Творческий конкурс для педагогов и учащихся: "Земля родная"

Научно – исследовательская конференция учащихся «Первые шаги в науке – 2020»

Тема:

«Различные способы умножения»

Направление: математика

Работу выполнил:

Мамаев Аслан

ученик 6 д класса

МАОУ «СШ «Земля родная»

Руководитель проекта: Зозуля Г. Л.

учитель физики, математики

г. Новый Уренгой, 2020

Цель и задачи:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях.

Задачи:

Найти и разобрать различные способы умножения.

Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.

Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться

одноклассников.

Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Эксперимент «какой способ быстрей»

Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения?

Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы привлечь внимание таких учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?» я выбрал тему проекта «Различные способы умножения».

«Счет и вычисления - основы порядка в голове»
Иоганн Генрих Песталоцци  

Ведение

Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть таблицу умножения.

В разное время у разных народов были свои способы умножения чисел.

Почему же сейчас все народы применяют один способ умножения «столбиком»?

Почему люди отказались от старых способов умножения в пользу современного?

И вот я задумался… А имеют ли право на существование в наше время те, забытые способы умножения?

Что бы ответить на эти вопросы я проделал следующую работу:

С помощью сети Интернета нашел информацию о некоторых способах умножения, которые использовались раньше;

Изучил литературу, предложенную учителем;

Решил

несколько

примеров всеми изученными способами, чтобы узнать их недостатки;

Выявил среди них наиболее эффективные;

Провел эксперимент;

Сделал выводы.

Умножение на 9 с помощью клеток тетради

Будем использовать прямоугольник из 10 клеток тетради. Предположим, нам нужно узнать сколько будет если умножить 9 на 8. Отсчитаем слева на право 8 клеток и зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа — 2 клеточки. Значит, 9·8=72. Все очень просто, попробуйте!

7 2

2. Древнерусский способ умножения на пальцах

Это один из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы.

Принцип этого способа: умножение на пальцах однозначных чисел от 6 до 9. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто  2 и 3 пальца. Если   сложить количества загнутых  пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся   соответственно числа десятков и единиц искомого произведения  56 . Так можно вычислять   произведение любых однозначных чисел больше  5.

Вывод: Этот способ очень интересный, развивает память, не требует знания таблицы умножения на 6 и 9.

3. Крестьянский способ

Это способ великорусских крестьян. Его суть заключается в том, что умножение любых чисел сводится к последовательным делениям одного числа пополам, то есть на 2, при одновременном удвоении (умножении на 2) другого числа.

Для четных чисел

Для нечетных чисел:

35+70+140+280+1120=1645

Вывод: Этот способ быстрый и удобный, требует только знаний деления и умножения на 2, но в то же время громоздкий. При вычислениях могут возникнуть ошибки в арифметических действиях.

4. Умножение китайским или графическим методом (линейным)

Перемножим два двузначных числа: 15*23

1. первое число 15:

Рисуем первую цифру – одной линией (бордовым цветом).

Рисуем вторую цифру – пятью линиями (синим цветом).

2. второе число 23:

Рисуем первую цифру – двумя линиями (зеленым цветом).

Рисуем вторую цифру – тремя линиями (фиолетовым цветом).

3. Подсчитываем количество точек (они у нас красного цвета) в группах.

4. Результат – 345.

Вывод: Быстрый способ для двузначных чисел. Мне он показался удобным. Можно обойтись и одним цветом. Главное не запутаться в группах точек при умножении многозначных чисел.

5. Итальянский (Метод решетки)

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль-Хорезми жил и работал в Багдаде. В своей «Книге об индийском счете» ученый описал способ умножения, который назвали «Методом решетки».

Умножаем, например, числа 6827 и 345:

Начертим прямоугольную

сетку

. Каждую ячейку разделим на две части (по диагонали).

Первое число за

пишем над колонками

(одна цифра на столбик)

, а втор

ое справа возле каждого ряда (одна цифра на строку)

. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

Сетка 1 Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотрите на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке. Число десятков над чертой, а число единиц под чертой.

Сетка 1

3. Вот, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. А теперь складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то мы прибавляем их к результату следующей диагонали.

Сетка1

Посмотрите, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, значит, 6827 * 345 = 2355315.

Еще пример: 347 * 29

3 4 7

2

9

10(8 + 2) 20 (19 + 1) 16 3

Ответ: 10063

Вывод: Мне это способ показался неудобным из-за подготовки прямоугольной таблицы к каждому примеру, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

6. Японский (Метод кругов)

Японский метод очень похож на китайский. Однако, есть некоторые отличия. Используются не только линии, но и круги. Например, умножим 12*34:

Смотрим на второй множитель — это двузначное число, поэтом

мы

рисуем 2

одинарных (число десятков у первого множителя - 1)

круга

на некотором расстоянии друг от друга.

Смотрим на вторую цифру первого множителя (в нашем случае 2) и рисуем два двоичных круга

под нарисованными ранее

.

Второй множитель состоит из цифр 3 и 4, поэтому делим кружки первого столбика на 3 части, а второго — на 4.

Теперь разделив плоскость на 3

области, будем считать.

Ответ кроется в количестве частей, которые получились после разделения. Наш результат — 408.

4

3 6 +

10 8

12 * 34 = 408

Вывод. Этот способ очень похож на китайский (графический). Только прямые заменены кругами. Здесь легче определять разряды у числа, но рисовать круги – менее удобно и времени больше.

Эксперимент

С помощью секундомера установлю сколько времени затрачивается на решение примера, каждым рассмотренным способом. В эксперименте участвовали еще два одноклассника (не хорошисты). В таблице указано среднее время.

Сравню результаты

примеры

крестьянский

китайский

итальянский

японский

Современный метод «столбиком»

325*23

100 с

80 с

400 с

500 с

350 с

743*85

120 с

100 с

450 с

700 с

400 с

Вывод

Русский(крестьянский) и графический (китайский) методы удобны для использования тем, кто никак не может выучить таблицу умножения!

«Метод решетки» (итальянский), ничем не уступает современному способу умножения столбиком. И я думаю, он стал бы хорошим помощником школьникам при умножении натуральных чисел. Хотя, как я уже и отмечал, требует дополнительной подготовки таблицы.

Японский оказался трудноватым для моих одноклассников. Много пришлось рисовать кругов.

Заключение.

Работая над этой темой, я узнал, что существует порядка 30 различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Я выбрал для себя некоторые интересные способы. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел.

В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

P.S. Когда я уже закончил свою работу, то меня заинтересовал еще один способ умножения - способ умножения Оконешникова. Я решил его освоить. У меня опять появилась увлекательная работа!

Используемая литература и интернет ресурсы

1. «За страницами учебника математики», И.Я. Депман и Н.Я. Виленкин.

М.: Просвещение,1989.

2. «Система быстрого счета по Трахтенбергу», Катлер Э. и Мак-Шейн Р.

3.«Вечера занимательной арифметики», Котов А.Я.

4. «В царстве смекалки», Игнатьев Е.И. и др.

5. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: Транзиткнига, 2005.

6. Смирнов Ю. И. Мир чисел . Санкт-Петербург.: Мим-Экспресс 1995.

7. Энциклопедия для детей (математика) М.: Аванта .2004.

8. http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15.htm

9. http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory. html

10. Депман И. «Рассказы о математике». – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.

11. Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/

12. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941.

13. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/priemy-bystrogo-scheta-na-urokakh-matematiki

14. http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/interesnye-priemy-ustnogo-scheta-0

Исследовательская работа «Различные способы умножения»

Мамаев Аслан

ученик 6д класса МАОУ «СШ» Земля родная»

Аннотация

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

На уроках нам часто приходиться вычислять без калькулятора, мы современные дети делаем это с большим трудом. И меня заинтересовало, как раньше в старину люди проводили расчет? Может, изучив старинные способы, мне станет легче понять современный способ умножения?

И тогда я решил изучить нестандартные приемы вычисления и применять их на уроках математики. Меня интересовало: если освоить старинные приемы вычислений, то возможно на уроках математики я и мои одноклассники откажемся от использования калькулятора и другой вычислительной техники.

В ходе исследовательской работы я пользовался следующими методами:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

- практический метод при выполнении вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

- анализ полученных в ходе исследования данных.

Данная работа относится к исследованию, так как знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений.

Свой выбор я остановил на способах разных стран: древнерусских: на пальцах и крестьянском, китайском, итальянском, японском. А еще мне попался новый способ умножения на 9 (с помощью клеток тетради). Изучение старинных способов умножения показало, что арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

В ходе выполнения работы я подтвердил свои предположения, что на уроках математики можно считать без калькулятора, зная старинные способы умножения. Что освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень мышления.

Описывая старинные способы вычислений, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки, созданной разумом человека, не обойтись.