Задача одна - решений много. Работа №22343

«Задача одна – решений много»

«Лучше решить одну задачу несколькими методами, чем несколько задач — одним» (Д.Пойя).

Не секрет, что математика является наиболее трудоемким учебным предметом, требующим от учащихся повседневной кропотливой работы, как правило, значительной по объему, причем весьма специфической и разнообразной. На уроках нам приходится сталкиваться с различными заданиями и овладевать способами их решения.

В умении решать задачи современный человек независимо от рода деятельности и уровня образования нуждается непрерывно. Без умения решать задачи нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в статистике, ни в строительстве.

Но, на мой взгляд, иметь представление о многообразии существующих подходов к решению задач позволяет выполнение одной задачи различными способами. Включаясь в поисковую деятельность, постепенно преодолеваешь чувство боязни перед решением задачи, и вырабатываешь “математическое чутье”. В памяти восстанавливаются правила, понятия и формулы, которые находят свое применение в решении задачи тем или иным способом. Поиск нового составляет основу для развития памяти, воображения и воли. Важно и то, что придя разными путями к одному и тому же результату, приходит уверенность в правильности решения.

Данная работа посвящена решению геометрической задачи различными способами.

Решение геометрических задач различными способами и методами дает возможность:

привить

интерес

к

изучаемому

предмету;

пробуждать

к

более

вдумчивому

изучению

геометри

и

;

развития

критического

и

математического

мышления;

полнее

исследовать

свойства

геометрических

фигур;

подметить

свойство,

о

котором

в

задаче

ничего

не

говорится;

получить

интересное

обобщение

задачи

и

др.

Формулировка задачи

«Если в треугольнике медиана вдвое меньше стороны, к которой она проведена, то такой треугольник прямоугольный. Доказать».

Способы решения задачи

1 способ

Рис. 1

Дополнительное построение: провожу через вершину C прямую MN параллельную АВ (рис. 1).

АВ

||

MN

АВ //

MN

=> угол

ACM

= углу

A

Треугольник ADC ( AD = DC ) => угол ACD = углу A

AB

//

MN

=> угол

BCN

= углу

B

Треугольник BDC (BD = DC) =>угол BCD= углу B

Угол

MCD

и угол

NCD

- смежные углы =>

CA

перпендикулярна

CB

(свойство биссектрис смежных углов), что и требовалось доказать

2 способ

Проведём MN// AB (рис.2)

Угол 1 = углу 2

Угол 1 = углу 5

Угол 4 = углу 3

Угол 4 = углу 6

Рис. 2

Углы 5+2+3+6= 180 (

в сумме развернутый угол

)=>

2(2+3)=180

Углы 2+ 3=90=> угол N= 90=>AN перпендикулярна NB, что и требовалось доказать

3 способ

Воспользуемся рисунком 2:

Углы А+С+В = 1+2+3+4 =

=2(2+3) = <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>2 = 180º.

Угол <Object: word/embeddings/oleObject2.bin>= 90º => АN перпендикулярна NВ,

что и требовалось доказать

4 способ

Отметим на луче AC точку F (рис.3),

тогда угол FCB = угол A + угол В

( свойство внешнего угла треугольника.)

Но угол A = углу ACD,

а угол B = углу BCD=>

углы A +В= ACD + BCD=ACB. Рис. 3

Итак, угол <Object: word/embeddings/oleObject3.bin>(составляют развернутый угол)

=>угол ACB = 90º.

5 способ

(обратимся к 3 рисунку)

Из 4 способа мы получили, что угол ACB = угол A + угол В.

Но углы ACB + A + В = 180º, т.е. <Object: word/embeddings/oleObject4.bin> => угол ACB = 90º.

6 способ

Проведем в треугольниках ACD и CDB медианы (рис. 4).

DN- медиана равнобедренного треугольника

BCD=> DN-и медиана , и биссектриса, и высота.

Точно также и с равнобедренным

треугольником ACD,

DM- и медиана, и биссектриса, и высота.

Следовательно,

Углы DNC = DMC = 90º. Рис.4

Угол MDN=900 (DM и DN- биссектрисы смежных углов)

В четырехугольнике MCND сумма углов 3600 <Object: word/embeddings/oleObject5.bin>

=> угол ACB = 90º.

7 способ

Построим окружность с центром в точке D и

диаметром АВ (рис.5). Так DA=DB=DC, то точка С

также будет лежать на окружности (DC=R)

Угол С –вписанный угол, опирающийся

на диаметр, следовательно угол С= 900.

Рис. 5

8 способ

Введем векторы (рис. 6).

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject9.bin> (так как CD=AD)

Так как скалярное произведение векторов Рис. 6

Равно 0, то векторы перпендикулярны => угол ACB = 90º

9 способ

Введем систему координат (рис. 7)

Начало системы – точка D,

ось Ox проходит через сторону АВ.

Точка A(-a,0), B(a,0), C(-<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>)

Тогда,

Рис.7

<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>

С другой стороны, <Object: word/embeddings/oleObject12.bin>. Так как, <Object: word/embeddings/oleObject13.bin>, то по теореме обратной теореме Пифагора, треугольник АВС прямоугольный с гипотенузой АВ => угол ACB = 90º

10 способ

Пусть DC=DB=DA=a (рис. 8)

По теореме косинусов

<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>

Тогда, <Object: word/embeddings/oleObject16.bin>

С другой стороны, <Object: word/embeddings/oleObject17.bin>

Так как, <Object: word/embeddings/oleObject18.bin>, то по теореме обратной теореме Пифагора, треугольник АВС прямоугольный с гипотенузой АВ => угол ACB = 90º

Решение задачи различными способами – это увлекательный творческий процесс, развивающий воображение, подталкивающий придумывать, искать все новые и новые решения задачи. Поиск различных способов решения задач на доказательства формирует способность критической оценки своей деятельности, развивает навыки самоконтроля и умение систематизировать полученные знания. «Математика ум в порядок приводит» - эти слова принадлежат великому М. В. Ломоносову. Что же он имел в виду? Дело в том, что одним из наиболее важных качеств мышления является его логичность, способность делать из правильных утверждений правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает главным образом в процессе изучения математики. Ведь математика, это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, то есть строго доказывается. Ломоносов приведенными выше словами подчеркнул именно эту особенность математики» [1].

Библиография

Готман

Э.Г.,

СкопецЗ.А

. Задача одна – решения разные: Геометрические задачи: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 2000. – 224

с

.

Пойа, Д. Как

решать

зад

ачу/Д. Пойа. – М.:

Учпедгиз

, 1961. – 207 с.

Понарин

Я.П. «Задача одна – решений много».  «Математика в школе» №1,1992.