Формулы сокращенного умножения в школьном курсе математики. Работа №20693

Формулы сокращенного умножения в школьном курсе математики
7 класса
Роль и место темы Формулы сокращенного умножения в ШКМ.
На изучение темы Формулы сокращенного умножения в 7 классе по учебнику Алгебра 7 класс авторов Ю.Н.Макарычева и др. отводится 19 часов:
Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений(2 ч)
Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности (2 ч)
Умножение разности двух выражений на их сумму (2 ч)
Разложение разности квадратов на множители (2 ч)
Разложение на множители суммы и разности кубов (2 ч)
Контрольная работа №7 (1 ч)
Преобразование целого выражения в многочлен (2 ч)
Применение различных способов для разложения на множители(3 ч)
Возведение двучлена в степень (2 ч)
Контрольная работа №8 (1 ч)
Тема Формулы сокращенного умножения в учебном пособии по алгебре традиционно располагается за темой МНОГОЧЛЕНЫ и завершает изучение тождественных преобразований целых выражений. При изучении этой темы важную роль играет понимание структуры выражения. Учащиеся должны правильно применять такие термины как квадрат суммы, сумма квадратов, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, сумма кубов, куб разности, разность кубов. Действия с применением формул сокращенного умножения для упрощения числовых и буквенных выражений, разложением многочленов на множители традиционно сложные для многих учащихся. Навыки выполнения действий формируются постепенно на протяжении изучения всего курса алгебры, а далее и в геометрии, при выводе формул площадей, теоремы Пифагора. Поэтому сложность изучения этой темы возрастает постепенно.
Глава Формулы сокращенного умножения состоит из трех параграфов.
Параграф первый Квадрат суммы и квадрат разности.
Основная цель – выработать умение применять формулы (ab)=a2ab+b для преобразования квадрата суммы или разности в многочлен и для представления трехчлена вида a2ab+b в виде квадрата двучлена.
Изучение формул (ab)=a2ab+b начинается с простейших заданий, направленных на непосредственное их применение. Только убедившись в правильности выполнения этих заданий, можно переходить к более сложным, применяя вновь полученные знания. Важно обратить внимание на применение изучаемых формул в приближенных вычислениях. На реконструкцию выражения не следует спешить подсказкой, предоставляя учащимся возможность самим восстановить пропущенные одночлены, развивая тем самым их интерес к математике.
Учащиеся должны уметь применять формулы (ab)=a2ab+b не только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений, но и для представления в виде квадрата выражения a2ab+b. Необходимо иметь в виду, что такое преобразование широко используется при решении многих задач, например, при выделении квадрата двучлена из квадратно трехчлена, доказательстве неравенств, исследовании квадратичной функции и т. п. Особое внимание следует уделить заданиям на восстановление пропущенных слагаемых и заданиям на доказательство неравенств. Дополнительные упражнения к данному параграфу связаны с более сложными выкладками. Полезно обратить внимание задание, в котором предлагается возвести в квадрат трехчлен, и задание на возведение двучлена в четвертую степень.
Параграф второй Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Основная цель — выработать умение применять формулу (а — b)(a + b) = a — b для преобразования произведения (а — b)(a + b) в многочлен и разложения разности квадратов на множители.
Формула (а — b)(a + b) = a — b широко используется в преобразовании целых и дробных рациональных выражений, выражений, содержащих корни и степени с дробными показателями, тригонометрических выражении, а также при решении уравнений, неравенств, систем, при исследовании функций. В связи с этим важно добиваться знания этой формулы от всех учащихся и умения применять ее как для сокращенного умножения, так и для разложения на множители.
Изучение темы начинается с вывода формулы (а — b)(a + b) = a — b. Необходимо, чтобы учащиеся запомнили эту формулу и соответствующую словесную формулировку. При работе с формулой на начальном этапе следует обратить внимание учащихся на то, что в формулировке на первом месте указывается разность двух выражений и именно по ней определяется уменьшаемое в разности квадратов.
На начальном этапе изучения данной темы используются простейшие упражнения, способствующие формированию умения правильно применять формулу и запоминанию соответствующей словесной формулировки. Убедившись, что учащиеся безошибочно выполняют преобразования, можно переходить к более сложным заданиям. Усвоению новой формулы способствует упражнение на восстановление пропущенных одночленов, а также задания, иллюстрирующие ее применение в вычислениях. Особое внимание следует делить упражнению, в котором учащиеся должны предварительно выбрать соответствующую формулу сокращенного умножения.
Затем можно переходить ко второй серии упражнений, где преобразования по изучаемой формуле выступают как компонент в более сложных преобразованиях, а также находят применение при решении уравнений.
Далее учащиеся приступают к изучению формулы a — b = (а — b)(a + b), которая широко используется для разложения многочленов на множители. Изучение ее рекомендуется начинать с устных упражнений, связанных как с чтением буквенных выражений, так и с умением представлять некоторые одночлены в виде квадрата одночлена.
Изучение формулы a — b = (а — b)(a + b) строится по той же схеме, что и изучение формулы (а — b)(a + b) = a — b. Сначала выполняются простейшие упражнения на ее применение. Здесь внимание следует обратить на задания, в которых предлагается разложить на множители выражение -a + b. Такое выражение рекомендуется предварительно представить в виде b — a. Упражнение способствует формированию вычислительных умений учащихся. От упражнений, направленных на прямое применение формулы a — b = (а — b)(a + b), учащиеся переходят к более трудным заданиям, в которых новые знания используются в более сложных тождественных преобразованиях, а также при решении уравнений и доказательстве некоторых утверждений.
Изучение данной темы завершается рассмотрением формул а + b = (а + b)(а - ab + b) и а - b = (а - b)(а + а b + b). Следует отметить, что эти формулы находят применение в курсе в значительно меньшей степени по сравнению с ранее рассмотренными формулами сокращенного умножения. В связи с этим можно не требовать от учащихся запоминания этих формул и соответствующих словесных формулировок и разрешить им пользоваться учебником или записями в тетрадях. В системе упражнений даются лишь простейшие задания на разложение на множители суммы или разности кубов.
Дополнительные упражнения к данному параграфу усложнены по сравнению с основными как в эвристическом, так и в техническом плане. Они могут быть использованы в качестве индивидуальных заданий хорошо успевающим учащимся.
Параграф третий Преобразование целых выражений.
Основная цель — сформировать умение выполнять преобразования целых выражений, используя изученный комплекс правил действий с многочленами, формул сокращенного умножения и приемов разложения на множители.
Данная тема является итоговой в изучении преобразований целых выражений. В теоретическом плане дополнение к ранее сформированной системе знаний является незначительным: вводится понятие целого выражения и обосновывается возможность преобразования любого целого выражения в многочлен. Что касается формирования умения выполнять преобразования целых выражений, то здесь учащиеся поднимаются на новую ступень. Если раньше само название темы типа Разложение многочленов на множители способом группировки нередко служило подсказкой к необходимым действиям, то теперь они должны самостоятельно определить, какие преобразования и в каком порядке им предстоит выполнить. При разборе примеров учащиеся впервые встречаются с нестандартным случаем, когда многочлен с одной переменной преобразуется в выражение более сложного вида, удобного для нахождения значения многочлена с помощью калькулятора.
Планируемые результаты обучения в соответствии с ФГОС:
Познавательные УУД :
создание условий для усвоения учащимися формул сокращенного умножения, включение их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование общеучебных и общекультурных навыков работы с информацией,
формирование навыка применения формул на практике.
коммуникативные и личностные УУД:
умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность, оценивать себя и
своих товарищей
регулятивные УУД:
развитие зрительной памяти, внимания, смысловой памяти, умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
3. Методика работы с основными компонентами содержания обучения с позиции СДП
Мотивация:1 задание: Найдите произведение двучленов:
№п/п
Я хочу проверить себя.
1
(х+5)(х+3)=
____________________
2
(а+с)(а+с)=
___________________
3
(х+3)(х+3)=
___________________
4
(х+5)(х+5)=
___________________
Определите, какое из данных выражений лишнее? (второе, потому что в нём нет чисел.)
Присмотритесь к этому выражению внимательней! Подумайте, можно ли по другому его записать? (Да, в виде квадрата).
А какие ещё выражения из данных можно также записать? (3 и 4-ое)
Таким образом, что общего у этих выражений? ( Их можно записать в виде квадрата двучлена)
PS. записать на доске слева от таблицы : (а+с)2; и т.д.
2задание: Внимательно посмотрите на наши результаты и спрогнозируйте результат
в выражении: (с + n)2.
Итак, как вы думаете, какова тема нашего урока? (Научиться возводить в квадрат такие выражения.)
А что значит возвести выражение в квадрат?
-значит, оно умножается на себя два раза.
То есть мы сегодня на уроке познакомимся с формулами: квадрат суммы и разности двух выражений.
А как вы думаете для чего нужны формулы?
Правильно, они упрощают вычисления.Еще с помощью формул, которые вы выведете сегодня, можно возводить большие числа в квадрат и довольно быстро, но с этим мы познакомимся поздней. А сейчас послушаем выступление о возникновении формул.
Доклад. Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с шестого века до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. В его работах появляются зачатки буквенной символики и специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений знали еще в Древнем Вавилоне, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.
Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня нам предстоит сыграть роль исследователей и открыть две из этих формул. Итак, тема нашего урока: Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
3. Устные упражнения. Прочитайте выражения.
1.а + b
2.c – у
3. aх
4.(а +b)2
5. (х –у)2
Найдите квадраты выражений: b ; - 3 ; 6а ; 7х2 у3?
Найдите произведение 5 b и 3 с.
Чему равно удвоенное произведение этих выражений?
Как найти площадь квадрата со стороной а?
Площадь прямоугольника со сторонами а и в?
4. Давайте почувствуем себя первооткрывателями и выполним исследовательскую работу.
Каждой группе предлагается заполнить исследовательскую карту.
Выполните задания
Продолжите выполнение действия:
(а + b)2=(а + b)∙ (а + b)=__________________________________________
Таким образом получится, что (а + b)2=____________________
Расставьте в правиле знаки разделения ║ так, чтобы разбить его на отдельные действия:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Поясните следующую схему, сравнив её с правилом:
(■ +▲)2=■2+2∙■∙▲ +▲2
Изменится ли результат, если формулу (а + b)2, поменять на (а – b)2?
Проверьте ваше предположение?
(а – b)2=(а – b)∙ (а – b)=______________________________
Поясните формулу схемой:
(■ −▲)2=_____________________________________________________
Заполните пропуски:
Квадрат ________ двух выражений равен квадрату первого выражения ________ удвоенное произведение первого и второго выражений ________ квадрат второго выражения.
Как вы думаете, почему эти формулы называются формулами
сокращённого умножения?
Обсуждение полученных результатов .
Pапишите формулы в тетрадь
(а + b)2 = а 2 + 2аb + b2
(а – b)2 = а 2 – 2аb + b2
Вопросы: Сравните их мысленно.
1) Есть ли нечто общее в условиях и ответах?
2) После применения формулы подсчитайте, сколько получилось членов в каждом многочлене? (трёхчлен)
1) Замените пропуски-звездочки на соответствующие выражения, так, чтобы получилась формула.
а) (а+b)2= * 2+2 b+b2
б) (m-* )2=m2-20m+ *
в) ( *+3)2=х+* х+ *
4. Методический продукт
а) Игра Найди верный ответ
№ п/п
Задание
1
2
3
1.
(с+3)2=
с2 - 6с + 9
с2 + 2с + 9
с2 + 6с + 9
2.
(4-2у)2=
16 + 16у +4у2
16 - 16у +4у2
8 - 8у + у2
3.
(9+5х)2=
25х2+90х+81
25х2+81
25х2-90х- 81
4.
х-4=
(х +2)(х+2)
(х -2)(х-2)
(х +2)(х-2)
5.
(m-7)=
m - 7m + 49
m +14m + 49
m - 14m + 49
6.
(p-3)(p+3)=
p - 9
p - 6
p + 9
7.
59- 29=
(59-29)(59+29)
30
60
8.
x–y=
(x+y) (x+ xy+y)
(x–y) (x +2xy+ y)
(x+y) (x - xy+y)
Возможные трудности с которыми могут встретится обучающиеся при изучении темы Формулы сокращенного умножения.
1.(4у-3х)(4у+3х)=8у-9у (вместо 8у должно быть16у)2.100х-4у=(50х-2у)(50х+2у) (вместо50х должно быть10х)3.(3х+у)=9х-6ху+у (вместо-6ху должно быть+6ху)4.(6a-9c)=36a-54ac+81c (вместо-54ac должно быть-108ac)5.х+8=(х+2)(х-4х+4) (вместо-4х должно быть-2х)
6.(7 + а)2 = 49 + а2 (+ 14а)
7.(6а + 1)2 = 6а2 + 12а + 1 (36а2)
8.(у – 4)2 = у2 + 4у + 16 (знак -; 8у)
Наиболее перспективные виды деятельности, в которые необходимо включать обучающихся при изучении темы Формулы сокращенного умножения
Перечень типовых заданий.
1 .Составить схему определения понятия.
2. Заполнить пропуски в записи.
3. Найти верные утверждения.
4.Составление информационной схемы.
5. Выявить закономерность.
6.Найти ошибки и исправить их.
Типовое задание № 1. Составить схему определения понятия. (Используются познавательные логические УУД анализ, синтез).
Предписание для разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения
а) определить вид и количество слагаемых:
- разность двух слагаемых (может быть разность квадратов или разность кубов),
- сумма трех слагаемых (может быть квадрат суммы или разности),
- сумма двух слагаемых (может быть сумма кубов);
б) представить каждое слагаемое в соответствии с определенной формулой;
в) применить найденную формулу.
Самоконтроль: сделать проверку (обратное преобразование)
Предписание для разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения
а) определить вид выражения и количество слагаемых;
б) представить каждое слагаемое в соответствии с определенной формулой;в) применить найденную формулу.
Самоконтроль: сделать проверку (обратное преобразование)
Прием сравнения:
1.Выявить известные понятия, характеризующие данные объекты
2. Выделить свойства.
3.Установить различия.
4.Сформулировать выводы.
Типовое задание № 2 . Заполнить пропуски в записи. (Используются познавательные логические УУД , составление предписания для решения задачи).
1.Разложить на множители
а)-100а2= (3у – 10а) ( …. )
б)-а2+6а-9= - ( а2 + 2а … )
в)3-ва3 = ав ( … ) ( … )
б)а3-8 = (а -2) ( …. )
Типовое задание № 3. Найти верные утверждения. (Используются познавательные логические УУД анализ, синтез).
пример
Предполагаемые ответы
пример
Предполагаемые ответы
(с + 7)2=
1)c2 + 7c +49
(10 -y)2
1)100 - 20у + y2
2)c2 - 14c + 49
2)100+20у + y2
3)c2 +14c + 49
3)100- y2
(9 - у)2=
1)81 - 9у + y2
(10 +а)2=
1)100+ 20а +а2
2)81 - 18у + y2
2)20+ 20а+ а2
3)81 + 18у +y2
3)100+10а+а2
(10 +а)2=
1)100+ 20а +а2
(2x-3y)2=
1)4x2 -12xy + 9y2
2)100+10а+а2
2)х – 6y + 3y2
3)20+ 20а+ а2
3)4x2 + 12xy + 9y2
Типовое задание № 4 . Составить информационную схему.(Используются познавательные логические УУД: сравнение синтез, выделение смыслового понятия ; составление умственной карты)
Выбрать законченную главу по теме Формулы сокращенного умножения.
Изучить содержание.
Выявить опорные пункты, формулировки, формулы.
Установить связь между опорными пунктами.
Зафиксировать изученное . Записать формулы в таблицу.
Примеры для учащихся. Разбить следующие примеры по видам формул сокращенного умножения (разность квадратов, квадрат суммы и разности, представить в виде многочлена): (x –y)(x +y);(2x – 1)(2x+1)(8c + 9d)(8c – 9d); 4x2+4x ; (4x + 3y)(3y – 4x); (1 – 3k)(1 +3k); x2+ 2xy + y2; 36 – 12a + a2; a(3a2+ a); 1 – 2a +a2; (p2– pq +q2)(p + q); (1-p)(p+1);
(n-3)(n-10) 2a(3b +5); (x + 3)(x +1); (b – c)(b + c); ;(a – 5)2 (m-n)(m2+ mn +n2).
Типовое задание № 5. Выявить закономерность. (Используются познавательные логические УУД: сравнение, синтез, выделение смыслового понятия , прием саморегуляции).
1.Классифицировать данные примеры в параграфе.
2.Найти общее в записи.
3. Выяснить , с какой формулой связан тот или другой пример
4. Подобрать формулы для преобразования.
5. Составить похожие примеры.
Типовое задание № 6. Найти ошибки и исправить их. (Используются регулятивные УУД, контроль знаний и умений, коррекция знаний, рефлексия, коммуникативные УУД)
пример
Найди ошибку и исправь ее
пример
Найди ошибку и исправь ее
(с + 7)2=
1)c2 + 7c +49
(9 + у)2=
1)81 - 9у + y2
3)c2 +14c + 49
3)81 + 18у +3y2
(9 - у)2=
1)81 - 9у + y2
(10+3а)2=
1)100+ 20а +6а2
3)81 + 18у +y2
3)100+10а+9а2
(10 +а)2=
1)100+ 20а +10 а2
(2x-3y)2=
1) 4x2 -6xy + 9y2
2)100+10а+а2
2)х – 6y + 3y2
3)20+ 20а+ а2
3)4x2 + 12xy + 9y2
7 Наиболее эффективные методы рефлексии , соответствующие возрастным особенностям.
1.Прием саморегуляции при выполнении преобразований
Прием выполнения заданий типа: упростить, вычислить, преобразовать
Рефлексия (и принятие решения о помощи)
1) определить тип выражения
Знаю ли я типы выражений?
2) определить вид применяемой формулы
Знаю ли я формулы сокращенного у множения?
3) выполнить покомпонентный анализ
Знаю ли я, что такое анализ?
4) сравнить компоненты выражения
Знаю ли я, что такое сравнение?
5) сделать выводы о дальнейших преобразованиях выражений
Умею ли я применять нужную формулу
6) сделать проверку, записать ответ
Знаю ли я, как делать проверку