Элективный курс "Решение уравнений в целых числах". Работа №56588

 

РешениЕ уравнений в целых числах

Пояснительная записка

Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом, методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах.

Предлагаемый курс рассчитан в первую очередь на школьников 10 -11 классов, обучающихся по естественно-математическому, экономическому и общеобразовательному профилю. На первых занятиях предполагается рассмотреть вопросы теории делимости целых чисел, которые используются при решении уравнений в целых числах.

Цель курса развитие устойчивого познавательного интереса к математике через знакомство учащихся с методами решения некоторых уравнений в целых числах.

В ходе изучения названного курса преследуются:

Образовательная цель

 

–п

ознакомить учащих

ся с основами теории целых чисел

; сформировать представление о методах и способах решения нест

андартных задач и

уравнений

в целых числах

на уровне, превышающем уровень государственных образователь

ных стандартов

.

Воспитательная цель

  -   развивать мотивацию дальнейшего  математического образования, 

 

 

обучать самостоятельному анализу учебной  деятельности.                                            

Развивающая цель

 

-        научить

самостоятельно

мыслить, сопоставлять, анализировать,  

 

обобщать; прививать навыки исследовательской работы.

 

 

 

 

Основные задачи курса:

познакомить учащихся с понятием

диофантова

уравнения, историей его появления в математической науке;

научить решать

диофантовы

уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;

научить решать текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются

диофантовы

уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;

расширить представления учащихся в области истории математики;

продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики.

Программа данного элективного курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения.

Виды деятельности:

Необходимыми условиями реализации поставленных задач является адекватная методика, которая предполагает широкое использование следующих приемов:

беседа учителя с учениками;

предварительное осмысление, обдумывание задач;

работа в парах;

работа в группах;

применение объяснительно – иллюстративных методов;

обучающая самостоятельная работа;

составление справочника;

тестирование;

зачет;

использование компьютерной технологии.

 

 

 

Оценивание результатов:

Наряду с традиционными опросами, самостоятельной и контролирующей самостоятельной работой планируется провести итоговое тестирование и написать научно-исследовательскую работу по данной теме

Принципы отбора материала:

1. Последовательность.

2. Доступность.

3. Научность.

Ожидаемый результат:

Ученик осознает степень своего интереса к предмету и оценит возможность овладения им.

Учащиеся должны знать, что такое диафантово уравнение, методы решения

данных уравнений; уметь решать уравнения предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и то же уравнение решать различными способами, получить опыт самостоятельного решения уравнений в целых числах, используя имеющиеся алгоритмы; на основе усвоенных теоретических знаний творчески перерабатывать известные алгоритмы для решения задач с изменившимися условиями

 

 

.

Тип элективного курса:

углубляющий курс, имеющий временное согласование с учебным предметом

 

Общая характеристика курса

В содержании курса освящаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой степени в целых (натуральных) числах, с рассмотрением данных уравнений в качестве математических моделей реальных задачных ситуаций, позволяющих продемонстрировать интересные приложения математических методов. Работа с учащимися на занятиях данного курса опирается на базовый уровень знаний и умений по теме «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы», а также на умения учащихся выполнять операции над числами различной природы, особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.

В базовом школьном курсе при изучении линейного уравнения с двумя переменными рассматриваются только самые общие вопросы: определение линейного уравнения с двумя переменными, определение решения данного уравнения, равносильность уравнений с двумя переменными, график линейного уравнения. Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад, конкурсах по решению задач. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике – диофантовыми, существенно расширяет математический арсенал учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», а также позволит более успешно сдать ЕГЭ.

Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на 17 часов

 

 

Тематическое планирование

№

п/п

Темы занятий

Количество часов

Проблема решения уравнений в целых числах: от Диофанта до доказательства теоремы Ферма

1

Отношение делимости на множестве целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики.

2

Наибольший общий делитель целых чисел

1

Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида

2

Различные методы решения диофантовых уравнений первой степени от двух переменных.

3

Пифагоровы тройки

2

Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений

6

Итого

17

 

Текст пособия

1. Проблема решения уравнений в целых числах: от Диофанта до доказательства теоремы Ферма

Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, когда стоит задача найти целые или рациональные решения называются диофантовыми (неопределенными).

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (попробуйте решить задачу самостоятельно).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.).

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма.

Пьер де Ферма родился 20 августа 1601 года на юго-западе Франции. Он не занимался профессионально математикой, но был одним из величайших в истории математики «любителем».

Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и занимался решением аналогичных и более интересных задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения.

При чтении второй книги «Арифметики», Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20,   y = 21,   z = 29   и   202 + 212 = 292).

Вместо уравнения Пифагора x2 + y2 = z2 Ферма занялся рассмотрением уравнения x3 + y3 = z3. Он всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение не допускало никаких решений в целых числах. Таким образом, незначительное изменение превратило уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах.

Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа бóльшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений очень трудно. И Ферма доказал, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению

xn + yn = zn,     где n = 3, 4, 5, ...

На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». Это замечание Ферма сделал в1637 году.

За прошедшие столетия были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма, до недавнего времени, упорно не поддавалась усилиям математиков. Великая теорема Ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. 358 лет многие великие математики (К.Г. Баше, Л. Эйлер, Дж. Валлис Ж. Лагранж и др.) пытались доказать эту теорему, но только в конце 20 века в 1995 году она была доказана американскими математиками Э. Уайлсом и Р. Тейлором.

В настоящее время проблема решения неопределенных уравнений в целых числах хорошо разработана. Мы рассмотрим здесь некоторые методы решения уравнений в целых числах и способы доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах. Многие из этих методов предполагают применение некоторых понятий и алгоритмов теории делимости. В связи с этим, прежде чем переходить непосредственно к методам решения неопределенных уравнений в целых числах обратимся к основным понятиям и алгоритмам теории делимости целых чисел.

2. Делимость целых чисел. Простые и составные числа.Основная теорема арифметики

Везде далее будем рассматривать только целые числа.

Определение 2.1. Число а делится на число b (или b делит а) если существует такое число с, что а = bc. При этом число c называется частным от деления а на b.

Обозначения: <Object: word/embeddings/oleObject1.bin> (а делится на b) или ba (b делит a).

Перечислим простейшие свойства делимости, которые справедливы для любых целых чисел.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>

и

с

– частное от деления, то

с

– единственное.

Любое целое число делится на себя

<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>

.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>

и

<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>

, то

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>

.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>

и

<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>

, то или

a=b,

или

a= -b.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>

и

<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>

,

то

а=

0.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>

и

а

0, то

<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>

.

Для того чтобы

<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>

необходимо и достаточно чтобы

<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>

.

Если

<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>

, то

<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>

.

Если сумма

<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>

и

<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>

, то

<Object: word/embeddings/oleObject19.bin>

.

Замечание 2.2. На основании свойства 7 в дальнейшем достаточно ограничиваться рассмотрением случая, когда делитель есть положительное число. Равным образом делимость произвольных целых чисел сводится к делимости неотрицательных чисел.

В соответствии с замечанием 2.2 будем рассматривать целые положительные числа.

Определение 2.3. Целое положительное число р 1 называется простым, если оно имеет ровно два положительных делителя: 1 и р.

Определение 2.4. Целое положительное число m 1 называется составным, если оно имеет, по крайней мере, один положительный делитель отличный от 1 и m.