Публикация авторского материала: «Уравнение касательной». автор Ядыкина Людмила Васильевна | Работа №221568

Урок по теме " Уравнение касательной."

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый с применением кейс- технологии.

Цель урока:

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.

Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Задачи урока:

повторить и обобщить

технику

дифференцирования, понятия геометрического и механического смысла производной;

вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций;

учить работать с теоретическими вопросами темы;

решать задания

из

ЕГЭ

на

применение производной;

проверить свои знания при самостоятельном решении задач.

Ход урока.

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций. Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве.

Математический диктант

(критерии оценивания-10-«5»,7-9-«4»,менее 7-«2»).

1 вариант

2 вариант

1

2х

n*xn-1

2

-1/х2

1/2√х

3

k*f , (х)

u,v+uv,

4

-1/sin2х

-sinx

5

n*xn-1

0

6

1/cos2x

u,+v,

7

v,*u,(х)

-cosx

8

1

(u,v-uv,) /v2

9

k

-1/√1-х2

10

f,(х0)

1/√1-х2

Математический диктант написан, лист с ответами сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал диктант без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

НАЙДИТЕ ОШИБКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ

1) f(x) = 2x – 3
2) f(x) = 3x4 – 7x3 + 2x2 + р
3) f(x) = x3 + v2
4) f(x) = (3 – 4x)2
5) f(x) = (х3 –2x)2
6) f(x) = (1 + 2х)(1 – 2х)
7) f(x) = 2 sinx
8) f(x) = –1/3 cos (3x + р/4)
9) f(x) = ctg (2 – 5x)
10) f(x) = 2x3  – 3sin3x

А) f'(x) = 12x3 – 21x2 + 4x
Б) f(x) = – 8(3 – 4x) 
В) f'(x) = – 8x
Г) f'(x) = 2
Д) f'(x) = 2(3x2 – 2) (x3 – 2x)
Е) f'(x) = sin (3x + р/4)
Ж) f'(x) = 5/ sin2(2 – 5x)
З) f'(x) = 6x2 – 9cos 3x
И) f(x) = 2 cosx
К) f'(x) = 3x2

номер функции

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

номер составляющей производной

Г

А

К

Б

Д

В

И

Е

Ж

З

10 – «5»
8 – 9 – «4»

6 – 7 – «3»
5 – 0 – «2»

Учащиеся в таблице сопоставляют функцию, и ее производную. Взаимопроверка друг у друга. Результат в маршрутный лист.

Используется прием «Инсерт».

Что называется

производной?

В чем состоит ф

из

иче

ский смысл производной?

В чем состоит геометрический смысл производной?

Каким уравнением задается линейная функция

?

Что является графиком линейной функции?

Чему равен угловой коэффициент прямой

?

Как влияет угловой коэффициент прямой на расположение касательной в системе координат?

Какая прямая называется касательной к графику функции?

Определите, на каком рисунке изображена касательная к графику функции у=

f

(

x

)?

10.Запишите уравнение касательной к графику функции.

Отметьте « +» те вопросы, ответ на которые вам известен,

« -»те вопросы, ответ на которые вам неизвестен,

√ те вопросы, ответить на которые вы сомневаетесь…

Назовите тему сегодняшнего урока и цель.

Тема : «Уравнение касательной».

Цель: вывести уравнение касательной.

Составить алгоритм для нахождения касательной любой функции.

Класс разбиваем на группы.

Кейс.
1. Если окажется, что производная данной функции в данной точке существует, то уравнение касательной можно привести к виду y=kx+b. Вспомним, что угловой коэффициент прямой k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох или значению производной функции в точке проведения касательной, т.е. y=f `(хо)· x+b.

Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку А(xo; f(xo)), т.е. f(xo)=f ´(xo)·x0 +b, т.е. b = f(xo) – f ´(xo)·x0 , т.е.

y=f ,(хо)· x+ f(xo) – f ´(xo)·x0, после преобразований имеем:

y = f(xo) + f ´(xo) · (x – xo)

2. Пусть некоторая функция, дифференцируемая в точке . На графике функции  , который приведен на рис. 2,выделена точка  , где  . Прямая   является секущей, а касательная  есть предельное положение секущей  при условии, что точка  стремится к точке  .

    Для составления уравнения касательной, проведенной к графику функции  в точке  с абсциссой , обычно используются формулы (1) и (2), известные из школьных учебников по математике:

                                                                                            (1)

или

                                      .                                      (2)

    Однако при решении задач на составление уравнений касательных данные формулы не отражают тот факт, что касательная является прямой линией. В этой связи уравнение касательной целесообразно представлять в виде  . Сделать это нетрудно, поскольку формула (2) равносильна формуле  

    Формула (3) имеет вид уравнения прямой линии , где    и  .

3.Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента

Выведем теперь уравнение касательной

к графику функции

f

в точке

А(

x

0

, f(x

0

)

).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b.

Найдём угловой коэффициент

k = f '(х

0

),

получим

y = f '(х

0

)∙

x + b, f(x) = f '(х

0

)∙x + b

Найдём

b

. 

b = f(x

0

) - f '(х

0

)∙

x

0

.

Подставим полученные значения

k

и

b

в уравнение прямой:

y = f '(х0)∙x + f(x0) - f '(х0)∙x0 или 

y = f(x0) + f '(х0)(x - x0)

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Значение функции в точке касания

2. Общую производную функции

3. Значение производной в точке касания

4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

4.Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции  в точке  проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике 

Отсюда Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке .

После работы с кейсами - каждая группа представляет свою версию нового материала.

После защиты- озвучиваем полученный результат.

Составим алгоритм для нахождения касательной,

Критерии оценивания:

4 – «5»
3 – «4»

1-2 – «2»

Подготовка к ЕГЭ (каждая решенная задача оценивается 1 баллом)

Решение заданий ЕГЭ с применением производной.

Контролирующая самостоятельная работа ( на слайде).

7.Подведение итогов урока

Каким вопросам был посвящен урок?

Чему научились на уроке?

Какие теоретические факты обобщались на уроке?

Какие рассмотренные задания ЕГЭ оказались наиболее сложными? Почему?

Подвести итоги по «Маршрутным листам» и озвучить их.

И, наконец -немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер.

Имеют ли они отношение к теме нашего урока?

Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока?

8. Домашнее задание:

Выучить теоретические факты. П. 40-43 №43.34-43.43.

Подобрать нерассмотренные задания ЕГЭ, создать презентацию интересных заданий

Приложение: маршрутный лист.

ФИ

№

1

Математический диктант1

2

«Найди ошибку»

3

Математический диктант2

4

Работа с кейсами

5

Решение опорных задач

6

Задачи из ЕГЭ

7

Контролирующая самостоятельная работа

Итог