«Способы решения квадратных уравнений и их применение при решении задач». Работа №38284

Методическая разработка по теме:
Способы решения квадратных уравнений и их применение при решении задач
Составитель:_Желанова Марина Алексеевна учитель математики
МОУ СОШ № 98 Красноотябрьского района г.Волгограда
Тел: 8-988-965-48-66
e-mail: marnishka@mail.ru
Способы решения квадратных уравнений и их применение при решении задач.
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт
У.У. Сойер
Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида. Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путем. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросыфизики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.
Квадратные уравнения изучаются в 8 классе. Умение решать их совершенно необходимо, поскольку решения квадратного уравнения – это базовая тема школьного курса математики. Решать квадратные уравнения учащимся часто приходится в старших классах. Решение иррациональных, показательных, логарифмических тригонометрических уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений.
Умение решать квадратные уравнения нам приходится всегда, и особенно при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, а также к решению квадратных уравнений сводится решение дробно – рациональных уравнений и текстовых задач.
При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения.
Но этот способ явно нерационален, при больших или иррациональных коэффициентах учащиеся часто не доводят решение до конца, допускают вычислительные ошибки.
Перечислим способы решения квадратных уравнений и подробно рассмотрим те способы, которых нет в школьном учебнике, но именно они часто сводят решение уравнения к устному счёту, экономя время на экзамене.
1. Разложение левой части уравнения на множители
2.Метод выделения полного квадрата
3.Решение квадратных уравнений по формулам
4. Свойство чётного коэффициента
5.Решение уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета
6. Решение уравнений способом переброски
7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения
8. Графическое решение квадратного уравнения
Замечание. Применяя графический метод не всегда можно найти точное значение корней. Поэтому этот метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
10. Геометрический способ решения квадратных уравнений
Остановимся подробнее на свойствах коэффициентов квадратного уравнения и переброске старшего коэффициента.
1. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),
то х1 = 1, х2 = с/а.
Если a – b + c=0, то х1 =-1, х2 = -с/а
*Решим уравнение: 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение: а+ b + с = 0 4 + (-16) + 15 ≠ 0
а + с = b4 + 15 ≠ - 16
данный способ не подходит
А теперь применим способ для решения квадратных уравнений с большими коэффициентами.
*Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как, а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
Х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
* Решим уравнение 2х2+ 3х +1= 0.
Решение. Так как b=а + с =2+1=3, значит, х1 = -1, х2 = - с/а = -1/2
Ответ: -1;-1/2.
3.Если а = с = mn. b = m2 + n2 , тогда х1 = - m\n, x2 = - n\m.
Если а = - с = mn и b = m2 – n2, тогда х1 = -m\n, x2 = n\m
Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента
*Решим уравнение 6х2 + 13 х + 6 = 0
Решение. Так как а = с = 6 = 3*2, b = 13 = 32 + 22 , тогда х1 = -1,5; х2 = - 2/3
Ответ -1,5; - 2\3
*Решим уравнение 6х2 - 5 х - 6 = 0
Решение. Так как а =- с = 6 = 3*2, / b/ =5 = 32- 22 , тогда х1 = 1,5; х2 = - 2/3
Ответ 1,5; - 2\3
Разберём ещё один метод: метод переброски старшего коэффициента
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0,где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх +ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,
равносильно данному.
Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы, обратной теореме Виета Окончательно: х1 = у1/а; х2 = у2 \а
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы перебрасывается к нему, поэтому его называют способом переброски. Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
*Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.
Решение
Перебросим коэффициент 4 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2 – 16у + 60 = 0.
Согласно теореме , обратной теореме Виета у1 = 3, х1 = 6/4, x1 = 1,5
у2 =10; x2 = 10/4; x2 = 2,5.
Ответ:1,5; 2,5.
Вывод. Метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.
Рассмотрим примеры
1. Решим уравнение. cos4 x + 3sin x - sin 4x- 2=0
Упростим выражениеcos4 x – sin4 x- разложим его на множители поформуле разности квадратов:
cos4x – sin 4 x= (cos 2x – sin2 x) (cos2 x+ sin2 x) = cos2x= 1 –2 sin 2 x
Получим:
2sin 2x - 3sinx +1 = 0
Введем замену переменной:y=sinx, где
Получим квадратное уравнение:
2у2 -3у +1 =0
Так как a+b+c=0,тогда у1=1; у2=1\2 .
Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:
Sinx=1или sinx=1\2
, или, где
Ответ:,, где
2.Решим уравнение:3log1\22 +5log1\2x + 2 = 0
Решение.Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко:x> 0.
Используем подстановку:
Уравнение принимает вид:
3t2 + 5 t + 2 = 0
Заметим, что b = a+c, тогда t = - 1 или t = -2\3
Обратная подстановка:
Log1/2x=-1 или Log1/2x=- 2/3
X=2
Обаответавходят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.
Пример 4.Решите уравнение:
Решение.Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:
Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:
Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:
(x+2_)(x+3) = (1 - х)
x2 + 6з+5=0 ;b=a+c
Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.
Ответ:x= -1.
3..Решим уравнение:
Решение.Будем искать решения в промежуткеx> 0,x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:
Обаответавходят в область допустимых значений уравнения.
Ответ: 1\9; 9
*Решить уравнение
cos2x-cosx+-1=0
Так как cos2x=cos2x-sin2=2cos2x-1, получим уравнение
2cos2x-cosx+ - 2=0
Пусть cosx=y, , тогда получаем уравнение
2у2-у+-2=0, в котором а+b+с=0
у1=1; у2=, где
Возвращаясь к первоначальным обозначениям, получим
cosx=1 или cosx=
x=2Пn или х= + 2Пn, n- целое число
Ответ: 2Пn; + 2Пn, n- целое число
Выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении квадратных уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Также не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.
Нужно отметить, что не все способы удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален, имеет свои плюсы и минусы.
Нужно выучить формулы.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета
Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.
легко находятся только целые корни.
Решение уравнений способом переброски
За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.
легко найти только целые корни.
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Не требует особых усилий
Подходит только к некоторым уравнениям
Графическое решение квадратного уравнения
Наглядный способ
Могут быть не точности при составлении графиков
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Наглядный способ, прост в применении.
Не всегда под рукой имеется номограмма.
Вывод.
Владея разными приёмами решения квадратных уравнений можно сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.
Литература
Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990 - 95с.
Ван дер Варден Б.А. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. [Текст] Б.А. Ван дер Варден - М., ГИФМЛ, 1959. - 462 с.
Гельфман Э.Г. Квадратные уравнения. [Текст] Э.Г. Гельфман - Москва, 1997. 273с.
ГлейзерГ.И. История математики в школе/ Г.И.Глейзер-М.: Просвещение, 1982- 340с.
Гусев В.А. Математика. Справочные материалы/В.А.Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
Мордкович А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина 2011.-260с.
Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. -М.: Мнемозина 2011.-270с.
Плужников И. Десять способов решения квадратных уравнений// Математика в школе. -2000.-№40
Теорема Виета– Режим доступа:http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/ Теорема Виета(ресурсы удаленного доступа (Internet)).