Устный счёт на уроках математики для активизации мотивации и интеллекта учащихся | Попова Татьяна Витальевна . Работа №309764

Устный счёт на уроках математики

Актуальностью данного вопроса, является усовершенствование прогресса в области технического процесса и меньшей степени использование устных приёмов в окружающем мире и на уроках математики. В инновационную эпоху не составляет труда, прибегая к всевозможным техническим устройствам, произвести подсчёт интересующего для тебя продукта, узнать разницу товара со скидкой или подсчитать ежемесячные расходы. Выполняя устные вычислительные приёмы, у нас не только вырабатываются умения и знания быстро считать, но и развиваются интеллектуальные способности, логическое мышление. Вычислительная культура формируется на всех этапах обучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5 - 6 лет обучения. Именно в этот период школьники обучаются умению осознанно использовать законы математических действий. В последующие годы, полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения не только математики, но и физики, химии и других предметов. Именно в эти годы обучения закладываются основные вычислительные приёмы, которые активизируют мыслительную деятельность обучающегося, способствуют к восприятию услышанную информацию, возникает быстрота реакции, происходит постановка речи и закладка в память

По мнению В. С. Кравченко вычислительные задания должны искусно вписываться в часть урока и не являться дополнительным материалом или самоцелью. Данный этап подразумевает часть, без которого усвоение заданий и навыков будет протекать с большим затруднением и потерей времени

Устные упражнения в методическом отношении представляют собой большую ценность. Они используются как подготовительный этап при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. По благоусмотрению Ф. В. Гизбурга: «Данному этапу на уроке математики отводится большое место и отрабатывается в течение всего урока. Целесообразно отводить по 10–12 минут на арифметические действия». Не подобает проводить изустный счёт во второй половине урока, поскольку обучающиеся уже устали, желаемого результата не достигните. В конце урока можно провести «математическую разминку», которая поспособствует поддержанию интереса детей к предмету и разовьёт математическую грамотность

Отбирая материал для проведения «вычислительное тренировки» рационально придерживаться следующих требований: Упражнения для устного счета выбираются целенаправленно, обеспечивающие достижение цели урока. Задания должны быть разнообразными, не слишком «громоздкими». Формулировка упражнений, чертежи и записи должны быть приготовлены заблаговременно. К данному этапу урока необходимо привлекать всех учащихся. Проводя «математическую разминку» должно быть предусмотрены критерии оценивания и поощрение. Упражнения должны соответствовать требованиям учебной программы по математике.

 

Виды упражнений для устных вычислений.

рекомендуется как можно больше устных упражнений проводить в форме игры. Игра должна быть дидактической, т.е. подчиненной  тем конкретным задачам, которые решаются на уроке, в структуру которого она включается. В силу этого игру заранее планирую, продумываю ее место в структуре урока, определяю форму ее проведения, подготавливаю материал, необходимый для проведения игры. Игра может проводиться в форме фронтальной работы с классом, а также в форме игры – соревнования двух команд. Выбирая игру, нужно руководствоваться тем, что это не самоцель, а средство активизации деятельности детей. При этом надо учитывать, что только та игра на уроке принесет пользу, которая в короткое время дает возможность выполнить наибольшее число операций и охватить всех учащихся. Такая игровая форма устных заданий повышает интерес детей к математике,

Устные вычисления должны способствовать развитию логического мышления школьников, а для этого надобно подбирать разносторонние, актуальные задания, с уклоном требующее смекалку, внимание и память. Упражнения могут предъявляться в зрительной, слуховой и зрительно-слуховой трактовке. Рассмотрим, что относится к видам этих форм: – Зрительная: таблицы, круговые примеры, магические квадраты и треугольники, зрительные диктанты, ребусы. Такого вида «задачки» вызывают интерес и развивают умственные способности у школьников начального общего образования. – Слуховая: математические диктанты, устное решение разных видов задач: в строфах, весёлые, шутки. Такие задачи предполагают развитие логического мышления и смекалку. Задачи на внимательность, размышление, а не на угадывание. – Зрительно-слуховая: примера по цепочке, графические диктанты, которые могут быть в различных видах. Следует на уроках математики включать неординарные задачи и дидактические игры, развивающие логику, смекалку.

Рассмотрим, что относится к видам этих форм:

– Зрительная: таблицы, круговые примеры, магические квадраты и треугольники, зрительные диктанты, ребусы. Такого вида «задачки» вызывают интерес и развивают умственные способности у школьников (Зрительный (таблицы, плакаты, карточки, записи на доске, компьютере) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.)

Тренажер. Руководство к действию

Тренажер удобно использовать в работе для совершенствования вычислительных навыков учащихся в классе или дать учащимся в качестве домашнего задания. Работать с ним удобно и родителям, которые заинтересованы в качестве обучения математике. Тренажер удобно использовать во время урока в любом классе с 5-го по 11-й при заполнении пауз, организации индивидуальной коррекционной работы; ведь даже 1-2-х минут достаточно, чтобы решить несколько примеров. Такая деятельность не только улучшит усвоение материала, но и будет способствовать развитию качества оперативности мышления и оперативности действия школьников, позволит приучить учащихся к тому, что на уроке каждая минута должна быть использована рационально.

Матричная форма записи позволяет организовать отработку у учащихся каких-либо конкретных знаний, умений и навыков, - в этом случае используют строки таблицы; или совершенствовать вычислительные навыки и навыки математических преобразований. - в таком случае используют не только строки, но и столбцы таблицы, развивая при этом одно из важных качеств успешного обучения - переключаемость

– Слуховая: математические диктанты, устное решение разных видов задач: в строфах, весёлые, шутки. Такие задачи предполагают развитие логического мышления и смекалку. Задачи на внимательность, размышление, а не на угадывание.( Беглый слуховой (читается учителем, учеником, аудиозапись) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.)

Расшифруй слово или фразу.

Таких заданий очень много в учебниках Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева.

Можно придумать и зашифровать тему урока или фамилию того или иного математика, ученого, которые внесли большой вклад в развитие математики.

 

Приведём вариацию некоторых нестандартных заданий из составленного и реализованного на уроках математики комплекса, по развитию умственных способностей в школе. Задача на смекалку. Назовите два числа, у которых количество цифр равно количеству букв, составляющих название каждого из этих чисел . Задача с нестандартным решением. Вор вошёл в хорошо охраняемое здание, не потревожив сигнализацию, и его не задержала охрана. Он пробыл там длительное время и беспрепятственно покинул его. Если бы он пробыл в этом здании хотя бы немного меньше, его бы задержали. Где был вор? Провоцирующая задача: Незнайка хвастается, что знает: а) самое большое натуральное число; б) натуральное число, не делящееся ни на одно из натуральных чисел; в) натуральное число, делящееся на любое натуральное число. В каком случае он прав и почему?

 

– Зрительно-слуховая: примеры по цепочке, графические диктанты, которые могут быть в различных видах. ( Комбинированный.)

обратная связь (показ ответов с помощью карточек, взаимопроверка, угадывание ключевых слов, проверка с помощью компьютерной программы Microsoft Power Point).

задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность).

упражнения в форме игры  (“Диалог”, “Математический поединок”, “Магические квадраты”, “Лабиринт сомножителей”, “Викторина”, “Волшебное число”, “Индивидуальное лото”, “Лучший счетчик”, “Кодированные упражнения”, “Фишка”, “Кто быстрее”, “Цветок, солнышко”, “Числовая мельница”, “Числовой фейерверк”, “Математический феномен”, “Молчанка”, “Математическая эстафета”).  Пути и формы использования перечисленных игр на уроках математики рассмотрены в работе В. П. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”.

Следует на уроках математики включать неординарные задачи и дидактические игры, развивающие логику, смекалку. Т. К. Жигалкина обозначает: «Дидактические игры разнообразят устный счёт на уроке, воспитывают интерес к математике, развивают внимание, память, мышление обучающихся, ведут к систематизации жизненного опыта, являются разрядкой для нервной системы» .

Например: Задача «Землекопы» (из книги Г.Перельмана)

5 землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько землекопов в 100 часов выкопают 100 м канавы?

Ответ: Очень легко попасться ,как говорится на удочку в этой задаче. Но ответ прост – те же 5 землекопов в час вырывают 1 м, значит за 100 ч вырыли бы 100 м .

Вроде бы такая же задача, но не говори гоп пока не перепрыгнешь. Трое играли в шашки. Всего сыграно 3 партии. Сколько партий сыграл каждый? ( по 2 партии)

Можно учителю поудивлять своих учеников, что он может отгадать, какое число у них получится, если они всё правильно будут считать.

Задача Лермонтова: придумайте число, +28, -40, + 14, -6,+30, отнимите задуманное, +100, -60,=66. Восторгу и удивлению нет приделу. Ученики прося повторить задачу, вы называете другие числа, а результат ошеломляющий, но до тех пор пока один из умных детей не раскроет ваш секрет.

Еще важно заметить следующее, то, что учащиеся начальных и средних классов быстро считают, вычисляют в уме, устно, но почему-то в старших классах  устный счет производится с помощью калькулятора или с большим трудом без калькулятора. Мне кажется, нужно стремиться к тому, чтобы этого не происходило. И этого конечно можно достичь с применением устного счета как важного и нужного элемента урока.

Вычислительные навыки успешно формируются у учащихся при создании в учебном процессе определенных условий.

Процесс овладения вычислительными навыками довольно сложен: сначала ученики должны усвоить тот или иной вычислительный прием, а затем в результате тренировки научиться достаточно быстро выполнять вычисления, а в отношении табличных случаев - запомнить результаты наизусть.

Прием вычислений складывается из ряда последовательных операций, а число операций определяется прежде выбором теоретической основы вычислительного приёма.

Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки - значит для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия, то есть правильно выбирает и выполняет операции, составляющие приём.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить как он решал и почему так можно решать.

Рациональность - ученик выбирает для данного случая более рациональный приём, то есть выбирает те из возможных операций, выполнения которых легче других и быстрее приводит к результату.

Обобщенность - ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть способен перенести приём вычисления на новые случаи.

Автоматизм - ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.

Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.

Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

 

1. Подготовка к введению нового приёма.

На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.

2. Ознакомление с вычислительным приёмом.

На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность.

3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.

На всех стадиях формирования вычислительных навыков решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приёмов.

Важно, чтобы было достаточное число упражнений, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме.

Необходимое условие формирования вычислительных навыков - умение учителя организовать внимание детей.

 

1. Математический диктант (5 класс).

Например:

I слагаемое 28, II слагаемое 57. Найдите сумму этих чисел.

Уменьшаемое 64, вычитаемое 46. Найдите разность этих чисел.

Число 75 увеличьте на 17.

Найдите разность 51 и 38.

Найдите сумму 43 и 49.

Число 81 уменьшите на 24.

I слагаемое 25, а второе на 14 больше. Найдите сумму этих чисел.

2. Цепочка.

Учитель просит учащихся записать число. Учитель просит изменить данное число при помощи определенного математического действия, запомнить промежуточный результат и выполнить следующее действие, предлагаемое учителем, снова запомнить результат и т.д.

На первых уроках можно разрешать учащимся писать промежуточные результаты, а в дальнейшем попробовать производить операции с промежуточными числами в уме и записать только конечный результат.

3. Круглые примеры.

Предлагается найти последний пример среди определенного числа примеров, записанных в разнобой. Учащиеся находят результат первого примера, далее им надо найти тот, который начинается с цифры, которая является результатом предыдущего примера и т.д. до тех пор, пока результат последнего примера не совпадет с начальной цифрой первого.

Данную работу можно организовать фронтально и индивидуально.

4. Ручеек.

На листочке даны примеры по количеству учащихся, сидящих на одном ряду. Решив первый пример, учащийся передает листочек сидящему за ним однокласснику. Тот должен найти ответ следующего по порядку примеру и передать листочек сидящему за ним однокласснику.

5. Лесенка.

На доске изображена лесенка примеров. Дается определенное время, за которое необходимо подняться на верхнюю ступеньку этой лесенки.

6. Расшифруй слово или фразу.

Таких заданий очень много в учебниках Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева.

Можно придумать и зашифровать тему урока или фамилию того или иного математика, ученого, которые внесли большой вклад в развитие математики.

7. Ромашка.

На доске изображены по кругу числа, а в середине или какое-то действие, или круг, разделенный на четыре или две части. В данных частях круга арифметические действия. Это задание направлено не только на отработку вычислительных навыков, но и на развитие внимания учащихся. Учитель поочередно связывает числа, расположенные по кругу, показывая на них указкой, определенными действиями из маленького круга.

 

8. Математический марафон.

На доске изображены примеры. Необходимо в уме быстро и правильно найти их результат и записать ответы в тетради.

Через определенное время проверить с классом данное задание и разобрать те задания, которые вызвали трудность.

9. Восстанови пример.

Учитель предлагает ученикам примеры, в которых пропущены или действия, или один из компонентов. Надо восстановить пропущенную запись.

10. Математическое лото.

Учащимся выдаются конверты с карточкой, на которой записаны примеры, расположенные в таблице, как в лото. Данные карточки можно предлагать или каждому ученику, или двум, сидящим на одной парте. Учащиеся решают примеры и закрывают ответы маленькими карточками, на которых изображены цифры, являющиеся ответами к примерам на карточке. По команде учителя ученики прекращают работу и переворачивают маленькие карточки. На большой карточке должен получиться рисунок, или какая-нибудь геометрическая фигура.

11. Найди ошибку.

Эту форму устной работы чаще всего использую при работе над единицами измерения. Предлагаем ученикам столбик равенств с метрическими величинами. Ученикам необходимо проверить правильно ли поставлены знаки равно и у себя в тетради отметить это в виде графической записи. Если ученик согласен с поставленным знаком равно, то он в тетради изображает дугу, размером в две клеточки, если же не согласен, то отрезок, длиной две клеточки.

Например:

Верно ли, что:

5 дм = 50 см 9 км 27 м = 927 м

6 мм = 60 см 65 см = 6 дм 5 см

8 км 78 м = 8780 м 369 мм = 3 см 69 мм

3 м 2 см = 302 см 973 см = 9 м 73 см

7 см 9 мм = 79 мм 5643 м = 5 км 643 м

1 дм 5 мм = 105 мм 730 дм = 73 м?

 

12. Оглянись назад.

Учитель предлагает ученикам определенное число и записывает его на доске, например 10,5. Далее учитель называет какое-то число меньшее или большее, чем данное. Учащиеся устно должны назвать число, которое поможет вернуться к данному числу.

13. Качели.

Это задание способствует развитию памяти учащихся. Учитель называет числа, например трехзначные. Учащиеся записывают данные числа наоборот, в обратном порядке, сначала пользуясь записями в тетради, а потом только по памяти.

14. «Числовые фокусы».

Можно в устные упражнения включать всевозможные числовые фокусы. Данные задания разнообразят урок и привнесут в него новизну. Например: «Проблема Гольдбаха». Живший в 18 веке в России математик Гольдбах открыл удивительную вещь: каждое четное число ему удавалось представить в виде суммы двух простых чисел (включая число «1»).

Задание: можно предложить 6-тиклассникам при изучении темы «Простые и составные числа» на одном уроке представить в виде суммы простых чисел первые 20 четных чисел; на втором уроке представить в виде суммы простых чисел числа от 20 до 50.

15. «Любопытные свойства натуральных чисел».

Возьмем любое число из 4-х цифр (например, 2365) и расставим их сначала в порядке возрастания (2356), затем убывания (6532). Из большего числа вычтем меньшее: 6532 – 2356 = 4176. С полученным числом проделаем то же самое: 7641 – 1467 = 6174. Интересно то, что к этому числу не более чем за 7 шагов мы приходим вышеуказанным способом от любого, взятого наугад четырехзначного числа.

3) 7641 – 1467 = 6174

Пример: 6598. Пример: 3582.

9865 – 5689 = 4176 1) 8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174.

Пример: 3198.

9831 – 1389 =8442

8442 – 2448 = 5994

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

 

Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

1. Вычитание 7, 8, 9.

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

2. Умножение на 9

Быстро умножить любое число на 9 можно при помощи пальцев рук. Хитрость приёма такова: Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе. Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке. Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

3. Деление и умножение на 4 и 8.

Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно.

Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

4. Умножение на 5.

Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

5. Умножение на 25.

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

6. Умножение на однозначные числа.

Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать двух- или трехзначное число поразрядно.

Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 – разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581.

Возьмем более сложный пример: 236*3.

Итак, умножаем сложное число на 3 по разрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

7. Раскладка на десятки и единицы.

Способ заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия:

1. Сначала умножаются десятки друг на друга.
2. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки.
3. Затем прибавляется произведение единиц.

Схематично это можно описать так:

– Первое действие: 60*80 = 4800 – запоминаем
– Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
– Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ.

8. Мысленная визуализация умножения в столбик.

56*67 – посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа.

Но его можно упростить:
Первое действие: 56*7 = 350+42=392
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752

9. Умножение на 11.

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры.

Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10. Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа. Например: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564.

10. Опорное число.

Посмотрим на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8.

Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

15*18

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.
2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230
3. К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

11. Опорное число при умножении чисел до 100. Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.

Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа.

А) Оба числа меньше опорного (под опорным). Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

47*48

1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)
2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату – 2 256

50 (опорное число)

47                          48

3(50-47)            2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Если числа меньше опорного, то из первого множителя вычитаем разность между опорным числом и вторым множителем.

Б) Если числа больше опорного, то к первому множителю прибавляем разность опорного числа и второго множителя .

50(опорное число)

51                         63

1                           13

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

В) Одно число под опорным, а другое над. Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Меньший множитель увеличиваем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей. Или больший множитель уменьшаем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей.

50(опорное число)

45                                   52

5(50-45)                    2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 или (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

При умножении двузначных чисел из разных десятков в качестве опорного числа удобнее брать круглое число , которое больше большего множителя.

27*89

90(опорное число)

27                             89

63 (90-27)             1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел.

Умножение чисел от 10 до 20

Опорное число 10

Решить пример1 13×14=

Посмотрим на сколько единиц первое число больше опорного числа? на 3 единицы,

на сколько единиц второе число больше опорного числа? на 4 единицы. Запишем эти числа над соответствующими числами со знаками «+» (так как больше) и складываем накрест накрест:

+4+3

 

13 × 14= 182

13-+4=

17

или 14+3=17

Умножаем полученное число на опорное число

10

17 × 10=170

(это промежуточный результат)

Перемножаем числа в кружках:

4×3=

12

и прибавим к промежуточному результату

170+12=182 - это ответ

 

 

КАРТОЧКА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Опорное число 100

Опорное число 100

Решить пример1: 96×97=

Посмотрим:

- сколько единиц не хватает до 100 у первого числа? 4 единицы,

- сколько единиц не хватает до 100 у второго числа? 3 единицы.

Запишем эти числа под соответствующими числами и вычитаем накрест:

34 96 × 97= 9312

 

96-3=

93

или 97-4=93

это первая часть ответа

Перемножаем числа в кружках:

4×3=

12

это вторая часть ответа (двузначное число)

Пример 2:

1892×99=9108

92-1=91 и 8×1=8, но при умножении получается 8 поэтому записываем 08

Примеры для самостоятельного решения:

91×92=

91×93=

91×94=

91×95=

91×96=

91×97=

91×98=

91×99=

 

92×92=

92×93=

92×94=

92×95=

92×96=

92×97=

92×98=

92×99=

 

93×92=

93×94=

93×95=

93×96=

93×97=

93×98=

93×99=

 

94×94=

94×95=

94×96=

94×97=

94×98=

94×99=

 

95×95=

95×96=

95×97=

95×98=

95×99=

 

96×96=

96×98=

96×99=

96×97=

97×97=

97×98=

97×99=

98×98=

 

98×99=

99×99=

 

 

КАРТОЧКА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Умножение чисел от 10 до 20

Опорное число 10

Решить пример1 13×14=

Посмотрим на сколько единиц первое число больше опорного числа? на 3 единицы,

на сколько единиц второе число больше опорного числа? на 4 единицы. Запишем эти числа над соответствующими числами со знаками «+» (так как больше) и складываем накрест накрест:

+4+3

 

13 × 14= 182

13-+4=

17

или 14+3=17

Умножаем полученное число на опорное число

10

17 × 10=170

(это промежуточный результат)

Перемножаем числа в кружках:

4×3=

12

и прибавим к промежуточному результату

170+12=182 - это ответ

Примеры для самостоятельного решения:

 

12×18=

12×15=

14×14=

16×14=

15×15=

14×17=

18×13=

17×16=

13×19=

16×18=

19×16=

13×12=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практику устного счета надо развивать постоянно. Вообще надо сказать, что умело поставленный устный счет является для детей нередко чрезвычайно интересной работой, своего рода гимнастикой ума, игрой. Для развития у учащихся умения быстро производить устные вычисления учитель должен тщательно рассматривать с детьми некоторые свойства чисел, их сочетания, способы разложения и т. д. Это обеспечит всю последующую технику быстрых вычислений.

1. Необходимо, чтобы таблицы сложения , вычитания, умножения и деления были усвоены с детьми в совершенстве.

2. Надо, чтобы дети легко и быстро находили дополнения чисел до любого большего круглого числа (т. е. кратные 10)

3. Надо научить учащихся быстро делить и умножать на 2.

4. Учащиеся должны уметь разложить любые числа по разрядам, т.е. представить их в виде суммы.

5. Ученики обязаны хорошо знать основные законы четырех арифметических действий, зависимость между компонентами и результатами действий.

6. Представить число в виде разности двух чисел.

7. Использовать при вычислениях возможность замены одних действий другими действиями.

8. Знать значение квадратов чисел до 30.

КАРТОЧКИ ДЛЯ УСТНОГО СЧЕТА

 

Развивая навыки устного счёта у учеников, можно использовать особые серии карточек. В каждой серии карточек есть разные упражнения с использованием нескольких приёмов устного счёта. В результате складывается некоторая система тренировочных упражнений для учеников 5-6 классов. Эта система даёт возможность повторить изученные раньше приёмы устного счёта и закрепление их. Эта система не забирает много времени на уроке, даёт возможность ученикам контролировать себя, вызывает интерес к математике, дисциплинирует учеников, развивает внимание и сосредоточенность.

В предложенной системе устных вычислений составляется замкнутый круг числовых вопросов и ответов: числовой ответ последней карточки даёт число, которое стоит на первой карточке. Можно брать любую карточку, начинать проводить вычисления – всё одно получим замкнутый круг числовых вопросов и ответов.

Если ученик выполнил вычисления неправильно, он не найдёт ответ ни на одной из этих карточек. Поэтому, система даёт ученикам возможность проводить самоконтроль. Принцип составления серии карточек заключается в следующем:

1) Учитель составляет примеры таким образом, что ответ первой карточки является компонентом второй; ответ второй – третьей и т. д.

2) Можно составлять самостоятельно серию из 6, 8, 10 и большего количества карточек, учитывая силы учеников и их знания.

3) Карточки нужно составлять равноценные по характеру примеров и сложности, чтобы дать ученикам возможность одновременно закончить работу по карточкам.

4) Для примеров на карточках можно использовать разные приёмы устного счёта или сосредоточить внимание учеников на одном – двух.

5) Важно не допускать одинаковых ответов, так как не будет замкнутого устного счёта, ученик не сможет проконтролировать себя – всегда всегда будут оставаться лишние карточки.

6) Кроме прямых действий, карточки для устного счёта могут быть усложнены обратными действиями, например, когда известно делимое и частное, нужно найти делитель. Принцип составления таких карточек аналогичный первому.

7) Для удобства карточки изготовляют небольших размеров и сохраняют в конвертах. Можно использовать компьютер с проектором или интерактивная доска. Серии карточек обязательно нужно номеровать. Это даёт возможность учителю следить за тем, чтобы ученик во время работы сразу получал карточки других номеров с соответствующими приёмами устного счёта.

8) Карточки можно использовать для индивидуальной и домашней работы.

9) На работу в классе можно использовать 3-5-7 минут, чтобы не перезагружать учеников.

Познакомить учеников с правилами устного счёта по карточкам необходимо провести по образцу одной серии. Ученики понимают и усваивают с первого разу.

Например, возьмём серию карточек на вычисление с десятичными дробями, которая состоит из 12 штук. Все карточки прикрепляются ( в любом порядке) на классной доске с обозначением мелом номер карточки.(можно использовать таблицу и т.п.)

Пусть карточки расположены на доске так:

I

3,9 : 0,3 =

II

3,7 + 1,4 =

III

5 – 3,7 =

IV

2,1 + 1,4 =

V

13 ∙ 0,01 =

VI

0,1 + 3,6 =

VII

5,1 : 0,3 =

VIII

3,5 : 0,7 =

IX

1,5 + 2,4 =

X

1,3 : 13 =

XI

17 – 15,5 =

XII

0,13 + 1,97 =

По желанию ученика берём любую карточку, например V. Эту карточку берём из ряда, прикрепляем на доске отдельно. Один из учеников читает пример 13 ∙ 0,01 = … .

Ответ ученики держат в уме (про это нужно детям говорить отдельно), ищут её в ряде карточек и находят её в карточке XII. Ответ (0,13) называется, карточка XII вынимается из ряда и прикрепляется выше карточки V, т.е. карточка V будет находиться при решении примеров внизу.

Далее появляется новый пример: 0,13 + 1,97 = … . Ученики читают его, ответ держат в голове, ищут её среди карточек, находят в карточке IV. Ответ (2,1) называется , карточка IV вынимается из ряда и прикрепляют выше V и XII.

Далее имеем новый пример: 2,1 + 1,4 = … . Ученики читают его, ответ держат в уме, находят её на карточке VIII. Ответ (3,5) называется, карточка вынимается из ряда, прикрепляется выше предыдущих. Так ведётся счёт до последней карточки:

III. 5 – 3,7 = ; X. 1,3 : 13 =; VI. 0,1 + 3,6 =; II. 3,7 + 1,4 =; VII. 5,1 : 0,3 =; XI. 17 – 15,5 =; IX. 1,5 + 2,4 =; I. 3,9 : 0,3 = . Все карточки взятые из рядов прикреплены в ряд, одна выше другой и образуют ряд. Читаем последний пример: 3,9 : 0,3 = . Ученик даёт ответ 13. Это т ответ – число13 – является ответом первой карточки внизу: 13 ∙ 0,01 =. Карточку берём снизу, показываем ученикам. Таким образом, получили замкнутый круговой устный счёт.

После того как ученики научились пользоваться карточками, можно их раздавать в конвертах с сериями примеров для самостоятельной работы.

 

А. Серия карточек на десятичные дроби.

 

9,3 + 0,75 =

10,05 : 3 =

3,35 + 0,65 =

4 – 1,45 =

2,55 : 0,5 =

5,1 ∙ 2 =

20.4 – 1,11 =

10,2 ∙ 2 =

№2

2,1 + 1,4 =

3,5 : 0,7 =

5 – 3,7 =

1,3 ∙ 5 =

14.4 : 9 =

1,6 ∙ 10 =

16 – 13,9 =

6,5 + 7,9 =

№3

1,7 ∙ 3 =

5,1 + 0,9 =

6 : 0,4 =

15 – 12,5 =

2,5 ∙ 10 =

25 – 24,1 =

0,9 : 10 =

0,09 + 1,61 =

№4

18 ∙ 0,3 =

5,4 + 4,6 =

10 ∙ 0,13 =

1,3 – 0.9 =

0,4 : 10 =

0,04 + 0,68 =

0,72 : 0,3 =

2,4 + 15,6 =

В. Серия карточек на обыкновенные дроби.

№1

<Object: word/embeddings/oleObject1.bin> - <Object: word/embeddings/oleObject2.bin>=

+ <Object: word/embeddings/oleObject3.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject4.bin> : 7 =<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin> ∙ <Object: word/embeddings/oleObject7.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject8.bin> : <Object: word/embeddings/oleObject9.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject10.bin> + <Object: word/embeddings/oleObject11.bin>=

№2

1<Object: word/embeddings/oleObject12.bin> ∙ <Object: word/embeddings/oleObject13.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>+ <Object: word/embeddings/oleObject15.bin>=

1<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>: 2<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject18.bin> - <Object: word/embeddings/oleObject19.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject20.bin> : <Object: word/embeddings/oleObject21.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject22.bin>∙ 9 =

№3

<Object: word/embeddings/oleObject23.bin> + <Object: word/embeddings/oleObject24.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject25.bin> - <Object: word/embeddings/oleObject26.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject27.bin>∙ <Object: word/embeddings/oleObject28.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject29.bin>: <Object: word/embeddings/oleObject30.bin>=

1<Object: word/embeddings/oleObject31.bin> : <Object: word/embeddings/oleObject32.bin>=

<Object: word/embeddings/oleObject33.bin>- <Object: word/embeddings/oleObject34.bin>=

 

Г. Серия карточек на нахождение неизвестного компонента с обыкновенными дробями

 

№1

? - <Object: word/embeddings/oleObject35.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject36.bin>

? + <Object: word/embeddings/oleObject37.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject38.bin>

? : 7 = <Object: word/embeddings/oleObject39.bin>

? ∙ <Object: word/embeddings/oleObject40.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject41.bin>

? : <Object: word/embeddings/oleObject42.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject43.bin>

? + <Object: word/embeddings/oleObject44.bin>=<Object: word/embeddings/oleObject45.bin>

№2

? ∙ =

? + <Object: word/embeddings/oleObject46.bin>= 1<Object: word/embeddings/oleObject47.bin>

? : 2<Object: word/embeddings/oleObject48.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject49.bin>

? - = <Object: word/embeddings/oleObject50.bin>

? : <Object: word/embeddings/oleObject51.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject52.bin><Object: word/embeddings/oleObject53.bin>

? ∙ 9 = 1<Object: word/embeddings/oleObject54.bin>

№3

? + <Object: word/embeddings/oleObject55.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject56.bin>

? <Object: word/embeddings/oleObject57.bin> =

? ∙ =

? : <Object: word/embeddings/oleObject58.bin>= 1<Object: word/embeddings/oleObject59.bin>

? ∙ =

? - =

 

Д.Серия карточек на проценты.

 

№1

Найти 90% от числа 150

Найти число, <Object: word/embeddings/oleObject60.bin> которого равно 135

225 составляет 90% числа. Найти число.

250 составляет <Object: word/embeddings/oleObject61.bin> числа. Чему равно число?

№2

Найти 10% от числа 300

Найти число, <Object: word/embeddings/oleObject62.bin> которого равно 30.

50 составляет 25% числа. Найти число.

Найти <Object: word/embeddings/oleObject63.bin> от числа 200.

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нельзя применять много различных видов упражнений на одном уроке, так как это утомляет учащихся и снижает их внимание. Практику устного счета надо развивать постоянно. Вообще надо сказать, что умело поставленный устный счет является для детей нередко чрезвычайно интересной работой, своего рода гимнастикой ума, игрой.

 

Чтобы научиться быстро считать в уме, нужна практика, нет волшебных методик, чтобы с первого раза начать быстро считать в голове, необходимо постоянно тренировать свой мозг и заставлять его быстро работать и считать.

Как и все способы вычислений, методы быстрого счета имеют свои достоинства и недостатки:

ПЛЮСЫ: С помощью различных методов быстрых вычислений даже самый малообразованный человек может считать. Способы быстрого счета могут помочь избавиться от сложного действия, путем замены его на несколько более простых.
Способы быстрого счета полезны в ситуациях, когда нельзя воспользоваться умножением в столбик. Способы быстрого счета позволяют сократить время вычислений. Устный счет развивает умственную деятельность, что помогает быстрее ориентироваться в сложных жизненных ситуациях. Техника устного счета делает процесс вычислений более увлекательным и интересным.

МИНУСЫ: Зачастую, решать пример, пользуясь способами быстрого счета, оказывается дольше, чем просто перемножать в столбик, так как приходится выполнять большее количество действий, каждое из которых проще первоначального.
Бывают ситуации, когда учащийся от волнения или еще чего-то забывает способы быстрого счета или вовсе – путается в них; в таких случаях ответ получается неправильным, а способы являются фактически бесполезными.
Не для всех случаев разработаны способы быстрого счета. Вычисляя с использованием техники быстрого счета, нужно держать множество ответов в голове, в чем можно запутаться и прийти к ошибочному результату.

Несомненно, практика играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые способны считать в уме сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка: 

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

 

Предлагаю:

Вниманию юного, и не очень, читателя предлагается книжная серия, составленная из некогда широко известных произведений талантливого отечественного популяризатора науки Якова Исидоровича Перельмана. Начинающая серию книга, которую Вы сейчас держите в руках, написана автором в 20-х годах прошлого столетия. Сразу ставшая чрезвычайно популярной, она с тех пор практически не издавалась и ныне является очень редкой. Книга посвящена вопросам математики. Здесь собраны разнообразные математические головоломки, из которых многие облечены в форму маленьких рассказов. Книга эта, как сказал Я. И. Перельман, «предназначается не для тех, кто знает все общеизвестное, а для тех, кому это еще должно стать известным». Все книги серии написаны в форме непринужденной беседы, включающей в себя оригинальные расчеты, удачные сопоставления с целью побудить к научному творчеству, иллюстрируемые пестрым рядом головоломок, замысловатых вопросов, занимательных историй, забавных задач, парадоксов 

 

 

 

101 головоломка- Я.И.Перельман

Цель этой книжечки – дать материал для приятной умственной гимнастики, для тренировки сообразительности и находчивости. Предназначенная пополнить досуг юных математиков, книжка содержит, однако, не только математические головоломки: наряду с задачами арифметическими и геометрическими, в сборнике представлены головоломки из области физики, мироведения и логики. Есть здесь и задачи, не примыкающие ни к какому учебному предмету, но все же полезные как упражнения, подготавливающие ум к более серьезной работе. Так, задачи на перестановки и размещения приучают к систематическим поискам решения, зрительные обманы способствуют развитию наблюдательности, развлечения с разрезыванием фигур и составлением силуэтов развивают геометрическое воображение.