Тригонометрия вокруг нас | Шаймухаметова Карина Ренатовна. Работа №215456

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Югорский государственный университет» (ЮГУ)

НИЖНЕВАРТОВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИКУМ

(филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего образования «Югорский государственный университет»

(ННТ (филиал) ФГБОУ ВО «ЮГУ»)

 

 

 

 

 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По ОУДб04 МАТЕМАТИКА

 

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

 

ННТО. 21.02.01. 3РЭ81

 

 

Разработала Шаймухаметова К.Р.

 

Руководитель Карсакова Е.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижневартовск 2019 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ЗНАКОМСТВО С ТРИГОНОМЕТРИЕЙ 5

1.1. История возникновения и ученые тригонометрии 5

ГЛАВА 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ ВОКРУГ НАС 8

2.1. Тригонометрические функции в физике 8

2.2. Тригонометрия в биологии и медицине 9

2.3. Тригонометрия в искусстве и архитектуре 12

2.4. Тригонометрические функции в музыке 13

2.5. Тригонометрия в астрономии 15

2.6. Тригонометрические функции в навигации 16

2.7. Тригонометрия в профессиональной деятельности 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 18

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как музыка, архитектура,  электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия,  сейсмология, метеорология, многие разделы физики, экономика, электронная техника, машиностроение.

Проблема: при изучении различных научных направлений, люди зачастую не только не указывают применение тригонометрии в данной области, но и не знают о нем.

Актуальность: большинство физических явлений природы, физиологических процессов, закономерностей в науках и их разделах можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

Цель исследования:

1. Раскрыть связь тригонометрии с реальным миром;

2. Изучить основные методы применения тригонометрии в различных науках.

3. Познакомиться с тригонометрией как с наукой.

Задачи исследования:

о

светить сферу влияния тригонометрии

на н

аучную область

;

произвести общее знакомство с историей тригонометрии

и учеными, вносящими вклад в данную науку.

Объект исследования: тригонометрия.

Предмет исследования: применение тригонометрии в областях разных наук и в реальной жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Знакомство с тригонометрией

 

1.1. История возникновения и ученые тригонометрии

История зарождение тригонометрии уходит глубоко в древность. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая.

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами. Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора. Ван дер Варден, голландский математик, считал, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общее и логически связное изложение тригонометрических соотношений появилось в древнегреческой геометрии. Греческие математики ещё не выделяли тригонометрию как отдельную науку — для них она была частью астрономии.

Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется важная теорема деления хорд, по существу эквивалентная формуле синуса половинного угла:

sin =

В Средневековье тригонометрия продолжала свое развитие, пусть еще официально и не существовавшая как наука.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию, ученые которой внесли свой вклад в тригонометрию. Ими были Брахмагупта, Варахамихира, Ариабхата и другие.

Исламские и европейские ученые произвели множество работ в области тригонометрии.

Ибн Юнис (X век) открыл преобразование произведения тригонометрических функций в сумму:

sin α sin β =

В IX веке ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом 1°, его современник Хаббаш аль-Хасиб добавил к ним первые таблицы тангенсов, котангенсов и косекансов (с тем же шагом). Была приведена теорема тангенсов для сферических треугольников, описано важное понятие полярного треугольника.

Наконец, как упоминалось ранее, немецкий ученый Бартоломеус Питискус впервые упоминает термин «тригонометрия» в 1595 г. как название книги.

В 1900 году немецкий историк и математик Антон фон Браунмюль  опубликовал первую монографию в двух томах, специально посвящённую истории тригонометрии. В XX веке крупные работы по этой теме опубликовали И. Г. Цейтен, М. Б. Кантор, О. Нейгебауэр, Б. А. Розенфельд, Г. П. Матвиевская и другие.

Ученых, уделивших своё внимание тригонометрии, достаточно большое количество за всё время ее развития. Но наиболее значительный вклад внесли в тригонометрию Ж. Э. Монтукла, Ж. Б. Ж. Деламбр, Г. Ганкель, П. Таннери и др.

Глава 2. Тригонометрия вокруг нас

 

2.1. Тригонометрические функции в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением:

x = m cos (ωt + f0).

Механические колебания. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером простой механической колебательной системы может служить математический маятник (Рисунок 2.1)

Рисунок 2.1 - Маятник

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Значительный интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

 

2.2. Тригонометрия в биологии и медицине

Биоритмы

- периодически повторяющиеся изменения характера и интенсивности би

ологических процессов и явлений.

Человек со дня рождения находится в трех, биоритмах: физическом, эмоциональном и интеллектуальном (рис.2).

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм – он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2 - Биоритмы

 

Физический цикл равен 23 дням. Он определяет энергию человека, его силу, выносливость, координацию движения.

Эмоциональный цикл (28 дня) обусловливает состояние нервной системы и настроение.

Интеллектуальный цикл (33 дня) определяет творческую способность личности.

Любой из циклов состоит из двух полупериодов, положительного и отрицательного.

Модель биоритмов строят с помощью графиков тригонометрических функций. Повсеместно для расчета биоритмов используется формула:

B = sin ()×100 %

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции (Рисунок 2.3)

Рисунок 2.3 – График функции y=

 

 

 

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду (Рисунок 2.4)

 

Рисунок 2.4 - Синусоида

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз

Вахидом-Резой

Аббаси

, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к

электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, постановку диагноза и начало лечения. 

Российские ученые вывели математическую формулу сердца. Благодаря этим уравнениям можно высчитать, спрогнозировать и предотвратить любое сердечное заболевание.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен.

 

2.3. Тригонометрия в искусстве и архитектуре

Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Чтобы на практике показать использование тригонометрии в создании произведений искусства, можно привести пример на построение одной скульптуры французского мастера.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал (Рисунок 2.5), она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности.

Рисунок 2.5 - Статуя

В результате проведения множества расчетов, выяснилось, что, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдя точку зрения.

Если статую поднять на высоту АС и НС, можно рассчитать значения косинуса угла С. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества:

 

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий: Детская школа Гауди в Барселоне, Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине, мост в Сингапуре. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии

.

2.4. Тригонометрические функции в музыке

«Геометрическая теория музыки» - это метод анализа музыкальных произведений, который точно обеспечивает связь между тригонометрией и музыкой. 

Каждая нота в рамках новой теории представляется как логарифм частоты соответствующего звука. Аккорд, таким образом, представляется как точка с заданными координатами в геометрическом пространстве. Аккорды сгруппированы в различные «семейства», которые соответствуют различным типам геометрических пространств.

При разработке нового метода авторы использовали 5 известных типов музыкальных преобразований – октавная перестановка (O), пермутация (P), транспозиция (T), инверсия (I) и изменение кардинальности (C). Все эти преобразования формируют так называемые OPTIC-симметрии в n-мерном пространстве и хранят музыкальную информацию об аккорде – в какой октаве находятся его ноты, в какой последовательности они воспроизведены, сколько раз повторяются и прочее.

Различные комбинации этих 5-ти симметрий формируют множество различных музыкальных структур, одни из которых уже известны в теории музыки, а другие являются принципиально новыми понятиями.

В качестве примера можно привести геометрическое представление различных типов аккордов из четырех звуков – тетраэдр. Сферы на графике представляют типы аккордов, цвета сфер соответствуют величине интервалов между звуками аккорда (Рисунок 2.6).

«Геометрический» метод анализа музыки может привести к созданию новых музыкальных инструментов и новых способов восприятия музыки. Новая терминология также поможет более углубленно сравнивать музыкальные произведения композиторов разных эпох и представлять результаты исследований в более удобной математической форме.

Рисунок 2.6 – Теория музыки

 

2.5. Тригонометрия в астрономии

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии. Поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили вычислять заранее моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на Солнце крест нитей в угломерных инструментах.

Решение сферических треугольников - одна из задач астрономии. Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения и по степеням и , знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом.

В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы:

Теорема синусов

=

=

Теорема косинусов для углов

=

 

2.6. Тригонометрические функции в навигации

Под навигацией мы понимаем науку, целью которой является изучение и создание наиболее удобных и полезных способов навигации. Так, ученые разрабатывают несложные навигации, представляющие собой построение маршрута из одной точки в другую. Данные маршруты необходимы мореплавателям, которые в течение своего путешествия сталкиваются с множеством вопросов по курсу движения. Также навигация необходима: летчикам, которые управляют сложными высокотехничными самолетами, ориентируются, порой в очень экстремальных ситуациях; космонавтам, чья работа связана с риском для жизни, со сложным построением маршрута и его освоением.

При создании маршрута мореходцами, необходимо точная и кропотливая работа. Так, для прокладки курса корабля на карте, которая была выполнена в проекции Герхарда Меркатора в 1569 году, была острая необходимость определить широту. Однако при выходе в море до XVII века мореплавателями широта не указывалась. Впервые применил тригонометрические расчеты в навигации Эдмонд Гюнтер в 1623 году.

С помощью тригонометрии, пилоты могли рассчитывать ветряные погрешности, для наиболее точного и безопасного ведения самолета. Для того чтобы осуществить данные вычисления, нужно обратиться к треугольнику скоростей. Данным треугольником выражаются образованный воздушной скорости (V), вектор ветра (W), вектор путевой скорости (Vп). ПУ – путевой угол, УВ – угол ветра, КУВ – курсовой угол ветра (Рисунок 2.7) .

Рисунок 2.7 – Треугольник скоростей

Для решения навигационного треугольника скоростей используются счетные устройства, использующие навигационную линейку.

 

2.7. Тригонометрия в профессиональной деятельности

Тригонометрические функции находят своё применение и в моей будущей профессиональной деятельности по специальности разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений.

К примеру, деятельность оператора по добыче нефти и газа основана на наблюдении и контроле над работой станка-качалки. Проследив за изменениями в ее работе, и составив динамограмму, представляющую способ текущего контроля работы станка-качалки, можно выявить, что деятельность качалки описывается с помощью тригонометрических функций (Рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Контроль работы станка-качалки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время применение тригонометрии в различных областях достаточно обширно, что я и представила в своём индивидуальном проекте. Тригонометрия вносит свой вклад как в вычислении некоторых природных явления, так и в планировки постройки зданий, к примеру. Кроме того, я выявила применение тригонометрии в астрономии, музыке, медицине, физике и биологии.

Также, в работе мной было представлено ознакомление с историей возникновения тригонометрии и с учеными, внесшими вклад в зарождение и развитие этой науки.

В проекте представлено достаточно полезной и увлекательной информации. Сферы, в которых тригонометрия нашла применение, будут расширяться.

В ходе создания проекта я:

узнала о связи

моделей биоритмов и графиков тригонометрических функций

;

научилась

рассчитывать синус угла падения взгляда с помощью таблицы тригонометрический функций;

доказала важность роли

тригонометрии

в изучении окружающего мира

;

закрепила знания о свойствах тригонометрических функций.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Учебная и монографическая литература

Александров, Рыжик, Вернер. «Геометрия. 11 класс. Учебник. Углублённый уровень», 2017 г.

Потапов М.

К

,

Александров

В. В.,

Пасиченко

П. И. «Алгебра, тригонометрия и элементарные функции», 2015 г.

Гнездовский

Ю.Ю.,

Горбузов

В. Н.,

Проневич

А. Ф. «Тригонометрия. Справочник для учащихся», 2013 г.

Маслова Т.Н.,

Суходский

А.М. «Справочник школьника по математике», 2014 г.

Бермант

А.Ф., Люстерник Л.А. «Тригонометрия», 2015 г

.

Гельфанд И.М., Львовский С.М.,

Тоом

А.Л.

«Тригонометрия»,  

2013 г.

Марков А.А.

«

Введение в анализ и сферическая тригонометрия. Лекции

». 2015 г.

Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. «

Предшественники современной математики

»

, 2012 г.

Шапиро И.М. «Пособие по тригонометрии», 2016 г

Интернет-ресурсы

«

Википедия

».

«

Юрайт

» - электронная библиотека.

https://sites.google.com/site/webcvestiscustvo/home/primenenie-trigometriceskih-funkcij-v-arhitekture

http://artsintrygonometry.blogspot.com/2015/01/blog-post.html

https://sites.google.com/site/trigonometry121/trigonometria-v-zizni

https://sites.google.com/site/trigonometry121/istoria