Публикация авторского материала: «Прогрессии в жизни человека». Автор Евдокимова Маргарита Игоревна

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 4
Орехово-Зуевский городской округ
Московской области
Итоговый индивидуальный проект
Тема: Прогрессии в жизни человека.
Автор: обучающаяся 9 класс Б
Чурикова Анна,
Руководитель: учитель математики
Евдокимова Маргарита Игоревна,
2019-2020 учебный год
Содержание
Введение …………………………………………………………. 3
Исторические сведения………………………………………….. 3
Применение арифметической и геометрической прогрессий
в различных сферах жизни человека ……………………………. 4
Вспомним теорию …………………………………………….. 4
Прогрессии в природе…………………………………………. 5
Прогрессии в медицине ………………………………………..6
Прогрессии в спорте…………………………………………….7
Прогрессии в строительстве……………………………………7
Прогрессии в физике……………………………………………8
Прогрессии в финансах…………………………………………8
Прогрессии в технике…………………………………………..9
Заключение…………………………………………………………10
Используемые интернет-ресурсы…………………………………10
Введение.
Нередко на уроках математики нам предлагали задания: продолжи ряд 3, 5, 7, 9, … или 3, 6, 12, … Изучив на уроках алгебры темы Арифметическая и геометрическая прогрессии, я поняла, что с ними мы встречались уже давно, ещё в начальной школе.
При подготовке к ОГЭ был целый раздел заданий на применение основных формул прогрессий. Просматривая задания в открытом банке заданий ЕГЭ по математике, я также обнаружила задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий, но уже с практическим содержанием.
Актуальность темы. Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения. Недаром говорят, что математика -- царица всех наук. Прогрессии встречаются в литературе, в строительстве, в медицине, в спорте, в экономике, в политике, в природе, в химии и других науках.
Гипотеза исследования: прогрессии имеют большое практическое значение, они встречаются практически во всех сферах жизни человека.
Цель проекта:
изучить историю возникновения понятия прогрессии
выявить интересные факты о прогрессиях
рассмотреть применение прогрессий в жизненных ситуациях
создать сборник задач с практическим применением прогрессий с решениями.
Задачи проекта:
Найти в интернете и литературе дополнительные сведения о прогрессиях.
Рассмотреть задачи по теме Прогрессии с практическим содержанием.
Решить ряд задач на прогрессии для подготовки к ГИА и созданию сборника задач.
Практическая значимость проекта заключается в расширении знаний о прогрессиях. Исторические сведения и дополнительный материал можно будет использовать на уроках и факультативных занятий по математике.
Исторические сведения.
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. До наших дней дошли задачи на прогрессии из древности, которые были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Термин “прогрессия” (означает движение вверх) был введен римским автором Боэцием (в VI веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке).
Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Примеры арифметических и геометрических прогрессий встречаются в клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры.
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве проявлял выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.
Задача – легенда:
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. два зерна, на третью – еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна и так далее до 64 – ой клетки.
Царь был удивлен, когда узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.
Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Применение арифметической и геометрической прогрессий
в различных сферах жизни человека
Вспомним теорию.
Арифметическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, увеличенному на одно и то же число.
Основные формулы:
аn = а1 + (n- 1)d ,
Геометрическая прогрессия — прогрессия, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Основные формулы:
Прогрессии в природе.
Бактерии.
Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения называется поколением.
Справка:
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
Интенсивность размножения бактерий использую в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).
Тля.
За 1 – 1,5 летних месяцев одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
Муха.
Если бы потомство одной пары мух не погибало по различным причинам, то девятое поколение наполнило бы куб со стороной 140 км, а если сравнить с нитью, то такая нить опоясала бы земной шар 40 млрд. раз.
Одуванчик.
Аналогично один одуванчика за 10 лет даст потомство, которое может покрыть сушу земного шара 15 раз.
Воробьи.
Потомство воробьёв может покрыть весь земной шар за 35 лет.
Прогрессии в медицине.
Задача из сборника к подготовке к ГИА.
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Решение:
Итак приём капель по данным задачи будет выглядеть следующим образом:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Выделен первый период приёма лекарства, найдём количество дней приёма лекарства за первый период.А затем сумму арифметической прогрессии.ап=а1+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, Sп=((a1+aп)n)/2, S8=(5+40)·8:2=180,
Мы высчитали, что180 капельбольной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель). Теперь найдём необходимое количество пузырьков: 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
Прогрессии в спорте.
Задача с сайта Решу ЕГЭ. Также данная задача есть в задачнике Алгебра 9 класс для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г., П.В. Семенов.
Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?
Решение.
Опять арифметическая прогрессия. Первый день а1 = 1400, разность прогрессии
d = -100, сумма прогрессии Sn=5000. Найти n.
Sn =
5000 =
10000= (2800-100 n+100) n; 100 n2-2900 n+10000=0;
n2-29 n+100=0; n=25, n=4.
Условию задачи удовлетворяет n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)
Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.
Ответ: за 4 дня.
Прогрессии в строительстве.
Задание 11№99580 (Решу ЕГЭ)
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.
Решение.
Каждый день бригада увеличивает норму прокладки на одно и тоже количество метров, значит мы имеем дело с арифметической прогрессией. Сумма метров проложенного тоннеля за все дниравна пятьсот метров, первый член прогрессии -- три метра.
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
В последний день рабочие проложили 97 метров тоннеля.
Ответ: 97
Прогрессии в физике
Задача по материалам ГИА и из учебника Макарычева Ю.Н. Алгебра 9 класс.
При свободном падении тело прошло в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.
Решение. а1 = 4,9 м, а2 = 14,7 м, а3 = 24,5 м, а4 = 34,3 м, а5 = 44,1 м.
Всего за пять секунд 4,9+14,7+24,5+34,3+44,1=122,5 (м).
Ответ: 122,5м.
Справка.
Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.
Прогрессии в финансах.
Задача.
Вкладчик решил положить в банк на год 50 тыс. рублей. Известно, что в одном банке вклад возрастает за год на 25%, а в другом он возрастает ежемесячно на 2% от накопленной суммы. В каком из банков доход будет больше и на сколько?
Решение:
Вычислим доходы в первом банке через год: 50000 ∙ 0,25 = 12500 (тыс.руб). Тогда за год будет 50000 + 12500 = 62500 р.
Во втором банке ситуация другая:
500 ∙ 2 = 1000 рублей проценты в месяц, после первого месяца 50000 + 1000 = 51000 р.
51000 + 51000 ∙ 0,02 = 52020 р. (за 2 месяц) и т.д.
Через год сумма станет 63412 рублей. А это сумма больше, чем в первом банке, следовательно 2 банк выгоднее.
63412 - 62500 = 912 р.
Ответ: во 2 на 912 р.
Прогрессии в технике
Задача.
После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Определим давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт. ст.
Решение
После каждого движения поршня в сосуде остается 80% воздуха. Это геометрическая прогрессия.
b1 = 760, q = 1 – 0,2 = 0,8 b7 = 760 ∙ 086 ≈ 200
Ответ: 200 мм.рт.ст.
Прогрессии встречаются также в химии, геометрии, музыке, литературе и других науках. На них основаны финансовые пирамиды.
Прогрессии дошли до нас и в старинных задачах.
Заключение:
В данной работе я рассмотрела исторические сведения применении последовательностей, основные определения и формулы; привела примеры применения арифметической и геометрической прогрессии в различных отраслях, решила задачи на применение прогрессий с практическим содержанием по отраслям.
Цели и задачи, поставленные мною, достигнуты полностью. Знания по данной теме помогут мне в подготовке к ГИА по математике, а также в различных жизненных ситуациях.
Результатом моей исследовательской работы является написание сборника задач на прогрессии с решениями. Данный сборник поможет моим одноклассникам при подготовке к ОГЭ, его можно использовать на уроках алгебры, факультативных занятиях и консультациях по математике. Данное исследование позволит расширить кругозор знаний учащихся.
Используемые интернет-ресурсы
Сайт Старт в науке https://school-science.ru/6/7/38052
Сайт Видео уроки в интернете https://videouroki.net/
Сайт База - электронная библиотека https://docbaza.ru/naurok/matematika/text-40905086.html
Сайт Академия занимательных наук http://www.radostmoya.ru/project/akademiya_zanimatelnyh_nauk_matematika/video/?watch=progressii_geometricheskoe_podobie
9