Название статьи:
Комбинаторные задачи как средство развития мышления учащихся. | Лина Алексеевна Винникова. Работа №240098
Дата публикации:
30.04.2020
Автор:
Лина Алексеевна Винникова
Описание:
Автор: Лина Алексеевна Винникова
Стохастика в учебниках математики представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики, начальных понятий теории вероятности. Применение комбинаторики в естествознании, технике, экономике, медицине, лингвистике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления. На основе комбинаторного анализа ученики приобретают способность устанавливать, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий. Деятельность учащихся в ходе обучения организуется на основе сознательной ориентировки в изучаемом материале. Действия комбинаторного анализа выполняются при опоре на схему полной ориентировочной основы действия)чаемом ния на основе я в словесной формею деятельность самого учащегося; , представленную в наглядной форме. Решение комбинаторных задач требует поэтапной отработки универсальных учебных действий, обеспечивающей последовательный переход от выполнения учеником действия с опорой на наглядность к умственной форме через выполнение действия в речевой форме, а затем и во внутренней речи («про себя»). Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Система упражнений строится таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.
Л. А. Винникова
Комбинаторные задачи как средство развития мышления учащихся.
Математика даёт широкие возможности для формирования таких психологических характеристик личности как подвижность и гибкость мышления: в ней существует целый ряд задач, направленных на поиски выхода из различных нестандартных ситуаций. Стохастика в учебниках математики представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики, начальных понятий теории вероятности. Знакомство с основными понятиями стохастики необходимо для того, чтобы мы могли познавать окружающий мир и создавать одну из научно обоснованных картин этого мира. Применение комбинаторики в естествознании, технике, экономике, медицине, лингвистике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления. На основе комбинаторного анализа ученики приобретают способность устанавливать, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий. Деятельность учащихся в ходе обучения организуется на основе сознательной ориентировки в изучаемом материале. Действия комбинаторного анализа выполняются при опоре на схему полной ориентировочной основы действия)чаемом ния на основе я в словесной формею деятельность самого учащегося; , представленную в наглядной форме. Решение комбинаторных задач требует поэтапной отработки универсальных учебных действий, обеспечивающей последовательный переход от выполнения учеником действия с опорой на наглядность к умственной форме через выполнение действия в речевой форме, а затем и во внутренней речи (про себя). Использование комбинаторики при решении задач позволяет расширить знания детей о задаче, познакомить с новым способом действий; формирует умения принимать решения, оптимальные в данном случае, развивает элементы творческой деятельности. Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Система упражнений строится таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.
Для формирования комбинаторных понятий эффективны занятия в групповой форме. Для этого все ученики класса разбиваются на группы, число учащихся в которых может изменяться – от минигруппы в 2-3 человека до 6-7 человек. Группы образуются для того, чтобы в процессе совместного решения задачи все ученики имели возможность высказывать своё мнение, сравнивать разные точки зрения, активно обсуждать способы решения и аргументировать свою позицию, проводить взаимную проверку и оценивание.
Развивать комбинаторное мышление позволяет решение задач с альтернативным условием. При их решении учащиеся находят несколько вариантов условия и соответственно несколько вариантов решения. Комбинаторика применяется на этапе поиска плана решения текстовых задач с числовыми данными.
Задача. Перед ареной цирка в первом ряду сидят 20 бабушек. Это в 2 раза больше, чем девочек, на 4 меньше, чем мальчиков, и в 10 раз больше, чем дедушек. Сколько бабушек, девочек и мальчиков сидят в первом ряду перед ареной?
Используя перестановку из трёх элементов, учащиеся находят шесть способов решения задачи.
Непосредственный перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднён. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей пользоваться такими средствами перебора, как таблицы и графы. Учащиеся используют ориентированные и неориентированные графы (в том числе с рёбрами двух цветов), двудольные графы с рёбрами двух цветов. Со второго класса учащиеся получают возможность решить задачи с помощью разных методов (составление таблиц, графов, дерева выбора) и сравнить их.
Комбинаторика - это постоянный эксперимент, моделирование различных жизненных ситуаций, что даёт толчок к исследовательской деятельности, которая, в свою очередь, развивает, учит видеть красоту человеческой мысли. Ученик испытывает чувство радости от осознания того, что объяснил все возможные варианты и от того, что нашёл решение задачи. Вопросы, которыми ученик задаётся при этом, ведут к новым задачам. Основная цель учителя на данном этапе - помочь ученику привести свои результаты к математическим. Исследования в области комбинаторики развивают воображение и наука становится дорогой к открытию. Пытаясь подойти к решению задачи с разных позиций, учащийся научится лучше решать задачи не только комбинаторные, но и все те, которые ставит жизнь. Рассмотрим виды комбинаций:
◄ Задачи на нахождение числа перестановок без повторений и с повторениями.
На подоконнике стоят в ряд три горшка с цветами: кактусом, фикусом и геранью. Каждый день мама ставит их по-новому. Сколько дней пройдет до того времени, когда горшки вновь окажутся на своих местах?
► Задачи на нахождение числа сочетаний без повторений и с повторениями.
На фабрике выпускают стержни для ручек четырех цветов: красного, синего, черного и зеленого. Сколько разных наборов трехцветных ручек можно при этом собрать?
◄ Задачи на нахождение числа размещений без повторений и с повторениями.
В зверинец привезли ламу, тигра, обезьяну и медведя. Сколько возможных вариантов расселения двух из пяти привезенных зверей в данные клетки?
► Способ выбора и упорядочения множеств. Задачи на упорядочение элементов множества. Одна девочка использует бусинки только двух цветов: белые и желтые. Какие отличающиеся друг от друга украшения она может сделать, если на одной подвеске нет бусинок одинакового цвета?
◄ Задачи на выбор подмножества и их упорядочение.
Запиши все двузначные числа, которые можно составить их цифр 3, 5, 9 и 1 так, чтобы число десятков было меньше числа единиц.
► Задачи на выбор подмножеств.
В классе в шахматы играют 4 человека: Настя, Алеша, Денис и Оксана. Напиши, какие были пары играющих, если каждый играл с каждым по одному разу.
Комбинаторные задачи, включенные в начальный курс математики, обладают рядом ценных качеств, которые полезны в образовательном процессе:
1) на комбинаторных моделях четко прослеживаются этапы использования математики в решении практических задач;
2) комбинаторные модели взяты из жизни;
3) наш мир построен на вероятности, нам часто приходится сталкиваться с ситуа-циями, разрешить которые жёстко детерминированным способом невозможно. Особенность решения комбинаторных задач заключается в том, что они имеют чаще всего не одно, а несколько решений.
Комбинаторные задачи можно решать различными методами. В курсе математики выделены два метода решения комбинаторных задач формальный и неформальный. Под формальным методом решения комбинаторной задачи понимают решение задачи с помощью использования формул комбинаторики и правил суммы и произведения. При формировании умения решать комбинаторные задачи формальным методом учащихся знакомят с чёткими определениями различных видов соединений (перестановками, размещениями, сочетаниями), с выводами соответствующих формул, с правилами суммы и произведения и лишь после этого рассматривают задачи, при решении которых используются полученные результаты. При формальном методе решения необходимо определить вид выборки, подобрать соответствующую формулу, подставить в нее числа и вычислить значение выражения. Значение выражения – это количество возможных вариантов, сами же эти варианты не образовываются. Под неформальным методом реше- ния комбинаторных задач понимают сам процесс составления различных вариантов. Понятия комбинация, соединения, выборка дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения. При неформальном методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. Основным методом решения комбинаторных задач в начальных классах является неформальный метод, так как он учитывает особенности мышления младших школьников, их опыт и не перегружает учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий. К неформальному методу можно отнести метод перебора. Различают хаотический и систематический (организованный) перебор. При хаотическом переборе учащиеся осуществляют перебор методом блуждания при отсутствии четкого плана в поисках ответа на поставленный вопрос. Типичными ошибками, которые допускают учащиеся при решении комбинаторных задач с помощью хаотического перебора, являются пропуск вариантов, их повторение. В начальной школе основным методом решения комбинаторных задач признан метод систематического перебора вариантов.
Вычислительный аспект комбинаторики весьма значителен, однако не вычисления являются основным моментом при решении возникающих в ней задач, а правильная организация процесса решения. Решить комбинаторные задачи можно только с использованием креативности мышления, эвристических подходов, учёта всех возможных вариантов, умения организовать их целенаправленный перебор. Комбинаторные задачи вызывают большой интерес и могут служить эффективным средством развития учеников.
Скачать работу
Комбинаторные задачи как средство развития мышления учащихся.
Математика даёт широкие возможности для формирования таких психологических характеристик личности как подвижность и гибкость мышления: в ней существует целый ряд задач, направленных на поиски выхода из различных нестандартных ситуаций. Стохастика в учебниках математики представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, наглядной и описательной статистики, начальных понятий теории вероятности. Знакомство с основными понятиями стохастики необходимо для того, чтобы мы могли познавать окружающий мир и создавать одну из научно обоснованных картин этого мира. Применение комбинаторики в естествознании, технике, экономике, медицине, лингвистике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления. На основе комбинаторного анализа ученики приобретают способность устанавливать, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий. Деятельность учащихся в ходе обучения организуется на основе сознательной ориентировки в изучаемом материале. Действия комбинаторного анализа выполняются при опоре на схему полной ориентировочной основы действия)чаемом ния на основе я в словесной формею деятельность самого учащегося; , представленную в наглядной форме. Решение комбинаторных задач требует поэтапной отработки универсальных учебных действий, обеспечивающей последовательный переход от выполнения учеником действия с опорой на наглядность к умственной форме через выполнение действия в речевой форме, а затем и во внутренней речи (про себя). Использование комбинаторики при решении задач позволяет расширить знания детей о задаче, познакомить с новым способом действий; формирует умения принимать решения, оптимальные в данном случае, развивает элементы творческой деятельности. Комбинаторные задачи, предлагаемые в начальных классах, как правило, носят практическую направленность и основаны на реальном сюжете. Система упражнений строится таким образом, чтобы обеспечить постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме.
Для формирования комбинаторных понятий эффективны занятия в групповой форме. Для этого все ученики класса разбиваются на группы, число учащихся в которых может изменяться – от минигруппы в 2-3 человека до 6-7 человек. Группы образуются для того, чтобы в процессе совместного решения задачи все ученики имели возможность высказывать своё мнение, сравнивать разные точки зрения, активно обсуждать способы решения и аргументировать свою позицию, проводить взаимную проверку и оценивание.
Развивать комбинаторное мышление позволяет решение задач с альтернативным условием. При их решении учащиеся находят несколько вариантов условия и соответственно несколько вариантов решения. Комбинаторика применяется на этапе поиска плана решения текстовых задач с числовыми данными.
Задача. Перед ареной цирка в первом ряду сидят 20 бабушек. Это в 2 раза больше, чем девочек, на 4 меньше, чем мальчиков, и в 10 раз больше, чем дедушек. Сколько бабушек, девочек и мальчиков сидят в первом ряду перед ареной?
Используя перестановку из трёх элементов, учащиеся находят шесть способов решения задачи.
Непосредственный перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных задач в некоторых случаях может быть затруднён. Облегчить процесс нахождения этих вариантов можно, научив детей пользоваться такими средствами перебора, как таблицы и графы. Учащиеся используют ориентированные и неориентированные графы (в том числе с рёбрами двух цветов), двудольные графы с рёбрами двух цветов. Со второго класса учащиеся получают возможность решить задачи с помощью разных методов (составление таблиц, графов, дерева выбора) и сравнить их.
Комбинаторика - это постоянный эксперимент, моделирование различных жизненных ситуаций, что даёт толчок к исследовательской деятельности, которая, в свою очередь, развивает, учит видеть красоту человеческой мысли. Ученик испытывает чувство радости от осознания того, что объяснил все возможные варианты и от того, что нашёл решение задачи. Вопросы, которыми ученик задаётся при этом, ведут к новым задачам. Основная цель учителя на данном этапе - помочь ученику привести свои результаты к математическим. Исследования в области комбинаторики развивают воображение и наука становится дорогой к открытию. Пытаясь подойти к решению задачи с разных позиций, учащийся научится лучше решать задачи не только комбинаторные, но и все те, которые ставит жизнь. Рассмотрим виды комбинаций:
◄ Задачи на нахождение числа перестановок без повторений и с повторениями.
На подоконнике стоят в ряд три горшка с цветами: кактусом, фикусом и геранью. Каждый день мама ставит их по-новому. Сколько дней пройдет до того времени, когда горшки вновь окажутся на своих местах?
► Задачи на нахождение числа сочетаний без повторений и с повторениями.
На фабрике выпускают стержни для ручек четырех цветов: красного, синего, черного и зеленого. Сколько разных наборов трехцветных ручек можно при этом собрать?
◄ Задачи на нахождение числа размещений без повторений и с повторениями.
В зверинец привезли ламу, тигра, обезьяну и медведя. Сколько возможных вариантов расселения двух из пяти привезенных зверей в данные клетки?
► Способ выбора и упорядочения множеств. Задачи на упорядочение элементов множества. Одна девочка использует бусинки только двух цветов: белые и желтые. Какие отличающиеся друг от друга украшения она может сделать, если на одной подвеске нет бусинок одинакового цвета?
◄ Задачи на выбор подмножества и их упорядочение.
Запиши все двузначные числа, которые можно составить их цифр 3, 5, 9 и 1 так, чтобы число десятков было меньше числа единиц.
► Задачи на выбор подмножеств.
В классе в шахматы играют 4 человека: Настя, Алеша, Денис и Оксана. Напиши, какие были пары играющих, если каждый играл с каждым по одному разу.
Комбинаторные задачи, включенные в начальный курс математики, обладают рядом ценных качеств, которые полезны в образовательном процессе:
1) на комбинаторных моделях четко прослеживаются этапы использования математики в решении практических задач;
2) комбинаторные модели взяты из жизни;
3) наш мир построен на вероятности, нам часто приходится сталкиваться с ситуа-циями, разрешить которые жёстко детерминированным способом невозможно. Особенность решения комбинаторных задач заключается в том, что они имеют чаще всего не одно, а несколько решений.
Комбинаторные задачи можно решать различными методами. В курсе математики выделены два метода решения комбинаторных задач формальный и неформальный. Под формальным методом решения комбинаторной задачи понимают решение задачи с помощью использования формул комбинаторики и правил суммы и произведения. При формировании умения решать комбинаторные задачи формальным методом учащихся знакомят с чёткими определениями различных видов соединений (перестановками, размещениями, сочетаниями), с выводами соответствующих формул, с правилами суммы и произведения и лишь после этого рассматривают задачи, при решении которых используются полученные результаты. При формальном методе решения необходимо определить вид выборки, подобрать соответствующую формулу, подставить в нее числа и вычислить значение выражения. Значение выражения – это количество возможных вариантов, сами же эти варианты не образовываются. Под неформальным методом реше- ния комбинаторных задач понимают сам процесс составления различных вариантов. Понятия комбинация, соединения, выборка дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения. При неформальном методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. Основным методом решения комбинаторных задач в начальных классах является неформальный метод, так как он учитывает особенности мышления младших школьников, их опыт и не перегружает учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса новых понятий. К неформальному методу можно отнести метод перебора. Различают хаотический и систематический (организованный) перебор. При хаотическом переборе учащиеся осуществляют перебор методом блуждания при отсутствии четкого плана в поисках ответа на поставленный вопрос. Типичными ошибками, которые допускают учащиеся при решении комбинаторных задач с помощью хаотического перебора, являются пропуск вариантов, их повторение. В начальной школе основным методом решения комбинаторных задач признан метод систематического перебора вариантов.
Вычислительный аспект комбинаторики весьма значителен, однако не вычисления являются основным моментом при решении возникающих в ней задач, а правильная организация процесса решения. Решить комбинаторные задачи можно только с использованием креативности мышления, эвристических подходов, учёта всех возможных вариантов, умения организовать их целенаправленный перебор. Комбинаторные задачи вызывают большой интерес и могут служить эффективным средством развития учеников.
