Публикация авторского материала: «Конспект урока Подобие тел» автор Голубева Марина Альбертовна

Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два тела подобны, если одно из них может быть получено из другого путём увеличения (или уменьшения) всех его линейных размеров в одном и том же отношении.

Пример 1: Автомобиль и его модель – подобные тела. Два тела (фигуры) зеркально подобны, если одно из них подобно зеркальному отражению другого. 

Пример 2: Картина и её фотонегатив зеркально подобны друг другу.

В подобных и зеркально подобных фигурах все соответственные углы (линейные и двугранные) равны.

В подобных телах  многогранные и телесные углы равны; в зеркально подобных телах они зеркально равны.

Если два тетраэдра (две треугольные пирамиды) имеют соответственно пропорциональные рёбра (или соответственно подобные грани), то они подобны или зеркально подобны.

Пример 3: Если грани первой пирамиды вдвое больше, чем у второй, то высоты, апофемы, радиус описанного круга первой пирамиды также вдвое больше, чем у второй.

Эта теорема не имеет места для многогранников с большим числом граней. Предположим, что мы соединили все рёбра куба в его вершинах посредством шарниров; тогда мы можем изменить форму этой фигуры, не растягивая её стержни, и получить из начального куба параллелепипед. 

Пример 4: Две правильные призмы или пирамиды с одинаковым числом граней подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.  Два круглых цилиндра или конуса подобны, если радиусы их оснований пропорциональны их высотам.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Если два и более тел подобны, то площади всех соответствующих плоских и кривых поверхностей этих тел пропорциональны квадратам любых соответствующих отрезков.

 УТВЕРЖДЕНИЕ2:Если два и более тел подобны, то их объёмы, а также объёмы любых их соответствующих частей, пропорциональны кубам любых соответствующих отрезков.

П р и м е р 5:   Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см  вмещает  0.5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды ?

Решение: 

Поскольку чашки – подобные цилиндры, то отношение их

объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков

( в нашем случае – высот и диаметров чашек). Следовательно,

высота  h  новой чашки находится из отношения:

( h / 10 ) 3 =  4 / 0,5,

то есть  h 3 = 8 · 10 3,  откуда  h = 20 см;

аналогично, для диаметра  d  получим:

( d / 8 ) 3 =  4 / 0,5 , 

то есть  d 3  = 8 · 8 3,  откуда  d = 16 см .

Объемы подобных тел пропорциональны кубам соответствующих линейных размеров.

Пример 6: На рисунке выше показаны два куба, сторона одного из которых в 3 раза больше стороны другого.

Объем тела с рисунка а) V=x*x*x=x3

Объем тела с рисунка б) V=3x*3x*3x=27x3

Следовательно, тело на рис. б) имеет объем объем 33, т.е. его объем в 27 раз больше объема тела на рис. а).

Пример 7: Определение массы тела, подобного данному.

Масса автомобиля 1050 кг. Изготовлена модель автомобиля в масштабе 1:60. Определить массу модели автомобиля, если она сделана из того же материала, что и сам автомобиль.

Решение:

(Объем модели)/(объем автомобиля)=(1/60)3, поскольку объемы подобных тел пропорциональны кубам соостветствующих линейных размеров.

Масса =плотность*объем, а так как автомобиль и модель сделаны из одного материала, значит:

(Масса модели)/(Масса автомобиля)=(1/60)3

Следовательно,

Масса модели = (Масса автомашины) *(1/60)3=(10050)/(603)=0,0049 кг=4,9г.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Известно, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно 8 (большего к меньшему). Высота меньшего параллелепипеда равна 6 см. Чему равна высота большего параллелепипеда?

Задача 2. Эйфелева башня, высотою 300 метров, весит 8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной 1,5 м?

Задача 3.Объем данного правильного тетраэдра равен 128см3. Найдите объем правильного тераэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра.

Задача 4. Игрушечное ведерко вдесятеро ниже настоящего такой же формы, вмещающего 30 фунтов воды. Сколько воды вмещает игрушечное ведерко?

Задача 5. Деревянная модель проектируемого железного сооружения имеет в высоту 10 см и весит 30 граммов. Сооружение должно иметь в высоту 10 метров. Определить его вес. Железо тяжелее дерева в 16 раз.

Задача 6. Поверхности двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?