О пользе задач с избыточными данными. Работа №6557

О пользе задач с избыточными данными
Если бы мне дали час на решение задачи, то 55 минут я думал бы над условием, а 5 над решением А.Эйнштейн
Решение текстовых задач на уроках математики – традиционно сложный раздел для большинства обучающихся, в том числе и в начальной школе. В отличие от большинства уравнений и числовых выражений в 1-4 классах, к которым существует строгий алгоритм, приводящий всегда к верному ответу, универсального метода решения текстовых задач не существует.
Систематическое решение ограниченного количества типов задач постепенно приводит к тому, что школьники не внимательно читают текст задачи, а машинально выполняют арифметические операции над числовыми данными, найденными в тексте задачи, по заранее предложенному учителем алгоритму. А значит, при решении измененной или незнакомой задачи, с ней не справляются.
Например, на уроке решена текстовая задача: На 2 м2 земли посадили 16 кустов клубники. На какой площади можно разместить 80 кустов клубники при сохранении плотности посадки? [Петерсон Л.Г., Математика, 3 кл]. Решение записано в виде следующего выражения: 80:(16:2) = 10 (м2).
Далее учащимся предлагается решить самостоятельно две другие задачи:
За 5 одинаковых конвертов заплатили 45 рублей. Сколько таких конвертов можно купить на 72 рубля?
Из 27 м ткани сшили 9 одинаковых платьев. Сколько таких платьев можносшить из 60 м этой ткани?
Несмотря на разные объекты, описанные в тексте задачи, учащимся нет необходимости читать текст и самостоятельно определять способ решения задачи. Достаточно самое большое число (соответственно 72 и 60) разделить на частное двух других числовых данных из первого предложения каждой задачи:
72:(45:5) = 8 (к).
60:(27:9) = 20 (п).
А значит, даже при решении десятка аналогичных задач подряд обучающиеся будут демонстрировать не умение решать текстовые задачи такого типа, а выполнение деления натуральных чисел, действуя только по аналогии.
Для понимания учащимися способа рассуждения при решении таких задач следует включать в образовательный процесс и такие задачи, которые содержат недостаточное или избыточное количество данных.
Например, Из 27 м ткани сшили 9 синих одинаковых платьев. Из 42 метров такой ткани возможно сшить 6 костюмов или 14 брюк. В ателье завезли 60 м ткани. Какое наибольшее количество платьев можно сшить из этой ткани?
В этом случае действовать по заранее заданному алгоритму не всегда получится. Ученик вынужден выбирать только те данные, которые необходимы для получения ответа или делать вывод об отсутствии числовых значений. А значит, внимательно и осознанно прочитать текст.
Кроме того, с первых лет обучения в школе ребенок привыкает к тому, что при решении нужно воспользоваться всеми данными, которые содержит задача. Но в реальной жизни это не так. Часто бывает, что нам не хватает некоторой информации для получения ответа, либо её больше, чем нам необходимо.
Определение достаточной из текста информации для решения задачи иногда позволяет решить даже очень сложную на первый взгляд проблему быстро и красиво. Приведем еще один пример.
На одном из занятий по математике была предложена следующая задача: В четвертом классе были изготовлены елочные игрушки. Несколько игрушек получилось из картона, а остальные из ткани. Игрушки были двух размеров: большие и маленькие. Некоторые из них покрасили в зеленый цвет, другие – в желтый. Получилось 16 зеленых игрушек. Зеленых игрушек большого размера было 6. Больших зеленых из картона было 4. Желтых игрушек из картона было 8. Больших игрушек из ткани было 7, желтых игрушек из ткани – 9, а маленьких игрушек из ткани было 11. Сколько всего получилось игрушек?.
Предполагалось, что в процессе решения задачи на первом этапе учитель проведет беседу с детьми по выбору наиболее удобной модели. Обучающиеся уже имели опыт решения задач, в которых было дано количество объектов из двух пересекающихся множеств. Решение, как правило, сводилось к изображению кругов Эйлера. В данном случае трудность заключалась в наличии трех признаков, по каждому из которых было разделено множество игрушек на две группы. Модель с изображением трех пересекающихся кругов Эйлера в данном случае не может являться вспомогательной моделью, так как каждый объект (игрушка) рассматривается с точки зрения деления как по размеру, материалу, так и по цвету.
Самая популярная модель, которую начинают использовать учащиеся при решении такого типа задач – графическая схема. В данном случае один из вариантов возможных схемы выглядит следующим образом (рис 1):
Рис 1. Графическая схема
Однако такая модель приводит к затруднениям уже на стадии записи числовых данных – дано общее количество зеленых игрушек, но расположить данное числовое значение на представленной схеме так, чтобы оно отражало суть данных задачи, крайне сложно. Приходится искать новые варианты деревьев с другой последовательностью деления признаков.
В пособиях по решению олимпиадных задач по математике рекомендуют и менее популярную среди обучающихся модель, которая позволяет однозначно распределить все числовые данные с учетом деления множества по трем признакам (рис 2):
Рис 2. Круговая модель
Далее внимательное чтение текста задачи и распределение данных в соответствующих областях приведет к верному решению. Отметим также, что это не единственный ход рассуждений.
В процессе обсуждения задачи одним из учеников был озвучен правильный ответ – 33. Ни одной записи в тетради еще не появилось, но среди большого количества текста и числовых данных был найден ответ с помощью самого короткого способа рассуждения.
Покажем, как рассуждал этот ученик.
Попробуем обратить внимание только на деление игрушек по цвету и выделим ту числовую информацию из текста, которая может быть нам полезна: В четвертом классе были изготовлены елочные игрушки. Несколько игрушек сделали из картона, а остальные из ткани. Игрушки были двух размеров: большие и маленькие. Некоторые из них покрасили в зеленый цвет, другие – в желтый. Получилось 16 зеленых игрушек. Зеленых игрушек большого размера было 6. Больших зеленых из картона было 4. Желтых игрушек из картона было 8. Больших игрушек из ткани было 7, желтых игрушек из ткани – 9, а маленьких игрушек из ткани было 11. Сколько же всего получилось игрушек?.
В результате получаем 16 зеленых и 17 желтых (8+9) игрушек. Таким образом, всего 33 игрушки. Остальные числовые данные для решения данной задачи не нужны.
Данная ситуация показывает, насколько умение вычленять нужную информацию из текста, в том числе математического, может не только сэкономить время, но и упростить процесс решения той или иной задачи.