Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Работа №5267

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ
МАТЕМАТИКА
Методическая разработка
Бином Ньютона и треугольник Паскаля
на примере открытого урока
2016
ПЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данное учебно-методическое пособие составлено в соответствии с рабочей программой и относится к разделу Комбинаторика. Оно предназначено для подготовки студентов первого курса дневного отделения.
Учебный материал пособия состоит из методических указаний и упражнений, которые необходимы для усвоения и закрепления изученного материала.
В результате изучения студент должен:
иметь представление о:
биноминальной формуле Ньютона;
принципе построения треугольника Паскаля;
знать:
основные приемы разложения на биноминальные коэффициенты;
уметь:
применять формулу бинома для решения практических заданий;
возводить в любую степень двучлен.
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Тема: Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
“Тысячи неразгаданных тайн таит в себе наука,
и без вас, без вашей молодости, смелости, энтузиазма,
они не будут разгаданы. Наука ждёт вас, друзья".
Академик А.С. Несмеянов.
Цели урока – изучение и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения. Познакомиться с биномом Ньютона, показать его связь с треугольником Паскаля.
Познавательные задачи - сформировать навыки в применении бинома
Ньютона.
Развивающие задачи
Расширять кругозор учащихся.
Развивать познавательную активность, интерес к математике и истории.
Развивать индивидуальные способности учащихся, потребность к самообразованию.
Учить анализировать и строить аналогии.
Воспитательные задачи
Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.
Воспитание внимательности, аккуратности.
Прививать интерес к предмету.
Оборудование занятия: мультимедиа, презентация, учебник, приложение.
№
п/п
Этап и содержание урока
Методические замечания
1
Организационный момент
- Здравствуйте, ребята. Садитесь. Отметим отсутствующих и проверим готовность аудитории к занятию.
Проверка готовности
группы к занятию
2
Сообщение темы, целей и задач урока
Тема нашего урока “Бином Ньютона. Треугольник Паскаля”.
Сегодня на уроке мы должны обобщить и повторить пройденный материал. Полученные знания и навыки в применении биноминальных формул, закрепим на решении математических задач. В течение урока работать будем по группам, затем подведём итог урока, и вы получите домашнее задание.
На экране слайд
3
Актуализация знаний: проверка домашнего задания,
устная работа
Группа №1 и №2 представляют свою работу у доски.
1. Разгадайте кроссворд.
1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен. 2. Способ разложения многочлена на множители. 3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 4.Равенство, верное при любых значениях переменных. 5. Выражение, представляющее собой сумму одночленов. 6. Слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть. 7. Числовой множитель у одночленов.
Ответы:
Распределительное
Группировки
Корень
Тождество
Многочлен
Подобные
Коэффициент
2.
- Какими формулами вы пользовались в данном задании?
Давайте назовём их и сформулируем.
1. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений
2. Формула разности квадратов
3. Формулы суммы и разности кубов
4. Свойство степени.
Презентации с домашними заданиями по группам
Листы с заданиями на столах, работа №1 и №2 в группах
3
Объяснение нового материала
Формулы сокращённого умножения являются частным случаем бинома Ньютона. Сегодня на уроке мы обобщим полученные знания и познакомимся с данными формулами.
Формула бинома Ньютона. Как возвести в степень n сумму двух слагаемых?
Исаак Ньютон был поистине Великим физиком своего времени, а может быть и величайшим физиком всех времен и народов. Но мы не будем судить об этом. Однако следует заметить, что Ньютон был еще и прекрасным математиком. Кстати формула бинома Ньютона была выгравирована на надгробии его могилы, как самое великое открытие современности того времени!Кроме формулы бинома Ньютона, со школьной скамьи всем известнаформула Ньютона-Лейбница.Таким образом, великий Ньютон вместе с Лейбницем заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. Основы теории пределов и строгий подход вматематическом анализебыл начат и развивался в трудах таких гениев как Огюстен Коши, Георг Кантор, Карл Вейерштрасс. Нельзя, конечно, обойти стороной имя Леонарда Эйлера.Но мы отвлеклись здесь от основной линии рассуждений. Ведь Формула бинома Ньютона относится к алгебре, а также к ветви математики, называемой комбинаторикой!Вы спросите: а почему, собственно, формула бинома, и что такое бином вообще. Здесь употребляется алгебраическая терминология: в алгебре есть понятие многочлена. Многочлен этоПолином - другими словами - сумма произвольного числа слагаемых называется полином.Например - это полином!А сумма двух слагаемых называетсяБином. То есть - это бином, или например x+y - тоже бином. Здесь x и y предполагаются неизвестными переменными величинами! Но формула бинома Ньютона на самом деле это не просто формула бинома (иначе, что это за формула такая, которая состоит из суммы двух произвольных слагаемых?). Ничего, собственно, примечательного и ничего содержательного! Ньютон был гораздо умнее, чем изобретатель простой суммы двух слагаемых! Что же он тогда изобрел?Ньютон изобрел формулу, которая позволяет возвести сумму двух слагаемых в степень с любым показателем, а не только с показателем равным 2! Невозможно переоценить значение формулы бинома Ньютона прирешении пределов функций.Поэтому правильно формула, о которой идет здесь речь, называется Формулой Ньютона для степени бинома. Мы не будем сразу писать эту формулу в общем виде, а вначале обратимся к школьной алгебре!Вспомним из школьного курса что:
Это и есть формула квадрата суммы или формула квадрата двучлена, или формула второй степени бинома! А теперь возведем в третью степень сумму двух слагаемых или раскроем бином третьей степени.
Скобки раскрываем аналогично, как всегда использую распределительный или дистрибутивный закон алгебры:
Здесь мы имеем уже шесть слагаемых, а если быть точным, не шесть, а 8=23слагаемых, поскольку два слагаемых имеют коэффициенты 2.
Мы доказали формулу суммы кубов. Она должна быть вам хорошо известна из школьного курса алгебры. Однако не будем останавливаться на достигнутом, и пойдем дальше, возведем бином в четвертую степень! Но возводить мы будем по - хитрому! Не с нуля, а воспользовавшись предыдущей формулой для третьей степени бинома:
Здесь мы не стали делать подробных раскрытий скобок, а сразу записали результат раскрытия, поскольку вычисления аналогичны тому, как мы это уже проделали дважды.Хорошо, мы уже добрались до четвертой степени бинома! Но не будем на этом останавливаться и снова возведем в бином, но уже в пятую степень! Что нам стоит дом построить – нарисуем, будем жить!Ведь сложного то ничего нет, ведь всего лишь для возведения бинома в пятую степень надо умножить результат возведения бинома в четвертую степень на известный нам бином! Вот в чем заключалась гениальная идея Ньютона!
То есть вместо четвертой степени бинома мы подставляем уже вычисленное ранее его выражение и снова раскрываем скобки, опуская подробные вычисления, поскольку они уже не однократно выполнялись выше при вычислении третьей и второй степени бинома.
Вы спросите: а сколько же можно так продолжать увеличивать порядок степени возведения бинома? Ответ: до бесконечности можно! Точно также, например при n=100 умножим результат возведения в степень 99 на x+y, тогда получим результат возведения в степень 100.
Но мы не будем расписывать все это выражение, поскольку после приведения подобных членов оно имеет 101 слагаемое и не уместится в одну строчку, а в десять строчек прочтение будет очень затруднительно!Но гениальность Ньютона в том и заключалось, что он смог записать эту формулу в общем виде в одну строчку для любого n, то есть формулу для
Здесь мы делаем простой и гениальный вывод: чтобы получить формулу для n, надо знать эту формулу для (n-1). Чтобы знать формулу для (n-1) надо получить ее (n-1) раз так, как мы это делали для 2,3,4, и 5-й степени, то есть умножали уже известный результат для степени на единицу меньшей заданной степени на степень равную единице!
А теперь напрашивается второй гениальный вывод! А что если все эти действия, которые приводят к формуле бинома для степени n-1 можно записать одним махом?! Тогда можно будет не переписывать (n-1) раз фактически одни и те же вычисления для 2, 3, 4, 5, 6,...,n-1 степени бинома, а записать их одной формулой, умножить эту формулу еще раз на первую степень бинома и полностью доказать искомую формулу. Вот алгоритм рассуждений Ньютона!
Здесь мы выделили последние предложения жирным шрифтом, поскольку они являются основой доказательства формулы бинома Ньютона и наиболее серьезным и сложным шагом во всех наших рассуждениях. Кстати этот шаг, называется индуктивным, а метод, основанный на индуктивном шаге - методом математической индукции. Таким образом, мы здесь познакомились с одним из наиболее фундаментальных и важных методов математики. Но теперь возникает следующая трудность: как же записать общую формулу для степени бинома, равной n-1? В этом нам помогут уже доказанные формулы степени бинома, равные 3,4,и 5.
Очевидно, что коэффициенты крайних слогаемых равны 1, показатели степени - наивысшие (n). Показатели степени переменных изменяются в обратной зависимости, а вот определить коэффициенты достаточно сложно. Имеет смысл вернуться к определению сочетания из n элементов по m, где
n – степень бинома, а m является номером слогаемого, начиная с 0. Тогда для 3 степени бинома мы получим следующие коэффициенты:
Можно, конечно, привести вывод формулы бинома, но это достаточно сложно и не входит в нашу программу, так что запишем эту формулу и начнем ею пользоваться:
где - сигма, знак суммы слогаемых от 0 до n.
Если мы имеем бином (х - у) ⁿ, то знаки слогаемых чередуются.
Согласитесь, что возводя в степень бином, вычислять коэффициенты через сочетания достаточно трудоемко. Чтобы облегчить эти вычисления, используют:
№
Треугольник Паскаля
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
…
…
№
Треугольник Паскаля
0
1
2
3
4
5
6
…
…
Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:
Слайды презентации на экране
4
Первичное закрепление
Продолжите формулу, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля.
(1/3а+2/5в)3 =(1/3а)+3(1/3a)∙2/5b+3(1/3a)(2/5b)+(2/5b)=
1/27a+1/3a∙2/5b+a∙4/25b+8/125b
Ответ: 1/27a+2ab/15+4ab/25+8b/125
(0.2а-0,3b)4 =0,0016a4- 4∙(0,2a)∙0,3b+6(0,2a)(0,3b)-4∙0,2a(0,3b)+(0,3b)4= 0,0016(a4)-0,032a∙∙0,3b+0,24a∙0,09b-
0,8a∙0,027b+0,0081b4
Ответ: 0,0016а4-0,0096аb+0,0216ab-0,0216ab+0,0081b4
3. (1/2a-3/4b)=(1/2a)-3(1/2a)∙3/4b+3(1/2a)(3/4b)-(3/4b)=
=a/8-3/8a∙3/4b+3/2a∙9/16b-27/64b= a/8-9ab/32+27ab/32-27b/64
Ответ: a/8-9ab/32+27ab/32-27b/64
Решается у доски преподавателем с помощью студентов.
5
Самостоятельная работа в группах
1 группа
1. Найти значение:
а) 1!
б) 7!
в)
г) 9!/6!
2. Вычислить значение бинома:
1)
2)
3)
4)
3. Как иначе называется многочлен __
4. Как располагаются биноминальные коэффициенты (монотонность)__
2 группа
1. Найти значение:
а) 0!
б) 6!
в)
г) 10!/5!
2. Вычислить значение бинома:
1)
2)
3)
4)
3. Как иначе называется двучлен__
4. Как располагаются знаки биноминальных коэффициентов (а-в)ⁿ __
3 группа
1. Найти значение:
а) 8!
б) 5! – 3!
в)
г) 12!/7!
2. Вычислить значение бинома:
1)
2)
3)
4)
3. Как составляется строка в треугольнике Паскаля относительно предыдущей строки__
4. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно образовать из 10 преподавателей__
4 группа
1. Найти значение:
а) 7!
б) 9! – 5!
в)
г) 15!/11!
2. Вычислить значение бинома:
1)
2)
3)
4)
3. Сколько строк можно составить в треугольнике Паскаля
4. Студенту дали на лето задание – прочитать 10 книг. Сколькими способами он может выбрать их них 6 книг__
Критерии оценивания работы:
1. (а - г) – 1 балл, всего 4 балла
2. – по 4 балла, всего 16 баллов
3. - 1 балл
4. - 1 балл Ʃ = 22 балла
Баллы снижаются:
1) плохая дисциплина (шум, некорректность в поведении)
2) небрежность в оформлении работы
За проверку работы соседней группы и анализ ее выполнения 6 баллов.
max Ʃ = 28 баллов
ОТВЕТЫ НА РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ:
1)
2)
3) 4)
Работа в 4-х группах.
Каждая группа имеет задания:
а) теория (тестовые вопросы разные для каждой группы)
б) практика (решение примеров)- задания общие
Затем группы попарно обмениваются своими заданиями и проверяют их, тем самым команды проверяют работы друг друга и дают им свою оценку по определенным критериям.
В первую очередь оценивается взаимодействие и слаженность работы, дисциплина в команде. Качество работы (скорость и точность).
6, 7
Подведение итогов, рефлексия
По итогам работы: группа №1 – 5
группа №2 – 3
группа №3 – 5
группа №4 – 4
Используем метод незаконченных предложений.
Сегодня на уроке я узнал(а) …
Мне оказались непонятны следующие моменты …
Мне понравилось на уроке …
Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему …
Покажите на графике свое эмоциональное состояние на занятии
Группы обмениваются выполненными заданиями и проверяют работы друг друга.
Оценивают работы по критериям:
5 - 24-28 б.
4 - 18-23 б.
3 - 12-17 б.
8
Домашнее задание
Составить 2 задачи на сочетания и 2 примера на Бином Ньютона с решением. Весьма желательно подготовить образец выполнения в печатном варианте.
Автор Ю.М. Колягин. Учебник 11 класса. Стр. 138 31 - теоретический материал знать.
Вычислите степени бинома:
Заключение
Наш урок мне хочется закончить словами известного мудреца.
Когда-то давно жил выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:
...Мне мудрость не чужда была земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я
За 70 перевалило мне,
Что ж я узнал! –
Что ничего не знаю.
Как вы думаете, что он этим хотел сказать?
Спасибо за урок.
Заключение.
Современный специалист, независимо от профессиональной области должен владеть суммой знаний как гуманитарных, так и естественнонаучных дисциплин.
Чтобы быть конкурентоспособным специалистом, прежде всего, необходимо владеть навыками самостоятельной работы и работы в команде.
Целью учебно-методического пособия является ознакомление и получение навыков в разложении бинома, возведения в любую степень двучлена.
В пособии предложен теоретический и практический материал. В теоретической части даны достаточно подробные сведения, необходимые для получения основных сведений об изучаемой теме, в практической части – задания, в которых приведены подробные инструкции по их выполнению.
Методика, которая положена в основу пособия, позволяет существенно ускорить процесс закрепления знаний, полученных при изучении дисциплины, освоить новый материал, необходимый для осуществления профессиональной деятельности, а также приобрести опыт работы в команде.
Пособие может быть рекомендовано в помощь преподавателям естественнонаучных дисциплин.
HYPER13PAGE HYPER15
8