Название статьи:
Устные приемы вычислений. Свойства интересные и удивительные | Цымбалюк Татьяна Николаевна. Работа №207165
Дата публикации:
17.03.2019
Автор:
Цымбалюк Татьяна Николаевна
Описание:
Автор: Цымбалюк Татьяна Николаевна
В практике работы учителя довольно широко используют общие приемы устных вычислений, основанные на десятичной нумерации и законах арифметических действий, так называемые «удобные способы». Вопрос о том, действительно ли этот способ «удобен» всем ученикам, обычно не дискутируется. Эта проблема начинает приобретать «хроническое состояние» уже с 1-го класса, становится нормой, с которой учитель заранее смиряется. В каждом классе есть ученики, испытывающие трудности при устных вычислениях, при этом считается, что это их обычная проблема и уж если «не дано, так не дано». Что же касается специальных приемов устных вычислений, то им отведено более скромное место на уроках.
Введение
Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов, наличие компьютеров, овладение новыми информационными технологиями ставит необходимость жесткой отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее владение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одаренностью.
Однако, по моему глубокому убеждению, необходимость организации и проведения устных вычислений продиктована образовательными, практическими и развивающими целями. Устные вычисления в сочетании с иными видами упражнений способствуют активизации мыслительной деятельности, развитию логического мышления, сообразительности, памяти, творческих начал и волевых качеств. Высокая культура устных вычислений имеет немаловажное значение для облегчения письменных вычислений, обеспечивая их правильность и экономя время.
В практике работы учителя довольно широко используют общие приемы устных вычислений, основанные на десятичной нумерации и законах арифметических действий, так называемые удобные способы. Вопрос о том, действительно ли этот способ удобен всем ученикам, обычно не дискутируется. Эта проблема начинает приобретать хроническое состояние уже с 1-го класса, становится нормой, с которой учитель заранее смиряется. В каждом классе есть ученики, испытывающие трудности при устных вычислениях, при этом считается, что это их обычная проблема и уж если не дано, так не дано. Что же касается специальных приемов устных вычислений, то им отведено более скромное место на уроках.
Специальным, творческим приемам устных вычислений уделяли внимание прогрессивные педагоги во все времена. Так профессор естествознания С.А. Рачинский оставляет кафедру столичного университета иедет в свое село Татево, что на Смоленщине, учить крестьянских детей. С.А Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счету полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво; учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.
В 1891 году С.А.Рачинский издал книгу 1001 задача для умственного счета, которая была первым в России сборником упражнений по устному счету.
Работу по культивированию устных вычислений я провожу постоянно, систематически и органически связываю с изучаемым программным материалом. При этом не ограничиваюсь только специально отводимыми на уроке пятиминутками устного счета.
Так, наблюдая и выявляя свойства чисел и действий над ними, дети накапливают сведения и используют их затем при вычислениях.
Б. А. Кордемский в книге Математическая смекалка советовал: Покопайтесь в огромном месиве чисел, которых больше, чем руды в земле, и вы найдете свойства интересные и удивительные, диковинные и забавные, неожиданные и курьезные.
Привитие ученикам элементов такой поисковой, творческой работы весьма положительно сказывается на формировании их личности.
Приведу некоторые специальные приемы устных вычислений:
.
1 Умножение чисел, близких к100 ………………………………………………..
2 Умножение чисел близких , но меньше 10n……………………………………
3 Умножение чисел близких , но больше10n…………………………………….
4 Умножение чисел, близких к 10 n., одно из которых больше
10 n, а другое меньше 10 n……………………………………………………….
5 Умножение чисел, близких к 5 ▪ n ……………………………………………..
6 Умножение чисел, близких к а 10 n…………………………………………..
7 Умножение многозначных чисел на 9,99,999……………………………………
10. Умножение чисел, у которых:
1. число единиц одинаково, а сумма единиц сомножителя = 10
2. сумма десятков = 10, число единиц одинаково
3. цифры одного числа одинаковы, а цифры другого = 10…………………………
11 Умножение однозначных чисел
1. оба числа начинаются на 5
2. оба числа оканчиваются на 5
3. одно из чисел состоит из одних 5………………………………………………….. 6
12.1 Умножение на 11, 22, 33, …99……………………………………………….. 6
12.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5………………………………… 7
12.3 Умножение и деление на 25 ,50 75, 125, 250, 500 ………………………… 7
12.4 Умножение и деление на 37 …………………….………………………….. 9
12.5 Умножение и деление на 111 ………………………………………………. 10
12.6 Умножение двух рядом стоящих чисел …………………………………… 10
12.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 …………………………………………….. 10
12.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые ………………………………………………. 11
12.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1 ………………………………… 11
12.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001 ………… 12
3.11 Задача Гаусса ………………………………………………………………. 13
Заключение………………………………..…………………..…………….......... 14
Список литературы…………………………………………………………….... 16
4
4
4
4
5
5
5
6
Умножение чисел, близких к 100.
94 98 = 9212 Дополним каждый множитель до 100
6 2
Правила:
1. Из любого сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя (98 – 6 или 94 – 2 = 92)
2. 92 – это первые цифры в записи произведения
3. Найти произведение дополнений 6 2 = 12
4. Приписать полученное произведение дополнений - 12 к разности сомножителей.
Пример:
99 84 = 8316 99 – 16 = 84 – 1 = 83
1 16 1 16 = 16 n
2. Умножение чисел, близких, но меньше 10
1. Найти дополнение каждого числа до 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до 10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. Результат, полученный во втором пункте, умножить на 10 n и к полученному произведению прибавить произведение дополнений. Или к результату, полученному во втором пункте, приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало столько разрядов, сколько их в числе, к которому приписывается произведение.
Пример:
997 998 = 995006 99991 99995 = 999860045 3 2 9 5 997 -2 = 998 3 = 995 99991 5 = 99995 9 =9998 3 2 = 6 9 5 = 45 3. Умножение чисел, близких, но больше 10 n.
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 10 n
2. К одному из сомножителей прибавить дополнение второго сомножителя до 10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. К результату, полученному во втором пункте приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало n разрядов. 100 = 10 n = 2
Пример:
1)104 102 = 10608 ( у 100 – 2 нуля)
4 2
104 + 2 = 102 + 4 = 106
2) 1024 1003 = 1027072 3) 1015 1024 = 1039360
24 3 15 24
4. Умножение чисел, близких к 10 n., одно из которых больше
10 n, а другое меньше 10 n.
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. Вычесть из 10 n произведение дополнений
5. К результату, полученному во втором пункте и уменьшенному на 1, приписать результат вычислений пункта 4
Пример:
1)107 95 = 10165 7 5 107 5 = 95 + 7 = 102 102 1 = 101 7 5 = 35 100 35 = 65 2) 121 99 = 11979 21 1 3) 10024 9998 = 100219952 24 2 10024 2 = 9998 + 24 = 10022 10000 48 = 9952 (n = 4) 5. Умножение чисел, близких к 5 10 n ( т.е. близких к 50, 500, 5000 и т.д.)
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 5 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение другого
3. К полученному результату приписать столько нулей, сколько цифр в каждом из сомножителей, а затем полученное число разделить на 2. (Или полученный результат умножить на 10 n +1 и разделить на 2)
4. Найти произведение дополнений
5. К полученному в пункте 3 результату прибавить произведение дополнений
Пример:
48 47 = 2256 1) 48 – 3 = 47 – 2 = 45
2 3 2) 4500 3) 4500 : 2 = 2250 4) 2250 +6=2256
6. Умножение чисел, близких к а 10 n
1. Найти дополнение каждого множителя до а 10 n
2. К одному дополнению прибавить другое
3. Полученную сумму умножить на а
4. Приписать к результату произведение дополнений (произведение занимает n – разрядов)
Пример:
402 401 = 161202 418 405 = 169290
2 1 18 5
403 4 = 1612 423 4 = 1692
7. Умножение многозначных чисел на 9
1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого
2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10
Пример:
576 9 = 5184 379 9 = 3411
576 – (57 + 1) = 576 – 58 = 518 . 379 – (37 + 1) = 341 .
4 1
8. Умножение на 99
1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1
2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100
3. Приписываем дополнение к предшествующему результату
Пример:
27 99 = 2673 (сотен – 0) 134 99 = 13266
27 – 1 = 26 134 – 2 = 132 (сотня – 1 + 1)
100 – 27 = 73 66
9. Умножение на 999 любого числа
1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1
2. Находим дополнение до 1000
23 999 = 22977 ( тысяч – 0 + 1 = 1)
23 – 1 = 22
1000 – 23 = 977
124 999 = 123876 ( тысяч – 0 + 1 = 1)
124 – 1 = 123
1000 – 124 = 876
1324 999 = 1322676 (тысяча – 1 + 1 = 2)
1324 – 2 = 1322
1000 – 324 = 676
10. Умножение чисел, у которых:
1. число единиц одинаково, а сумма единиц сомножителя = 10
2. сумма десятков = 10, число единиц одинаково
3. цифры одного числа одинаковы, а цифры другого = 10
К произведению десятков сомножителей + повторяющаяся цифра
2. Приписываем произведение единиц (число двузначное)
Примеры:
58 52 = 3016 84 24 = 2016 88 37 = 3256
5 5 + 5 = 30 8 2 + 4 = 20 8 3 + 8 = 32
8 2 = 16 4 4 = 16 8 7 = 56
11. Умножение однозначных чисел
1. оба числа начинаются на 5
2. оба числа оканчиваются на 5
3. одно из чисел состоит из одних 5
Находим произведение десятков
Находим полусумму не пятерок
Складываем первые два результата
Находим произведение единиц сомножителей
Найденное произведение приписываем к результату пункта 3
Примеры:
54 58 = 3132 85 45 = 3825 55 62 = 3410 5 5 = 25 8 4 = 32 5 6 = 30 (4 + 8) : 2 = 6 ( 8 + 4 ) : 2 = 6 (6 + 2 ) : 2 = 4 25 + 6 = 31 32 + 6 = 38 30 + 4 = 34 4 8 = 32 5 5 = 25 5 2 = 10 12.1 Умножение на 11, 22, 33, …99
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:
72 11= 7 (7+2) 2 = 792;
35 11 = 3 (3+5) 5 = 385.
Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:
94 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;
5911 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.
44= 4 11; 55 = 511 и т. д.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
48 22 =48 2 (22 : 2) = 96 11 =1056;
24 22 = 24 2 11 = 48 11 = 528;
23 33 = 23 3 11 = 69 11 = 759;
18 44 = 18 4 11 = 72 11 = 792;
16 55 = 16 5 11 = 80 11 = 880;
16 66 = 16 6 11 = 96 11 = 1056;
14 77 = 14 7 11 = 98 11 = 1078;
12 88 = 12 8 11 = 96 11 = 1056;
8 99 = 8 9 11 = 72 11 = 792.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.
12.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой – уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
44 5 = (44 : 2) 5 2 = 22 10 = 220;
28 15 = (28 : 2) 15 2 = 14 30 = 420;
32 25 = (32 : 2) 25 2 = 16 50 = 800;
26 35 = (26 : 2) 35 2 = 13 70 = 910;
36 45 = (36 : 2) 45 2 = 18 90 = 1625;
34 55 = (34 : 2) 55 2 = 17 110 = 1870;
18 65 = (18 : 2) 65 2 = 9 130 = 1170;
12 75 = (12 : 2) 75 2 = 6 150 = 900;
14 85 = (14 : 2) 85 2 = 7 170 = 1190;
12 95 = (12 : 2) 95 2 = 6 190 = 1140.
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.
12.3 Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500
Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.
На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.
Например:
124 делится на 4, так как 24 делится на 4;
1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;
1800 делится на 4, так как 00 делится на 4
Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
Примеры:
484 25 = (484 : 4) 25 4 = 121 100 = 12100
124 25 = 124 : 4 100 = 3100
Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
Примеры:
12100 : 25 = 12100 : 100 4 = 484
31100 : 25 = 31100 :100 4 = 1244
Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.
Примеры:
32 75 = (32 :4) 75 4 = 8 300 = 2400
48 75 = 48 : 4 300 = 3600
Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.
Примеры:
2400 : 75 = 2400 : 300 4 = 32
3600 : 75 = 3600 : 300 4 = 48
Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.
Примеры:
432 50 = 432 :2 50 2 = 216 100 = 21600
848 50 = 848 : 2 100 = 42400
Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
Примеры:
21600 : 50 = 21600 : 100 2 = 432
42400 : 50 = 42400 : 100 2 = 848
Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.
Примеры:
428 500 = (428 :2) 500 2 = 214 1000 = 214000
2436 500 = 2436 : 2 1000 = 1218000
Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.
Примеры:
214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428
1218000 : 500 = 1218000 : 1000 2 = 2436
Прежде чем научиться умножать и делить на 125. надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.
Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.
Примеры:
3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;
5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;
12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.
Примеры:
632 : 8, так как т.е. 64 : 8;
712 : 8, так как т.е. 72 : 8;
304 : 8, так как т.е. 32 : 8;
376 : 8, так как т.е. 40 : 8;
208 : 8, так как т.е. 24 : 8.
Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить
на 8.
Примеры:
32 125 = (32 : 8) 125 8 = 4 1000 = 4000;
72 125 = 72 : 8 1000 = 9000;
4000 : 125 = 4000 : 1000 8 = 32;
9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.
Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.
Примеры:
36 250 = (36 : 4) 250 4 = 9 1000 = 9000;
44 250 = 44 : 4 1000 = 11000.
Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.
Примеры:
9000 : 250 = 9000 : 1000 4 = 36;
11000 : 250 = 11000 : 1000 4 = 44
12.4 Умножение и деление на 37
Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.
Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Примеры:
24 37 = (24 : 3) 37 3 = 8 111 = 888;
27 37 = (27 : 3) 111 = 999.
Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3
Примеры:
999 : 37 = 999 :111 3 = 27;
888 : 37 = 888 :111 3 = 24.
12.5 Умножение на 111
Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.
Примеры:
24 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;
36 111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;
17 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.
Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.
12.6 Умножение двух рядом стоящих чисел
Примеры:
1) 12 13 = ?
1 1 = 1
1 (2+3) = 5
2 3 = 6
156
2) 23 24 = ?
2 2 = 4
2 (3+4) = 14
3 4 = 12
552
3) 32 33 = ?
3 3 = 9
3 (2+3) = 15
2 3 = 6
1056
4) 75 76 = ?
7 7 = 49
7 (5+6) = 77
5 6 = 30
5700
Проверка:
12
13
36
12_
156
Проверка:
23
24
92
46_
552
Проверка:
32
33
96
96_
1056
Проверка:
75
76
450
525_
5700
Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)
12.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Пример:
24 26 = (24 – 4) (26 + 4) + 4 6 = 20 30 + 24 = 624.
Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.
18 12 = 2 1 сот. + 8 2 = 200 + 16 = 216;
16 14 = 2 1 100 + 6 4 = 200 + 24 = 224;
23 27 = 2 3 100 + 3 7 = 621;
34 36 = 3 4 сот. + 4 6 = 1224;
71 79 = 7 8 сот. + 1 9 = 5609;
82 88 = 8 9 сот. + 2 8 = 7216.
Можно решать устно и более сложные примеры:
108 102 = 10 11 сот. + 8 2 = 11016;
204 206 = 20 21 сот. +4 6 = 42024;
802 808 = 80 81 сот. +2 8 = 648016.
Проверка:
802
808
6416
6416__
648016
12.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.
Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.
Примеры:
72 32 = (7 3 + 2)сот. + 2 2 = 2304;
64 44 = (6 4 + 4) 100 + 4 4 = 2816;
53 53 = (5 5 +3) 100 + 3 3 = 2809;
18 98 = (1 9 + 8) 100 + 8 8 = 1764;
24 84 = (2 8 + 4) 100+ 4 4 = 2016;
63 43 = (6 4 +3) 100 +3 3 = 2709;
35 75 = (3 7 + 5) 100 +5 5 = 2625.
12.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1
Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.
Примеры:
1) 81 31 = ?
8 3 = 24
8 + 3 = 11
1 1 = 1
2511
81 31 = 2511
2) 21 31 = ?
2 3 = 6
2 +3 = 5
1 1 = 1
651
21 31 = 651
3) 91 71 = ?
9 7 = 63
9 + 7 = 16
1 1 = 1
6461
91 71 = 6461
12.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001
Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
Примеры:
32 101 = 3232
Проверка:
32
101
32
32__
3232
48 101 = 4848;
56 101 = 5656.
Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.
Примеры:
324 1001 = 324324
Проверка:
324
1001
324
324___
324324
648 1001 = 648648;
999 1001 = 999999.
Приемы, основанные на свойствах арифметических действий. Речь идет не о классификации приемов, а лишь о чисто условном, относительном их различении. К решению одного и того же примера можно применить разные приемы.
1) Прием, основанный на использовании свойств арифметических действий:
389 + 467+ 211 = (389 + 211) + 467 = 600 + 467 = 1067
375 + 287 + 125 +213 = (375 + 125) + (287 + 213) = 500 + 500 = 1000
827 – 430 – 227 = 827 – 227 – 430 = 600 – 430 = 170
2357 + 1996 + 3047 = 2357 + 1996 + 3000 + 43 + 4 = (2357 + 43) + (1996 + 4) =
+ 3000 = 3000 + 3000 + 2000 = 8000
25 ∙ 37∙ 4 = 37 ∙ (25 ∙ 4) = 37 ∙ 100 = 3700
∙ 4 + 4 ∙ 13 = ( 87 + 13) ∙ 4 = 100 ∙ 4 = 400
367 : 5 – 167 : 5 (367 – 167) : 5 = 200 : 5 = 40
2) Прием округления:
399 + 473 = 400 + 472 = 872
497 + 196 + 299 = 492 + 200 + 300 = 992
196 + 199 + 197 = 200 ∙ 3 - 8 = 600 – 8 = 592
752 – 298 = 754 – 300 = 454
143 + 27 + 38 + 29 = 150 + 20 + 37 + 30 = 237
427 + 28 + 7 + 20 + 652 = 430 + 649 + 30 + 5 + 20 = 1079 + 1 + 54 = 1134
198 ∙ 3 = (200- 2) ∙ 3 = 600 – 6 = 594
35 ∙ 18 = 35 ∙ (20 – 2) = 700 – 70 = 630
52 ∙ 21 = 52 ∙ (20 + 1) = 1040 + 52 = 1092
596 : 4 = (600 – 4) : 4 = 150 – 1 = 149
3) Прием замены одних действий другими:
730 – 644 = 736 – 650 = 36 + 50 = 86
29 = 27 = 31 =33 = 30 ∙ 4 = 120
4) Прием, основанный на зависимости результата от изменения компонентов действий:
56 – 38 = 60 – 42 = 18
40 004 – 30 005 = 40 000 – 30 001 = 9999
225 6 75 = 450 : 150 = 3
440 : 55 = 880 : 110 = 8
364 : 6 + 118 : 3 = 364 : 6 + 236 : 6 = ( 364 + 236) :6 = 600 : 6 = 100
На этом же принципе основаны приемы умножения и деления на 5, 50, 500, 25, 250,15, 125:
36 ∙5 = (36 : 2) ∙ 10 = 180
∙ 50 = (826 : 2) ∙ 100 = 41300
∙ 25 = (84 : 4) 100 = 2100
496 ∙ 25 = (496 : 4) ∙ 100 = 12400
24 ∙ 15 = 12 ∙ 30 = 360
496 ∙ 125 = ( 496 : 8) ∙ 1000 = 62000
4340 : 5 = (4340 : 10) ∙ 2 = 868
8900 : 25 = (8900 : 100) ∙ 4 = 89 ∙ 4 = (90 – 1) ∙ 4 = 360 – 4 = 356
4000 6125 = 32000 : 1000 = 32
96000 : 125 + (96000 : 1000) ∙ 8 = 96 ∙ 8 = (100 -4) ∙ 8 = 800 – 32 = 768
5) Приемы умножения на 9, 99, 11, 101, 1001:
26 ∙ 9 = 25 ∙ (10 – 1)= 250 – 25 = 225
35 ∙ 99 = 3500 – 35 = 3465
37 ∙ 11 = 37 ∙ (10 +1) = 407
73 ∙101 = 7300 + 73 = 7373
735 ∙ 1001 = 735000 + 735 = 735735
6) Приемы последовательного умножения и деления:
75 ∙ 8 = 75 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 150 ∙ 2 ∙ 2 = 300 ∙ 2 = 600
18 ∙ 35 = 18 ∙ 5 ∙ 7 = 90 ∙ 7 = 630
35 ∙ 18 = 35 ∙ 2 ∙ 9 = 70 ∙ 9 = 630
23 ∙ 55 = 23 ∙ 5 ∙ 11 = 115 ∙11 = 1150 115 = 1265
540 : 4 = (540 : 2) : 2 = 270 : 2 = 135
960 : 15 = (960 : 3) : 5 = 320 : 5 = 640 : 10 = 64
256 : 8 = 256 : 2 : 2 :2 = 128 : 2 : 2 = 64 : 2 = 32
7) Приемы, основанные на тождественных преобразованиях числовых выражений:
(375 + 118) + (375 – 118) = 375 ∙ 2 = 750
(375 + 118) – (375 – 118) = 118 ∙ 2 = 236
(254 ∙ 399 + 399) : (399 ∙ 256 – 399) = (255 ∙ 399) : (255 ∙ 399) = 1
8) Приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий:
а) Сразу можно записать ответ 3 ∙ 7 ∙ 37, если знать, что 37 ∙ 3 = 111
б) Зная число Шахразады 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13, сразу можно получить результат
7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 6787 = 678678
в) Наблюдая примеры
1 + 3 = 4 = 2 ∙ 2
1 + 3 + 5 = 9 = 3 ∙ 3
1 + 3+ 5+ 7 = 16 = 4 ∙ 4, можно легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению числа, выражающего количество слагаемых самого на себя.
г) Можно использовать для вычислений такую закономерность:
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
(Ее впервые подметил знаменитый итальянский математик XVI в. Николо Тарталья.)
д) Известен такой эпизод. Было это в XVШ в. в одной из немецких школ. Чтобы выиграть время для работы с другим классом, учитель дал детям, на его взгляд, долговременное задание: найти сумму всех чисел от 1 до 100 включительно. Но не успел он выйти из класса, как один мальчик назвал ответ: 5050. Способ решения этой задачи самостоятельно нашел восьмилетний ученик Карл Гаусс, будущий великий математик.
Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось ещё в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца. Можно легко находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел, заметив, что сумма крайних из них, равна сумме любых двух других, равноудаленных от начала и конца ряда, например:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (5 + 11) + (6 + 10) + (7 + 9) + 8 = 16 ∙ 3 + 8 = 56
Посчитать сумму чисел от и до
Чисел
Пар
Сумма крайних
Результат
От 1 до 20
20
10
21
210
От 1 до 100
100
50
101
5050
От 1 до 50
50
25
51
1275
От 1 до 30
30
15
31
465
От 1 до n
n
n/2
n +1
n ( n+1)/2
От 101 до 300
200
100
401
40100
От 51 до 450
400
200
501
100200
е) При определении разности трехзначных чисел, отличающихся только порядком записи цифр, достаточно найти цифру единиц этой разности, средняя цифра всегда 9, а цифра сотен в сумме с цифрой единиц тоже равна 9, например: 581 – 185 = 396.
Список литературы:
1. Златко Шпорер. Ох, эта математика! М, 1981
2. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия: В 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т.1.
3. Кольман Э. История математики в древности.— М., 1961.
4. Математика Приложение к газете Первое сентября №2 2001.
5. Математика Приложение к газете Первое сентября №3 2000.
6. Наука и жизнь №10, 2007.
7. Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. Учпедгиз 1962.
8. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике /2-е изд., перераб. – Мн.: 1984. – 224 с.
Интернет-ресурсы:
http://karmanform.ucoz.ru/index/0-21
http://school.msu.ru/)
HYPER13PAGE HYPER15
2
Скачать работу
Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов, наличие компьютеров, овладение новыми информационными технологиями ставит необходимость жесткой отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее владение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одаренностью.
Однако, по моему глубокому убеждению, необходимость организации и проведения устных вычислений продиктована образовательными, практическими и развивающими целями. Устные вычисления в сочетании с иными видами упражнений способствуют активизации мыслительной деятельности, развитию логического мышления, сообразительности, памяти, творческих начал и волевых качеств. Высокая культура устных вычислений имеет немаловажное значение для облегчения письменных вычислений, обеспечивая их правильность и экономя время.
В практике работы учителя довольно широко используют общие приемы устных вычислений, основанные на десятичной нумерации и законах арифметических действий, так называемые удобные способы. Вопрос о том, действительно ли этот способ удобен всем ученикам, обычно не дискутируется. Эта проблема начинает приобретать хроническое состояние уже с 1-го класса, становится нормой, с которой учитель заранее смиряется. В каждом классе есть ученики, испытывающие трудности при устных вычислениях, при этом считается, что это их обычная проблема и уж если не дано, так не дано. Что же касается специальных приемов устных вычислений, то им отведено более скромное место на уроках.
Специальным, творческим приемам устных вычислений уделяли внимание прогрессивные педагоги во все времена. Так профессор естествознания С.А. Рачинский оставляет кафедру столичного университета иедет в свое село Татево, что на Смоленщине, учить крестьянских детей. С.А Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счету полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он всегда учил детей решать задачи быстро, оригинально, красиво; учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.
В 1891 году С.А.Рачинский издал книгу 1001 задача для умственного счета, которая была первым в России сборником упражнений по устному счету.
Работу по культивированию устных вычислений я провожу постоянно, систематически и органически связываю с изучаемым программным материалом. При этом не ограничиваюсь только специально отводимыми на уроке пятиминутками устного счета.
Так, наблюдая и выявляя свойства чисел и действий над ними, дети накапливают сведения и используют их затем при вычислениях.
Б. А. Кордемский в книге Математическая смекалка советовал: Покопайтесь в огромном месиве чисел, которых больше, чем руды в земле, и вы найдете свойства интересные и удивительные, диковинные и забавные, неожиданные и курьезные.
Привитие ученикам элементов такой поисковой, творческой работы весьма положительно сказывается на формировании их личности.
Приведу некоторые специальные приемы устных вычислений:
.
1 Умножение чисел, близких к100 ………………………………………………..
2 Умножение чисел близких , но меньше 10n……………………………………
3 Умножение чисел близких , но больше10n…………………………………….
4 Умножение чисел, близких к 10 n., одно из которых больше
10 n, а другое меньше 10 n……………………………………………………….
5 Умножение чисел, близких к 5 ▪ n ……………………………………………..
6 Умножение чисел, близких к а 10 n…………………………………………..
7 Умножение многозначных чисел на 9,99,999……………………………………
10. Умножение чисел, у которых:
1. число единиц одинаково, а сумма единиц сомножителя = 10
2. сумма десятков = 10, число единиц одинаково
3. цифры одного числа одинаковы, а цифры другого = 10…………………………
11 Умножение однозначных чисел
1. оба числа начинаются на 5
2. оба числа оканчиваются на 5
3. одно из чисел состоит из одних 5………………………………………………….. 6
12.1 Умножение на 11, 22, 33, …99……………………………………………….. 6
12.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5………………………………… 7
12.3 Умножение и деление на 25 ,50 75, 125, 250, 500 ………………………… 7
12.4 Умножение и деление на 37 …………………….………………………….. 9
12.5 Умножение и деление на 111 ………………………………………………. 10
12.6 Умножение двух рядом стоящих чисел …………………………………… 10
12.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 …………………………………………….. 10
12.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые ………………………………………………. 11
12.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1 ………………………………… 11
12.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001 ………… 12
3.11 Задача Гаусса ………………………………………………………………. 13
Заключение………………………………..…………………..…………….......... 14
Список литературы…………………………………………………………….... 16
4
4
4
4
5
5
5
6
Умножение чисел, близких к 100.
94 98 = 9212 Дополним каждый множитель до 100
6 2
Правила:
1. Из любого сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя (98 – 6 или 94 – 2 = 92)
2. 92 – это первые цифры в записи произведения
3. Найти произведение дополнений 6 2 = 12
4. Приписать полученное произведение дополнений - 12 к разности сомножителей.
Пример:
99 84 = 8316 99 – 16 = 84 – 1 = 83
1 16 1 16 = 16 n
2. Умножение чисел, близких, но меньше 10
1. Найти дополнение каждого числа до 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до 10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. Результат, полученный во втором пункте, умножить на 10 n и к полученному произведению прибавить произведение дополнений. Или к результату, полученному во втором пункте, приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало столько разрядов, сколько их в числе, к которому приписывается произведение.
Пример:
997 998 = 995006 99991 99995 = 999860045 3 2 9 5 997 -2 = 998 3 = 995 99991 5 = 99995 9 =9998 3 2 = 6 9 5 = 45 3. Умножение чисел, близких, но больше 10 n.
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 10 n
2. К одному из сомножителей прибавить дополнение второго сомножителя до 10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. К результату, полученному во втором пункте приписать произведение дополнений, следя за тем, чтобы оно занимало n разрядов. 100 = 10 n = 2
Пример:
1)104 102 = 10608 ( у 100 – 2 нуля)
4 2
104 + 2 = 102 + 4 = 106
2) 1024 1003 = 1027072 3) 1015 1024 = 1039360
24 3 15 24
4. Умножение чисел, близких к 10 n., одно из которых больше
10 n, а другое меньше 10 n.
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение второго сомножителя до10 n
3. Найти произведение дополнений.
4. Вычесть из 10 n произведение дополнений
5. К результату, полученному во втором пункте и уменьшенному на 1, приписать результат вычислений пункта 4
Пример:
1)107 95 = 10165 7 5 107 5 = 95 + 7 = 102 102 1 = 101 7 5 = 35 100 35 = 65 2) 121 99 = 11979 21 1 3) 10024 9998 = 100219952 24 2 10024 2 = 9998 + 24 = 10022 10000 48 = 9952 (n = 4) 5. Умножение чисел, близких к 5 10 n ( т.е. близких к 50, 500, 5000 и т.д.)
1. Найти дополнение каждого из сомножителей до 5 10 n
2. Из одного сомножителя вычесть дополнение другого
3. К полученному результату приписать столько нулей, сколько цифр в каждом из сомножителей, а затем полученное число разделить на 2. (Или полученный результат умножить на 10 n +1 и разделить на 2)
4. Найти произведение дополнений
5. К полученному в пункте 3 результату прибавить произведение дополнений
Пример:
48 47 = 2256 1) 48 – 3 = 47 – 2 = 45
2 3 2) 4500 3) 4500 : 2 = 2250 4) 2250 +6=2256
6. Умножение чисел, близких к а 10 n
1. Найти дополнение каждого множителя до а 10 n
2. К одному дополнению прибавить другое
3. Полученную сумму умножить на а
4. Приписать к результату произведение дополнений (произведение занимает n – разрядов)
Пример:
402 401 = 161202 418 405 = 169290
2 1 18 5
403 4 = 1612 423 4 = 1692
7. Умножение многозначных чисел на 9
1. Число десятков увеличим на 1 и вычтем из множимого
2. К результату приписываем дополнение цифры единиц множимого до 10
Пример:
576 9 = 5184 379 9 = 3411
576 – (57 + 1) = 576 – 58 = 518 . 379 – (37 + 1) = 341 .
4 1
8. Умножение на 99
1. Из числа вычитаем число его сотен, увеличенное на 1
2. Находим дополнение числа, образованного двумя последними цифрами до 100
3. Приписываем дополнение к предшествующему результату
Пример:
27 99 = 2673 (сотен – 0) 134 99 = 13266
27 – 1 = 26 134 – 2 = 132 (сотня – 1 + 1)
100 – 27 = 73 66
9. Умножение на 999 любого числа
1. Из умножаемого вычитаем число тысяч, увеличенное на 1
2. Находим дополнение до 1000
23 999 = 22977 ( тысяч – 0 + 1 = 1)
23 – 1 = 22
1000 – 23 = 977
124 999 = 123876 ( тысяч – 0 + 1 = 1)
124 – 1 = 123
1000 – 124 = 876
1324 999 = 1322676 (тысяча – 1 + 1 = 2)
1324 – 2 = 1322
1000 – 324 = 676
10. Умножение чисел, у которых:
1. число единиц одинаково, а сумма единиц сомножителя = 10
2. сумма десятков = 10, число единиц одинаково
3. цифры одного числа одинаковы, а цифры другого = 10
К произведению десятков сомножителей + повторяющаяся цифра
2. Приписываем произведение единиц (число двузначное)
Примеры:
58 52 = 3016 84 24 = 2016 88 37 = 3256
5 5 + 5 = 30 8 2 + 4 = 20 8 3 + 8 = 32
8 2 = 16 4 4 = 16 8 7 = 56
11. Умножение однозначных чисел
1. оба числа начинаются на 5
2. оба числа оканчиваются на 5
3. одно из чисел состоит из одних 5
Находим произведение десятков
Находим полусумму не пятерок
Складываем первые два результата
Находим произведение единиц сомножителей
Найденное произведение приписываем к результату пункта 3
Примеры:
54 58 = 3132 85 45 = 3825 55 62 = 3410 5 5 = 25 8 4 = 32 5 6 = 30 (4 + 8) : 2 = 6 ( 8 + 4 ) : 2 = 6 (6 + 2 ) : 2 = 4 25 + 6 = 31 32 + 6 = 38 30 + 4 = 34 4 8 = 32 5 5 = 25 5 2 = 10 12.1 Умножение на 11, 22, 33, …99
Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр:
72 11= 7 (7+2) 2 = 792;
35 11 = 3 (3+5) 5 = 385.
Чтобы умножить 11 на двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения:
94 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;
5911 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.
Чтобы двузначное число умножить на 22, 33. …99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 1 до 9) на 11, т.е.
44= 4 11; 55 = 511 и т. д.
Затем произведение первых чисел умножить на 11.
48 22 =48 2 (22 : 2) = 96 11 =1056;
24 22 = 24 2 11 = 48 11 = 528;
23 33 = 23 3 11 = 69 11 = 759;
18 44 = 18 4 11 = 72 11 = 792;
16 55 = 16 5 11 = 80 11 = 880;
16 66 = 16 6 11 = 96 11 = 1056;
14 77 = 14 7 11 = 98 11 = 1078;
12 88 = 12 8 11 = 96 11 = 1056;
8 99 = 8 9 11 = 72 11 = 792.
Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого.
12.2 Умножение на число, оканчивающееся на 5
Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило: если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой – уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.
44 5 = (44 : 2) 5 2 = 22 10 = 220;
28 15 = (28 : 2) 15 2 = 14 30 = 420;
32 25 = (32 : 2) 25 2 = 16 50 = 800;
26 35 = (26 : 2) 35 2 = 13 70 = 910;
36 45 = (36 : 2) 45 2 = 18 90 = 1625;
34 55 = (34 : 2) 55 2 = 17 110 = 1870;
18 65 = (18 : 2) 65 2 = 9 130 = 1170;
12 75 = (12 : 2) 75 2 = 6 150 = 900;
14 85 = (14 : 2) 85 2 = 7 170 = 1190;
12 95 = (12 : 2) 95 2 = 6 190 = 1140.
При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределах второго десятка. В противном случае вычисления усложнятся.
12.3 Умножение и деление на 25, 50, 75, 125, 250, 500
Для того, чтобы устно научиться умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.
На 4 делятся те, и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4.
Например:
124 делится на 4, так как 24 делится на 4;
1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;
1800 делится на 4, так как 00 делится на 4
Правило. Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.
Примеры:
484 25 = (484 : 4) 25 4 = 121 100 = 12100
124 25 = 124 : 4 100 = 3100
Правило. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.
Примеры:
12100 : 25 = 12100 : 100 4 = 484
31100 : 25 = 31100 :100 4 = 1244
Правило. Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.
Примеры:
32 75 = (32 :4) 75 4 = 8 300 = 2400
48 75 = 48 : 4 300 = 3600
Правило. Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.
Примеры:
2400 : 75 = 2400 : 300 4 = 32
3600 : 75 = 3600 : 300 4 = 48
Правило. Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.
Примеры:
432 50 = 432 :2 50 2 = 216 100 = 21600
848 50 = 848 : 2 100 = 42400
Правило. Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
Примеры:
21600 : 50 = 21600 : 100 2 = 432
42400 : 50 = 42400 : 100 2 = 848
Правило. Чтобы число умножить на 500, надо это число разделить на 2 и умножить на 1000.
Примеры:
428 500 = (428 :2) 500 2 = 214 1000 = 214000
2436 500 = 2436 : 2 1000 = 1218000
Правило. Чтобы число разделить на 500, надо это число разделить на 1000 и умножить на 2.
Примеры:
214000 : 500 = 214000 : 1000 2 = 428
1218000 : 500 = 1218000 : 1000 2 = 2436
Прежде чем научиться умножать и делить на 125. надо хорошо знать таблицу умножения на 8 и признак делимости на 8.
Признак. На 8 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.
Примеры:
3168 делится на 8, так как 168 делится на 8;
5248 делится на 8, так как 248 делится на 8;
12328 делится на 8, так как 324 делится на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число, оканчивающееся цифрами 2, 4, 6. 8. на 8, нужно к числу десятков прибавить половину цифр единиц. Если полученный результат будет делиться на 8, то исходное число делится на 8.
Примеры:
632 : 8, так как т.е. 64 : 8;
712 : 8, так как т.е. 72 : 8;
304 : 8, так как т.е. 32 : 8;
376 : 8, так как т.е. 40 : 8;
208 : 8, так как т.е. 24 : 8.
Правило. Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить
на 8.
Примеры:
32 125 = (32 : 8) 125 8 = 4 1000 = 4000;
72 125 = 72 : 8 1000 = 9000;
4000 : 125 = 4000 : 1000 8 = 32;
9000 : 125 = 9000 : 1000 8 = 72.
Правило. Чтобы число умножить на 250, надо это число разделить на 4 и умножить на 1000.
Примеры:
36 250 = (36 : 4) 250 4 = 9 1000 = 9000;
44 250 = 44 : 4 1000 = 11000.
Правило. Чтобы число разделить на 250, надо это число разделить на 1000 и умножить на 4.
Примеры:
9000 : 250 = 9000 : 1000 4 = 36;
11000 : 250 = 11000 : 1000 4 = 44
12.4 Умножение и деление на 37
Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать таблицу умножения на три и признак делимости на три, который изучается в школьном курсе.
Правило. Чтобы умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Примеры:
24 37 = (24 : 3) 37 3 = 8 111 = 888;
27 37 = (27 : 3) 111 = 999.
Правило. Чтобы число разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3
Примеры:
999 : 37 = 999 :111 3 = 27;
888 : 37 = 888 :111 3 = 24.
12.5 Умножение на 111
Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр которого меньше 10.
Примеры:
24 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;
36 111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;
17 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.
Вывод. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.
12.6 Умножение двух рядом стоящих чисел
Примеры:
1) 12 13 = ?
1 1 = 1
1 (2+3) = 5
2 3 = 6
156
2) 23 24 = ?
2 2 = 4
2 (3+4) = 14
3 4 = 12
552
3) 32 33 = ?
3 3 = 9
3 (2+3) = 15
2 3 = 6
1056
4) 75 76 = ?
7 7 = 49
7 (5+6) = 77
5 6 = 30
5700
Проверка:
12
13
36
12_
156
Проверка:
23
24
92
46_
552
Проверка:
32
33
96
96_
1056
Проверка:
75
76
450
525_
5700
Вывод. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ (см. примеры)
12.7 Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10
Пример:
24 26 = (24 – 4) (26 + 4) + 4 6 = 20 30 + 24 = 624.
Числа 24 и 26 округляем до десятков, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.
18 12 = 2 1 сот. + 8 2 = 200 + 16 = 216;
16 14 = 2 1 100 + 6 4 = 200 + 24 = 224;
23 27 = 2 3 100 + 3 7 = 621;
34 36 = 3 4 сот. + 4 6 = 1224;
71 79 = 7 8 сот. + 1 9 = 5609;
82 88 = 8 9 сот. + 2 8 = 7216.
Можно решать устно и более сложные примеры:
108 102 = 10 11 сот. + 8 2 = 11016;
204 206 = 20 21 сот. +4 6 = 42024;
802 808 = 80 81 сот. +2 8 = 648016.
Проверка:
802
808
6416
6416__
648016
12.8 Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.
Правило. При умножении двузначных чисел. у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые, надо перемножить цифры десятков. и прибавить цифру единиц, получим число сотен и к числу сотен прибавим произведение единиц.
Примеры:
72 32 = (7 3 + 2)сот. + 2 2 = 2304;
64 44 = (6 4 + 4) 100 + 4 4 = 2816;
53 53 = (5 5 +3) 100 + 3 3 = 2809;
18 98 = (1 9 + 8) 100 + 8 8 = 1764;
24 84 = (2 8 + 4) 100+ 4 4 = 2016;
63 43 = (6 4 +3) 100 +3 3 = 2709;
35 75 = (3 7 + 5) 100 +5 5 = 2625.
12.9 Умножение чисел, оканчивающихся на 1
Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.
Примеры:
1) 81 31 = ?
8 3 = 24
8 + 3 = 11
1 1 = 1
2511
81 31 = 2511
2) 21 31 = ?
2 3 = 6
2 +3 = 5
1 1 = 1
651
21 31 = 651
3) 91 71 = ?
9 7 = 63
9 + 7 = 16
1 1 = 1
6461
91 71 = 6461
12.10 Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001
Правило. Чтобы двузначное число умножить на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.
Примеры:
32 101 = 3232
Проверка:
32
101
32
32__
3232
48 101 = 4848;
56 101 = 5656.
Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.
Примеры:
324 1001 = 324324
Проверка:
324
1001
324
324___
324324
648 1001 = 648648;
999 1001 = 999999.
Приемы, основанные на свойствах арифметических действий. Речь идет не о классификации приемов, а лишь о чисто условном, относительном их различении. К решению одного и того же примера можно применить разные приемы.
1) Прием, основанный на использовании свойств арифметических действий:
389 + 467+ 211 = (389 + 211) + 467 = 600 + 467 = 1067
375 + 287 + 125 +213 = (375 + 125) + (287 + 213) = 500 + 500 = 1000
827 – 430 – 227 = 827 – 227 – 430 = 600 – 430 = 170
2357 + 1996 + 3047 = 2357 + 1996 + 3000 + 43 + 4 = (2357 + 43) + (1996 + 4) =
+ 3000 = 3000 + 3000 + 2000 = 8000
25 ∙ 37∙ 4 = 37 ∙ (25 ∙ 4) = 37 ∙ 100 = 3700
∙ 4 + 4 ∙ 13 = ( 87 + 13) ∙ 4 = 100 ∙ 4 = 400
367 : 5 – 167 : 5 (367 – 167) : 5 = 200 : 5 = 40
2) Прием округления:
399 + 473 = 400 + 472 = 872
497 + 196 + 299 = 492 + 200 + 300 = 992
196 + 199 + 197 = 200 ∙ 3 - 8 = 600 – 8 = 592
752 – 298 = 754 – 300 = 454
143 + 27 + 38 + 29 = 150 + 20 + 37 + 30 = 237
427 + 28 + 7 + 20 + 652 = 430 + 649 + 30 + 5 + 20 = 1079 + 1 + 54 = 1134
198 ∙ 3 = (200- 2) ∙ 3 = 600 – 6 = 594
35 ∙ 18 = 35 ∙ (20 – 2) = 700 – 70 = 630
52 ∙ 21 = 52 ∙ (20 + 1) = 1040 + 52 = 1092
596 : 4 = (600 – 4) : 4 = 150 – 1 = 149
3) Прием замены одних действий другими:
730 – 644 = 736 – 650 = 36 + 50 = 86
29 = 27 = 31 =33 = 30 ∙ 4 = 120
4) Прием, основанный на зависимости результата от изменения компонентов действий:
56 – 38 = 60 – 42 = 18
40 004 – 30 005 = 40 000 – 30 001 = 9999
225 6 75 = 450 : 150 = 3
440 : 55 = 880 : 110 = 8
364 : 6 + 118 : 3 = 364 : 6 + 236 : 6 = ( 364 + 236) :6 = 600 : 6 = 100
На этом же принципе основаны приемы умножения и деления на 5, 50, 500, 25, 250,15, 125:
36 ∙5 = (36 : 2) ∙ 10 = 180
∙ 50 = (826 : 2) ∙ 100 = 41300
∙ 25 = (84 : 4) 100 = 2100
496 ∙ 25 = (496 : 4) ∙ 100 = 12400
24 ∙ 15 = 12 ∙ 30 = 360
496 ∙ 125 = ( 496 : 8) ∙ 1000 = 62000
4340 : 5 = (4340 : 10) ∙ 2 = 868
8900 : 25 = (8900 : 100) ∙ 4 = 89 ∙ 4 = (90 – 1) ∙ 4 = 360 – 4 = 356
4000 6125 = 32000 : 1000 = 32
96000 : 125 + (96000 : 1000) ∙ 8 = 96 ∙ 8 = (100 -4) ∙ 8 = 800 – 32 = 768
5) Приемы умножения на 9, 99, 11, 101, 1001:
26 ∙ 9 = 25 ∙ (10 – 1)= 250 – 25 = 225
35 ∙ 99 = 3500 – 35 = 3465
37 ∙ 11 = 37 ∙ (10 +1) = 407
73 ∙101 = 7300 + 73 = 7373
735 ∙ 1001 = 735000 + 735 = 735735
6) Приемы последовательного умножения и деления:
75 ∙ 8 = 75 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 150 ∙ 2 ∙ 2 = 300 ∙ 2 = 600
18 ∙ 35 = 18 ∙ 5 ∙ 7 = 90 ∙ 7 = 630
35 ∙ 18 = 35 ∙ 2 ∙ 9 = 70 ∙ 9 = 630
23 ∙ 55 = 23 ∙ 5 ∙ 11 = 115 ∙11 = 1150 115 = 1265
540 : 4 = (540 : 2) : 2 = 270 : 2 = 135
960 : 15 = (960 : 3) : 5 = 320 : 5 = 640 : 10 = 64
256 : 8 = 256 : 2 : 2 :2 = 128 : 2 : 2 = 64 : 2 = 32
7) Приемы, основанные на тождественных преобразованиях числовых выражений:
(375 + 118) + (375 – 118) = 375 ∙ 2 = 750
(375 + 118) – (375 – 118) = 118 ∙ 2 = 236
(254 ∙ 399 + 399) : (399 ∙ 256 – 399) = (255 ∙ 399) : (255 ∙ 399) = 1
8) Приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий:
а) Сразу можно записать ответ 3 ∙ 7 ∙ 37, если знать, что 37 ∙ 3 = 111
б) Зная число Шахразады 1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13, сразу можно получить результат
7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 6787 = 678678
в) Наблюдая примеры
1 + 3 = 4 = 2 ∙ 2
1 + 3 + 5 = 9 = 3 ∙ 3
1 + 3+ 5+ 7 = 16 = 4 ∙ 4, можно легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1.
Она равна произведению числа, выражающего количество слагаемых самого на себя.
г) Можно использовать для вычислений такую закономерность:
1 + 2 = 3
4 + 5 + 6 = 7 + 8
9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15
(Ее впервые подметил знаменитый итальянский математик XVI в. Николо Тарталья.)
д) Известен такой эпизод. Было это в XVШ в. в одной из немецких школ. Чтобы выиграть время для работы с другим классом, учитель дал детям, на его взгляд, долговременное задание: найти сумму всех чисел от 1 до 100 включительно. Но не успел он выйти из класса, как один мальчик назвал ответ: 5050. Способ решения этой задачи самостоятельно нашел восьмилетний ученик Карл Гаусс, будущий великий математик.
Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось ещё в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца. Можно легко находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел, заметив, что сумма крайних из них, равна сумме любых двух других, равноудаленных от начала и конца ряда, например:
5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (5 + 11) + (6 + 10) + (7 + 9) + 8 = 16 ∙ 3 + 8 = 56
Посчитать сумму чисел от и до
Чисел
Пар
Сумма крайних
Результат
От 1 до 20
20
10
21
210
От 1 до 100
100
50
101
5050
От 1 до 50
50
25
51
1275
От 1 до 30
30
15
31
465
От 1 до n
n
n/2
n +1
n ( n+1)/2
От 101 до 300
200
100
401
40100
От 51 до 450
400
200
501
100200
е) При определении разности трехзначных чисел, отличающихся только порядком записи цифр, достаточно найти цифру единиц этой разности, средняя цифра всегда 9, а цифра сотен в сумме с цифрой единиц тоже равна 9, например: 581 – 185 = 396.
Список литературы:
1. Златко Шпорер. Ох, эта математика! М, 1981
2. История математики с древнейших времен до начала ХIХ столетия: В 3 т. / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т.1.
3. Кольман Э. История математики в древности.— М., 1961.
4. Математика Приложение к газете Первое сентября №2 2001.
5. Математика Приложение к газете Первое сентября №3 2000.
6. Наука и жизнь №10, 2007.
7. Подашов А.П. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. Учпедгиз 1962.
8. Шустеф Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике /2-е изд., перераб. – Мн.: 1984. – 224 с.
Интернет-ресурсы:
http://karmanform.ucoz.ru/index/0-21
http://school.msu.ru/)
HYPER13PAGE HYPER15
2
