

 

 

•

 

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной вершины

треугольника, равны.

 

 

•

 

В любой треугольник можно вписать окружность, и при том только одну.

 

Центр вписанной окружности − это точка пересечения биссектрис.

 

b c

 

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности:

𝟏𝟏

𝑆 = 𝑃 · 𝑟

𝟐𝟐

•

r

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

 

 

Если окружность вписана в четырехугольник

( если четырехугольник описан около окружности),

то суммы его противоположных сторон равны 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅

𝟏𝟏

𝑆 = 𝑃 · 𝑟

𝟐𝟐

 

 

В любой квадрат можно вписать окружность.

Центр окружности − точка пересечения диагоналей.

 

 

 

В любой ромб можно вписать окружность.

Центр окружности − точка пересечения диагоналей.

 

Площадь ромба равна половине произведения периметра на радиус вписанной в него окружности:

𝟏𝟏

𝑆 = 𝑃 · 𝑟

𝟐𝟐

 

 

•

 

Если окружность вписана в трапецию, то сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Центр окружности – точка пересечения биссектрис.

Высота трапеция равна диаметру вписанной окружности.

 

 

 

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 8 класс

 

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

 

1

•

•

 

 

 

 

В

На плоскости существует множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

Эти точки лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

 

А • I

 

I

 

 

 

2

 

Через любые 2 точки (на рисунке А и В) можно провести много окружностей.

3

 

 

•

 

 

 

Около любого треугольника можно описать окружность,

причем только одну.

Центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

На рисунке центр окружности лежит внутри треугольника, так как треугольник остроугольный.

 

4

 

гипо•тен

 

 

 

 

за

 

 

Центр окружности, описанной около прямоугольного

треугольника, лежит на середине гипотенузы. Радиус окружности равен половине гипотенузы.

 

5

 

 

•

 

 

 

 

Центр окружности, описанной около тупоугольного

треугольника, лежит вне треугольника.

 

6

 

Через любые три точки можно провести только одну окружность.

 

7

 

 

 

 

 

Не всегда около четырехугольника можно описать окружность.

8

 

 

•

a

 

 

 

 

b

Около любого прямоугольника всегда можно описать окружность.

Центр описанной окружности – точка пересечения диагоналей.

Радиус равен половине диагонали 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

 

 

 

 

9

 

 

•

Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к основаниям трапеции. Центр окружности может находиться вне трапеции, или внутри трапеции, или лежать на большем основании.

 

10

 

 

•

 

Около любого квадрата можно описать окружность. Центр окружности – точка пересечения диагоналей. Радиус равен половине диагонали.

 

11

 

 

Если окружность описана около четырехугольника, то сумма противоположных углов равна 180°.

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равна 180°.

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа по теме «Вписанная окружность» вариант 1

 

1

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

2

Периметр треугольника равен 33, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

3

В четырехугольник АВСД вписана окружность, АВ=17, СД=22.

Найдите периметр четырехугольника.

4

В четырехугольник АВСД вписана окружность, АВ=7, ВС=16 и СД=17.

Найдите четвертую сторону четырехугольника.

5

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 28.

6

Сторона ромба равна 34√3, острый угол равен 60°. Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

 

 

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа по теме «Вписанная окружность» вариант 2

 

1

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

2

Периметр треугольника равен 56, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

3

В четырехугольник АВСД вписана окружность, АВ=35, СД=19.

Найдите периметр четырехугольника.

4

В четырехугольник АВСД вписана окружность, АВ=7, ВС=13 и СД=11.

Найдите четвертую сторону четырехугольника.

5

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 24.

6

Сторона ромба равна 62√3, острый угол равен 60°. Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

 

 

 

 

Самостоятельная работа по теме «Описанная окружность» 1 вариант

 

1

В треугольнике АВС угол С равен 90° АС = 8, ВС = 15, Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

2

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС=16. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 10. Найдите АС.

3

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 25.

4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 11 и √135.

5

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной 5√2 .

6

Угол А четырехугольника АВСД, вписанного в окружность, равен 96°. Найдите угол С этого четырехугольника.

7

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20. Радиус описанной окружности

равен 26. Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

 

 

 

 

 

Самостоятельная работа по теме «Описанная окружность» 2 вариант

 

1

В треугольнике АВС угол С равен 90° АС = 5, ВС = 12, Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

 

2

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС=24. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 13. Найдите АС.

3

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 15.

4

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 12 и √112.

5

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной 3√2 .

6

Угол А четырехугольника АВСД, вписанного в окружность, равен 126°. Найдите угол С

этого четырехугольника.

7

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 14. Радиус описанной окружности

равен 25. Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

 

 

 

Задание №1

 

В

любой

треугольник

можно

вписать

окружность.

Только

в

равносторонний

треугольник

можно

вписать

окружность.

Центром

окружности,

вписанной

в

треугольник,

является

точка

пересечения

его

медиан.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис

треугольника.

Не

во

всякий

четырехугольник

можно

вписать

окружность.

Отрезки

касательных к

окружности

равны.

Задание №2

В

равносторонний

треугольник

можно

вписать

окружность.

В

тупоугольный

треугольник

нельзя

вписать

окружность.

Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения

его

медиан.

Центр

окружности,

вписанной

в

тупоугольный

треугольник,

лежит

вне

треугольника.

В

любой

ромб

можно

вписать

окружность.

В

любой параллелограмм

можно

вписать

окружность.

Задание №3

Окружность

можно

вписать

в

прямоугольный

треугольник.

Не

во

всякий

четырехугольник

можно

вписать

окружность.

Центром окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, является точка пересечения

его

диагоналей.

В

любом

описанном

четырехугольнике

суммы

противоположных сторон

равны.

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных

пе

рпендикуляров.

Отрезки

касательных

к

окружности,

проведенные

из одной

точки,

равны.

 

Задание№4

 

Центром

окружности,

вписанной

в

квадрат,

является

точка

пересечения

его

диагоналей.

В

любой

прямоугольник

можно

вписать

окружность.

Точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром окружности,

вписанной в

треугольник.

Центром окружности, вписанной в четырехугольник, является точка пересечения его

диагоналей.

В

любую

равнобедренную трапецию

можно

вписать

окружность.

В

любой

квадрат

можно

вписать

окружность.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №1

 

Через

любые

три точки

на

плоскости можно

провести окружность.

Если

стороны

прямоугольника

равны

6

и 8,

то

диаметр

описанной около

него

окружности

равен 10.

Сумма

двух

противоположных

углов

вписанного

в

окружность

четырехугольника

равна

90°.

Около

параллелограмма

нельзя

описать

окружность.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна радиусу окружности, описанной около этого

треугольника.

Центр

окружности,

описанной

около

треугольника

–

точка

пересечен

ия

его

биссектрис.

Задание №2

 

Около

треугольника

можно

описать

окружность.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных

перпендикуляров

к

его

сторонам.

Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, лежит на серединном

перпендикуляре

к

основаниям

трапеции.

Невозможно

построить

описанную

окружность

для

любого

равнобедренного

треугольника.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна

180°, то около него можно описать

окружность.

Около

ромба

можно

описать

окружность.

Задание №3

 

Около

любой

трапеции

можно

описать

окружность.

Если один из углов вписанного в окружность четырехугольника равен 63°, то противоположный

ему

угол четырехугольника

равен

117°.

Если

стороны

прямоугольника

равны

3

и

4,

то

диаметр

описанной около

него

окружности равен 5.

Через

любые

три различные

точки

плоскости

можно

провести не

менее

одной окружности.

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится внутри этого

треугольника.

 

6) Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность.

Задание №4.

 

Если

сумма

углов,

прилежащих к

боковой

стороне

четырехугольника

равна

180°,

то

около

него

можно

описать окружность.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него

окружности.

Центр

описанной

окружности

не

всегда

лежит

внутри

треугольника.

Центром

окружности,

описанной около

квадрата,

является

точка

пересечения

его

диагоналей.

Центром окружности, описанной около равнобедренной трапеции, является точка пересечения

диагоналей.

Около

тупоугольного

треугольника

нельзя

описать

окружность.

 

 

 

Ответы

Укажи номера верных утверждений по теме «Описанная окружность»

 

№1

№2

№3

№4

124

1235

236

234

 

Укажи номера верных утверждений по теме «Вписанная окружность»

 

№1

№2

№3

№4

145

135

1246

136

 

Самостоятельная работа по теме «Вписанная окружность» вариант 1

 

№1

№2

№3

№4

№5

№6

62

66

78

24

56

25,5

 

Самостоятельная работа по теме «Вписанная окружность» вариант 2

 

№1

№2

№3

№4

№5

№6

46

112

108

18

48

46,5

 

Самостоятельная работа по теме «Описанная окружность» вариант 1

 

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

8,5

12

50

8

5

84

34

 

 

 

Самостоятельная работа по теме «Описанная окружность» вариант 2

 

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

6,5

10

30

8

3

54

31