Элементы теории вероятностей | Худойдодова Валерия Файзуллоевна. Работа №307775

Введение

Изучение основ теории вероятностей в школьном курсе математики имеет некоторые особенности. С одной стороны, это достаточно емкий и тяжелый процесс, который трудно усваивается порой уже в более сознательном возрасте, не говоря уже о школьном, однако, на данный момент никто не сомневается в необходимости включения данной дисциплины в обучающий курс, так как она помогает развивать у ребенка ряд навыков, которые пригодятся ему не только в дальнейшем обучении, но и в жизни в целом. Нужно научить школьников мыслить, учитывая всякого рода вероятности. То есть нужно научить их получать, анализировать и обрабатывать информацию, совершать взвешенные, обдуманные поступки в различных ситуациях с неожиданными исходами. Учащиеся в своей жизни каждый день сталкивается с такими ситуациями.

Элементы теории вероятностей

1. 1. Основные понятия теории вероятностей

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием. Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями "герб", "цифра на верхней ее стороне" (когда монета упадет). Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т.п. События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ...

При этом стоит понимать, что событие – это не какое-то происшествие, а возможный исход.

Случайным (возможным) называется событие, которое в результате опыта (испытания, эксперимента) может произойти или не произойти. [6]

Решение:

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 1400 − 7 = 1393 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

Ответ: 0,995.

Буквой обозначается множество всех возможных исходов испытания. Оно бывает конечным или бесконечным (счетным или несчетным). При этом если оно конечное или конечное, но счетное, то множество исходов является дискретным, в случае несчетного – множество исходов непрерывное.

Если при каждом испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что A влечет за собой В (т. е. А содержится в B). Обозначается этот факт так: А В.

Пример:

Если А = {выпало «2» на кубике}; В = {выпало четное число на кубике}, то А В.

Если А В и В А, то А и В называются равносильными событиями. Обозначается: А = В.

События называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. В противном случае события называются совместными. [5]

Примеры:

1 Выигрыш по одному билету двух призов в лотерее – события несовместные, а выигрыш двух призов по двум билетам – события совместные.

2 Получение «5» и «4» одновременно за один и тот же экзамен – события несовместные.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

События называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Пример:

Появление герба или решки при подбрасывании монеты – события равновозможные, если монета «правильная» (т. е. выполнена симметрично).

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример:

Имеются три события, состоящие в том, что в семье из двух детей: А = {2 мальчика}, В = {2 девочки}, С = {1 мальчик, 1 девочка}. Эти три события являются единственно возможными.

Несколько событий образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными. Событие, противоположное исходному событию А, будем обозначать А.

Стоит отметить, что противоположные события – это частный случай событий, образующих полную группу. [6]

Решение:

Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.

Ответ: 0,19.

1. 2. Операции над событиями

Суммой, или объединением, двух событий A и B в некотором опыте называется событие A + B, состоящее из тех элементарных исходов, которые входят или в событие A, или в событие B, или в то и другое.

Можно сказать, что событие A + B состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B (здесь используется не исключающее логическое «или»). Например, пусть в опыте с бросанием игральной кости событие A = {выпало число очков, кратное двум}, B = {выпало число очков, кратное трём}. Тогда событие A + B = {выпало число очков, кратное или двум, или трём}. Так как = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}, A + B = {2, 3, 4, 6}.

Аналогично определяется сумма большего числа событий.

Произведением, или пересечение, двух событий A и B называется событие A B , состоящее из элементарных исходов, принадлежащих и событию A, и событию B, т.е. общих для A и B. Итак, событие A B происходит тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B (логическое «и»). В разобранном выше примере с бросанием игральной кости событие A B означает выпадение шести очков, т.е. A B = {6}. Если же в том же примере рассмотреть события A = {выпадение чётного числа очков}, B = {выпадение нечётного числа очков}, то A B = , т.е. будет невозможным событием. Напомним, что в этом случае говорят: события A и B – несовместные события.

Аналогично определяется произведение большего числа событий.

1. 3. Теорема «Сложение несовместных событий»

Теорема: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е. Р(А)+ Р(А) = 1.

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих несовместимых событий, т. е.

Решение:

Пусть A — событие, состоящее в том, что мишень поражена стрелком с первого выстрела, B — событие, состоящее в том, что первый раз стрелок промахнулся, а со второго выстрела поразил мишень. Вероятность события A равна P(A) = 0,7. Событие B является произведением двух независимых событий, поэтому его вероятность равна произведению вероятностей этих событий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. События A и B несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Ответ: 0,91.

1. 4. Теорема «О вероятности суммы двух произвольных событий»

Теорема: Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий, т.е.

Р(А+В) = Р(А)+Р(В) – Р(А·В).

Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:

2 события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, совершилось второе событие или нет.

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и B могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что цель поражена с первого выстрела, В — со второго. Вероятность того, что мишень будет поражена первым или вторым выстрелом равна вероятности суммы событий A и B. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

Ответ: 0,91.

1. 5. Теорема «О вероятности произведения независимых

событий»

Решение:

Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Мотор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим:

Ответ: 0,125.

Список использованной литературы

Аверина, Н. Д. "Элементы теории вероятностей" для подготовки к ЕГЭ по математике / автор Н. Д. Аверина. —

Текст :

электронный // сайт : Первое сентября. — URL: https://urok-1sept-ru.turbopages.org/urok.1sept.ru/s/articles/653430 (дата обращения: 27.05.2021).

Гусак, А. А. Теория вероятностей / А. А. Гусак, Е. А.

Бричикова

. –

Новосибирск :

СибГУТИ

, 2009. – 128 с. – ISBN[985-470-138-7] – Текст непосредственный.

Гущин, Д. Д. Решу ЕГЭ / составитель Д. Д. Гущин. —

Текст :

электронный // сайт : Образовательный портал для подготовки к экзаменам. — URL: https://ege.sdamgia.ru/ (дата обращения: 27.05.2021).

Зайцев, В. П. Теория вероятностей и математическая

статистика :

учебное пособие / В. П. Зайцев. –

Барнаул :

Изд-во

АлтГТУ

, 2014. – 268 с. – ISBN [978-5-7568-1047-9] – текст непосредственный.

Ищанов

, Т. Р. Теоремы сложения и умножения вероятностей / составитель Т. Р.

Ищанов

. —

Текст :

электронный // сайт :

Ischanow

. — URL: https://ischanow.com/teoriya-veroyatnostey/teoremy-slozheniya-i-umnozheniya-veroyatn.html

(дата обращения: 26.05.2021).