Приближенное решение дифференциальных уравнений методом последовательного дифференцирования. Работа №48375

Приближенное решение дифференциальных уравнений методом последовательного дифференцирования

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Существует два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Один из них – способ последовательного дифференцирования. Пусть, например, требуется решить уравнение

(1)

удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Решение уравнения (1) ищем в виде ряда Тейлора:

(3)

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (2). Подставив в уравнение (1) значения , , , находим третий коэффициент: . Значения , , … находим путем последовательного дифференцирования уравнения (1) по и вычисления производных при . Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (3). Ряд (3) представляет искомое частное решение уравнения (1) для тех значений , при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (1) [2].

Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (1), если и рассматривать как произвольные постоянные. Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка [2].

Пример 1. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения [1]

Решение: Будем искать решение уравнения в виде

Здесь , . Находим , подставив в исходное уравнение: . Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

При имеем:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:

Список литературы

1. Колесов, В. В. Элементарное введение в высшую математику: учебное пособие / В. В. Колесов, М. Н. Романов. – Ростов н/Д: Феникс, 2013. – 476.

2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – М.: АЙРИС-пресс, 2020. – 608 с.