"МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССАХ". Работа №73752

Методические особенности обучения школьников решению логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах

Аннотация

Статья посвящена методам обучения школьников решению логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах. В статье рассмотрены различные образовательные технологии при организации обучения логарифмам, в частности, изучено использование карточек-заданий на уроках в профильных классах.

Ключевые слова

логарифмические уравнения, логарифмические неравенства, профильные классы, методы обучения, учебный материал

Логарифмические уравнения и неравенства являются важным элементом математического образования, требующим глубокого понимания и навыков для успешного решения. В профильных классах особое внимание уделяется подготовке школьников к работе с логарифмами, поэтому методы обучения этой теме играют значительную роль в формировании математической компетенции учащихся. Изучение логарифмических уравнений и неравенств требует от школьников не только знания базовых свойств логарифмов, но и способности применять их на практике.

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т. к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З. Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения. При решении логарифмических уравнений часто приходится логарифмировать или потенцировать обе части уравнения, что не всегда может привести к равносильным уравнениям.

Самые простые логарифмические уравнения имеют вид: .

А их решение задаётся формулой, которая напрямую следует из определения логарифма: .

Другие простейшие логарифмические уравнения, это такие, которые с помощью алгебраических преобразований и приведённых выше формул и свойств логарифмов можно свести к виду: при и .

Решение таких уравнений с учетом О.Д.З. выглядит следующим образом: .

При решении логарифмических уравнений и неравенств используются следующие методы:

1. Метод решения уравнений, основанный на определении логарифма, обычно используется для решения уравнений, содержащих переменные в показателях или в знаменателях степеней. Основная идея заключается в том, что, если есть уравнение, в котором переменная встречается в показателе степени, вы можете воспользоваться определением логарифма для приведения его к более простому виду [3].

2. Решение уравнений с помощью потенцирования. Потенцирование, то есть переход от уравнения к уравнению . Здесь следует иметь в виду, что эти уравнения, возможно, неравносильны. Второе уравнение может иметь корни, не входящие в ОДЗ первого, для которых

3. Метод замены переменных широко используется при работе с более сложными логарифмическими уравнениями, которые не поддаются сводимости к известным уравнениям. Необходимо помнить, что уравнение должно стать проще и избавиться от старых переменных после замены. Важно учитывать процесс обратной замены переменных для успешного применения метода.

4. Графический метод может быть применен для решения логарифмических уравнений наравне с другими методами. Его суть заключается в том, чтобы сначала построить графики функций из уравнения на одной плоскости, а затем найти точки их пересечения визуально. Если полученные корни проходят проверку в начальном уравнении, то решение считается верным [1].

5. Приведение к одному основанию. В процессе решения уравнений логарифмы с различными основаниями являются неотъемлемой частью. Основной стратегией при этом является приведение всех логарифмов к одному основанию путем применения соответствующих свойств. Это позволяет упростить вычисления и значительно ускорить процесс нахождения решения.

При решении логарифмических уравнений часто также бывает полезен метод группировки. При использовании этого метода главное помнить, что: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один из них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются логарифмы или скобки с логарифмами, а не просто скобки с переменными как в рациональных уравнениях, то может возникнуть много ошибок. Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют.

 Для успешного обучения школьников решению логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах необходимо разработать эффективные стратегии обучения. Одним из ключевых элементов таких стратегий является структурирование учебного материала и последовательное его представление учащимся.

Первое, на что следует обратить внимание при разработке стратегии, это понимание важности обучения логарифмам и их решения. Школьники должны ясно видеть, какие практические задачи и ситуации могут быть решены с помощью логарифмов, чтобы понимать их роль в реальной жизни.

Далее, важно акцентировать внимание на базовых понятиях и принципах, лежащих в основе логарифмов. Понимание основных свойств логарифмов и умение применять их в решении уравнений и неравенств является основой для дальнейшего углубленного изучения этой темы.

При разработке стратегии обучения важно учитывать индивидуальные особенности каждого ученика. Некоторым школьникам может потребоваться дополнительное объяснение материала, в то время как другим достаточно просто практиковаться в решении задач. Разнообразные методики обучения, такие как индивидуальные занятия, групповая работа, использование интерактивных приложений или игровые формы обучения, могут помочь в достижении лучших результатов [2].

Значительное внимание следует уделить практическим заданиям и примерам, демонстрирующим практическое применение логарифмов. Школьники должны иметь возможность самостоятельно решать задачи разной сложности, что позволит им закрепить полученные знания и умения.

Необходимо также стимулировать учащихся к самостоятельному мышлению и исследовательской деятельности. При решении задач по логарифмам важно учить школьников применять логику, аналитические навыки и стратегии решения, что развивает их критическое мышление и способствует формированию математической компетенции.

Введение в учебный процесс элементов соревновательности и поощрения активности также может способствовать эффективному обучению. Соревнования по решению задач по логарифмам и неравенствам могут мотивировать школьников к более активному участию в уроках и привлечению большего интереса к предмету.

Модернизация образовательной системы диктует пересмотр привычных форм и содержания обучения, требует от преподавателя конкретной деятельности, направленной на формирование готовности обучающихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в дальнейшей жизни для решения практических задач.

При формировании заданий на карточках для коллективной работы в группе, важно помнить о значении индивидуального подхода к обучению. Каждый ученик имеет свои сильные и слабые стороны, поэтому предоставление разнообразных вариантов заданий становится необходимостью. Использование шести вариантов заданий – отличный способ дифференцировать обучение: вариант 1 и 2 подойдут для слабых учеников, в то время как варианты 3 и 4 будут подходить для средних, и варианты 5 и 6 – для сильных. Этот подход способствует более эффективной работе над заданиями и учебным материалом [4].

Разнообразие карточек соответствует разноуровневым потребностям учащихся. Однако, разнообразие задач может привести к увеличению сложности подготовки материалов. Баланс между индивидуальным и коллективным обучением должен сохраняться, чтобы каждый ученик получил подходящее и развивающее задание. Эффективность карточек с заданиями в коллективной работе заключается в их способности адаптироваться к потребностям каждого учащегося, тем самым повышая общий уровень понимания и вовлеченность в учебный процесс.

С помощью карточек имеется возможность оперативно управлять самостоятельной работой группы. Можно быстро сменять задания, индивидуализируя обучение в зависимости от скорости работы отдельных студентов, догружать тех, кто справился с основным заданием. С помощью карточек удобно давать обучающимся индивидуальные задания на дом. Существенна возможность выбирать из имеющихся карточек
те, которые соответствуют уровню конкретной группы. Для осуществления такой возможности нужно иметь большое количество карточек.

Разнообразие форм учебной деятельности раскрывается через использование карточек. Распределение карточек может быть индивидуальным или групповым, что способствует взаимной помощи учащихся. Организация коллективного процесса работы над одной задачей повышает эффективность обучения. Такие методы позволяют эффективно поддержать школьника, пропустившего занятия, или объединить учащихся для решения сложных задач. Использование карточек не ограничено однократным применением – они могут быть использованы повторно в группе после оценочного тестирования или анализа работ.

Существенна возможность комплектовать задания из нескольких карточек или, наоборот, ограничивать задание только частью карточки. Из карточек с задачами повышенной трудности можно набрать варианты для работы в кружке. Можно устраивать контрольные работы по большим разделам, раздавая по нескольку карточек. Перечисленные выше особенности карточек с заданиями позволяют утверждать, что их можно создавать по всем темам программы. Они универсальные и удобные в использовании.

Таким образом, эффективная стратегия обучения школьников решению логарифмических уравнений и неравенств в профильных классах должна учитывать потребности и особенности каждого учащегося, стимулировать самостоятельное мышление, развивать аналитические и логические способности, а также предоставлять достаточное количество практических заданий и примеров для закрепления материала.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Буцко, Е. В. Математика

: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень

:

11 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.

 :

Вентана

-Граф, 2020. — 74 с. : ил. — (Российский учебник).

Жаров С.Ю. Методы решения сложных логарифмических уравнений и неравенств в задании С3 единого государственного экзамена по математике [Текст] / С.Ю. Жаров // Наука и современность. – 2014. – № 29. – С. 75-80.

Математика: Модуль №4 для 11 класса. Учебно-методическая часть./ Сост.:

А.М.Быковских

, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики,

КрасГУ

. – Красноярск, 2006 — 38 c.

Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев. – М.: Наука, 2014. – 416 с.