Название статьи:
Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора. | Никита Желтяк. Работа №311787
Дата публикации:
16.03.2023
Автор:
Никита Желтяк
Описание:
На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, у каждого взрослого, жизнь которого совершенно не связана с математикой, со школьной скамьи осталось в памяти, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость.
В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Теорема Пифагора занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.
Меня заинтересовали эти факты, поэтому я решил продолжить знакомство с историей теоремы, ее доказательствами и практической значимостью в деятельности человека. В этом я вижу актуальность своей работы.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 42 г. Магнитогорска
История одной теоремы
Информационно-познавательный проект
Желтяк Никита
наставник Васильева Елена Викторовна
Содержание
Введение……………………………………………………………….……..3
Глава1.Биография Пифагора………………………………………………...4
Глава2.История теоремы Пифагора………………………………………....5
Глава3.Различные способы доказательства теоремы …..............................7
3.1Древнекитайское доказательство………………………………..............7
3.2Доказательство Гарфилда………………………………………..............7
3.3Простейшее доказательство……………………………………..............7
Глава4.Применение теоремы Пифагора…………………………………….
4.1Молниеотвод……………………………………………………...............8
4.2Мобильная связь………………………………………………….............8
4.3Социальные сети…………………………….…………………………...9
Глава5. Технология создания продукта………………………………………………….10
Заключение……………………………………………….………………….11
Список источников……………………………………….………………….12
Приложения……………………………………………………………………………………………………………………13
2Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень
Иоганн Кеплер
Введение
На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, у каждого взрослого, жизнь которого совершенно не связана с математикой, со школьной скамьи осталось в памяти, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость.
В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательнуюсилу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромноезначение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт,что существует около 500 различных доказательств этой теоремы(геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует огигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Теорема Пифагора занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.
Меня заинтересовали эти факты, поэтому я решил продолжить знакомство с историей теоремы, ее доказательствами и практической значимостью в деятельности человека. В этом я вижу актуальность своей работы.
Цель работы: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение.
Задачи:
1)Изучить историю открытия теоремы Пифагора;
2)Познакомиться с различными способами доказательства теоремы
Пифагора;
3)Узнать практическое применение теоремы Пифагора;
Проектный продукт – Интернет газета.
3
Глава1. Биография Пифагора
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинствагрековиварваров. ЕщёГеродотназывал его величайшим эллинским мудрецом. Мы не можем знать достоверно историю Пифагора, поскольку самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
Пифагор родился вСидонеФиникийском примерно в570 до н. э.С ранних лет он обнаружил необыкновенную одарённость. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с островаСамос. По одной из версий Мнесарх был камнерезом, по другой – он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Мать Пифагора Партенида происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.
Рождение ребёнка будто бы предсказалаПифиявДельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит тот, о ком объявила Пифия. В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой.
По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.
Античный философ Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл вВавилонв числе пленников персидский царьКамбис.Нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.
Итак, спустя двенадцать лет, Пифагор, наконец, смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.
сообщает: Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.
Так Пифагор поселился в греческой колонииКротонев Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.
Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике
4
и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую пифагорейскую гамму и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи гармонии мира и музыки сфер, впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагору традиция приписывает введение словфилософияифилософ.
Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Источники сообщают, что Пифагор прожил 80 или 90 лет. Из этого следует дата смерти490 до н. э.или 480 дон.э. [1]
5
Глава2.История теоремы Пифагора
Для нас имя Пифагора связано прежде всего с теоремой Пифагора. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так в Египте еще пять тысячелетий назад при строительстве сооружений учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника. А в вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.
Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.
Возникает вопрос, почему же тогда история гласит, что возникновение этой теоремы связано с Пифагором? Ответ может быть только один - он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем. Легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".
Исторический обзор теоремы Пифагора начнем сдревнего Китая.Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3,
а высота 4.
Кантор(крупнейший немецкий историк математики) обнаружил на хранящемся в Берлинском музее папирусе записанное египтянами примерно в 2300 г. до н.э. равенство 3+4=5. По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м с узлами на каждом метре и вобьем колышки в землю, как (в приложении 1).
Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до н.э. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического
6
характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики. (Приложение 2)
В заключение приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. ( Приложение 3).
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Латинский перевод арабского текста:
Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол.
Перевод с немецкого (около 1400 года):
Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу.
В первом русском переводе евклидовых Начал, теорема Пифагора изложена так:
В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол.
Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет множество вариантов. [2].
7
Глава3. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы:
Пифагоровы штаны – на все стороны равны,Чтобы это доказать, нужно снять и показать (Приложение 4).
В наше время известно множество доказательств теоремы Пифагора. А сама теорема даже заслужила место в Книге рекордов Гиннеса как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге Пифагорово предложение, вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств, включая одно, предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом. [4]/
3.1. Древнекитайское доказательство.
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетамиa,bи гипотенузойсуложены так, что их внешний контур образует квадрат со сторонойa+b, а внутренний – квадрат со сторонойс, построенный на гипотенузе. (Приложение 5) [5].
3.2. Доказательство Джеймса Абрахама Гарфилда (20-й президент США с марта по сентябрь 1881 года ).
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь данной фигуры можно находить либо по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. (Приложение 6)
Приравнивая эти выражения, получим
Раскрывая скобки и сокращая, получим
Теорема доказана.
3.3. Простейшее доказательство.
Простейшее доказательство получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит четыре исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана. (Приложение 7) [6].
8
Глава4. Применение теоремы Пифагора.
4.1 Молниеотвод.
Теорема Пифагора нашла своё применение и в физике для определения высоты молниеотвода. Молниеотвод обязательно должен быть на зданиях, где находятся люди. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов.
Для демонстрации случая практического применения теоремы Пифагора определим наименьшую доступную высоту молниеотвода на двускатной крыше детского сада.
Учтём, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.
По плану размеры крыши a=50м и b=12м, высоту молниеотвода обозначим через h. О – основание молниеотвода. Расстояние от основания молниеотвода до предмета S. (Приложение 8).
Если установить молниеотвод посередине крыши, то определим максимальное расстояние S от основания молниеотвода до края крыши:
Молниеотвод защитит здание при условии , значит
В нашем случае получаем, что высота молниеотвода должна быть не менее 13 метров. [7].
4.2. Мобильная связь.
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора.
При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу:
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе R, если известно, что радиус Земли равен 6 380 км?
Согласно свойству касательной: Δ ВСО – прямоугольный (∠С=90).
Пусть AB = h км, BC = R км, OC = r = 6380 км, OB = OA + AB, OB = r + h.(Приложение 9).
Используя теорему Пифагора, получаем: Используя информацию о технических характеристиках вышки сотовой связи решим эту задачу.
Решение:
Если известен радиус зоны покрытия R=20 км, то используя предыдущие вычисления, получим:
=>31 м – высота вышки. [8]
9
4.3 Социальные сети.
Есть такой закон —закон Меткалфа, формулирующий уровень
полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети
растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней.
Например, Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей.
Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух социальных сетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно. [9]. (Приложение 10)
10
Заключение.
В заключение приведу основные выводы по работе.
Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем геометрии. Она применяется для решения огромного количества геометрических задач. Является примером простоты, красоты и широкой значимости.
Несмотря на то, что теорема носит имя Пифагора, ее знаменитое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике было известно задолго до его рождения. С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол.Этот удобный и очень точный способ употребляли землемеры для проведения на местности перпендикулярных линий. Для этого брали шнур и три колышка. Шнур располагали треугольником так, чтобы одна сторона состояла из трех частей, вторая – из четырех, и последняя – из пяти таких частей. Шнур при этом образует треугольник, в котором есть прямой угол.
Также найдены свидетельства о знании соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в Древнем Китае, у древних индусов, в Вавилоне. И все это было задолго до жизни Пифагора. Однако эта теорема названа его именем, потому что Пифагор доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.
Со временем доказательств теоремы Пифагора все прибавлялось. На сегодняшний день их насчитывается более пятисот. Теорема даже занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как имеющая наибольшее число доказательств.
В своей работе я привел несколько способов доказательства теоремы Пифагора, не изучаемых в школе.
Сегодня теорема широко применяется в различных сферах деятельности, почти везде, где необходимы геометрические расчеты. Некоторые примеры практического применения я изучил в ходе написания работы. Это:
в физике при расчете высоты молниеотвода для обеспечения безопасности здания в случае удара молнии;
в расчете полезности новой социальной сети.
11
Глава 5. Технология изготовления проектного продукта.
5.1. Описание содержание и этапы изготовления проектного продукта.
Конечным результатом моего проекта является – электронная газета.
Для создания электронной газеты была выбрана программа Microsoft Publisher Document.
Следующие мои действия при выполнении данной газеты были такие: Определился с тем, какой материал будет содержать мой творческий продукт. Поиск, сбор, анализ и отбор необходимой информации по теме (История теоремы Пифагора).
11
Список источников.
Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
По следам теоремы Пифагора. М: Самообразование, 2000.
Рассчитываем длину стропил и свесов двухскатной крыши [Электронный ресурс]Режим доступа: //kryshagid.ru/stropilnaya-sistema/kak-rasschitat-dlinu-stropil-dvuxskatnoj-kryshi.html (Дата обращения:04.03.2022)
Молниеотвод [Электронный ресурс]Режим доступа: https://lektsii.org/14-26409.html (Дата обращения:04.03.2022)
Мобильная связь [Электронный ресурс] Режим доступа: https://www.pedopyt.ru/categories/11/articles/1244 (Дата обращения:04.03.2022)
Социальная сеть [Электронный ресурс] Режим доступа: http://ext.spb.ru/2011-03-29-09-03-14/95-maths/18020-Primenenie_teoremy_Pifagora_v_povsednevnoy_zhizni_.html (Дата обращения:04.03.2022)
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
13
Приложение 3
Приложение 4
14
Приложение 5
Приложение 6
15
Приложение 7
Приложение 8
16
Приложение 9
Приложение 10
Скачать работу
Средняя общеобразовательная школа № 42 г. Магнитогорска
История одной теоремы
Информационно-познавательный проект
Желтяк Никита
наставник Васильева Елена Викторовна
Содержание
Введение……………………………………………………………….……..3
Глава1.Биография Пифагора………………………………………………...4
Глава2.История теоремы Пифагора………………………………………....5
Глава3.Различные способы доказательства теоремы …..............................7
3.1Древнекитайское доказательство………………………………..............7
3.2Доказательство Гарфилда………………………………………..............7
3.3Простейшее доказательство……………………………………..............7
Глава4.Применение теоремы Пифагора…………………………………….
4.1Молниеотвод……………………………………………………...............8
4.2Мобильная связь………………………………………………….............8
4.3Социальные сети…………………………….…………………………...9
Глава5. Технология создания продукта………………………………………………….10
Заключение……………………………………………….………………….11
Список источников……………………………………….………………….12
Приложения……………………………………………………………………………………………………………………13
2Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень
Иоганн Кеплер
Введение
На уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, у каждого взрослого, жизнь которого совершенно не связана с математикой, со школьной скамьи осталось в памяти, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость.
В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательнуюсилу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромноезначение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт,что существует около 500 различных доказательств этой теоремы(геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует огигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Теорема Пифагора занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств.
Меня заинтересовали эти факты, поэтому я решил продолжить знакомство с историей теоремы, ее доказательствами и практической значимостью в деятельности человека. В этом я вижу актуальность своей работы.
Цель работы: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение.
Задачи:
1)Изучить историю открытия теоремы Пифагора;
2)Познакомиться с различными способами доказательства теоремы
Пифагора;
3)Узнать практическое применение теоремы Пифагора;
Проектный продукт – Интернет газета.
3
Глава1. Биография Пифагора
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинствагрековиварваров. ЕщёГеродотназывал его величайшим эллинским мудрецом. Мы не можем знать достоверно историю Пифагора, поскольку самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
Пифагор родился вСидонеФиникийском примерно в570 до н. э.С ранних лет он обнаружил необыкновенную одарённость. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с островаСамос. По одной из версий Мнесарх был камнерезом, по другой – он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Мать Пифагора Партенида происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.
Рождение ребёнка будто бы предсказалаПифиявДельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит тот, о ком объявила Пифия. В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой.
По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.
Античный философ Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл вВавилонв числе пленников персидский царьКамбис.Нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой чем в Египте. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.
Итак, спустя двенадцать лет, Пифагор, наконец, смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.
сообщает: Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей.
Так Пифагор поселился в греческой колонииКротонев Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.
Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике
4
и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую пифагорейскую гамму и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи гармонии мира и музыки сфер, впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагору традиция приписывает введение словфилософияифилософ.
Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически - как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию. Источники сообщают, что Пифагор прожил 80 или 90 лет. Из этого следует дата смерти490 до н. э.или 480 дон.э. [1]
5
Глава2.История теоремы Пифагора
Для нас имя Пифагора связано прежде всего с теоремой Пифагора. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так в Египте еще пять тысячелетий назад при строительстве сооружений учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника. А в вавилонских текстах упоминается о все том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора.
Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет — ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.
Возникает вопрос, почему же тогда история гласит, что возникновение этой теоремы связано с Пифагором? Ответ может быть только один - он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем. Легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы.Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".
Исторический обзор теоремы Пифагора начнем сдревнего Китая.Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3,
а высота 4.
Кантор(крупнейший немецкий историк математики) обнаружил на хранящемся в Берлинском музее папирусе записанное египтянами примерно в 2300 г. до н.э. равенство 3+4=5. По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м с узлами на каждом метре и вобьем колышки в землю, как (в приложении 1).
Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.
Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до н.э. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического
6
характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.
В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики. (Приложение 2)
В заключение приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. ( Приложение 3).
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Латинский перевод арабского текста:
Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол.
Перевод с немецкого (около 1400 года):
Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу.
В первом русском переводе евклидовых Начал, теорема Пифагора изложена так:
В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол.
Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет множество вариантов. [2].
7
Глава3. Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы:
Пифагоровы штаны – на все стороны равны,Чтобы это доказать, нужно снять и показать (Приложение 4).
В наше время известно множество доказательств теоремы Пифагора. А сама теорема даже заслужила место в Книге рекордов Гиннеса как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге Пифагорово предложение, вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств, включая одно, предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом. [4]/
3.1. Древнекитайское доказательство.
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетамиa,bи гипотенузойсуложены так, что их внешний контур образует квадрат со сторонойa+b, а внутренний – квадрат со сторонойс, построенный на гипотенузе. (Приложение 5) [5].
3.2. Доказательство Джеймса Абрахама Гарфилда (20-й президент США с марта по сентябрь 1881 года ).
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь данной фигуры можно находить либо по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. (Приложение 6)
Приравнивая эти выражения, получим
Раскрывая скобки и сокращая, получим
Теорема доказана.
3.3. Простейшее доказательство.
Простейшее доказательство получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит четыре исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана. (Приложение 7) [6].
8
Глава4. Применение теоремы Пифагора.
4.1 Молниеотвод.
Теорема Пифагора нашла своё применение и в физике для определения высоты молниеотвода. Молниеотвод обязательно должен быть на зданиях, где находятся люди. Гроза и ее непременный атрибут молния – атмосферное явление, таящее в себе достаточно большую опасность. Достаточно сказать, что в год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов.
Для демонстрации случая практического применения теоремы Пифагора определим наименьшую доступную высоту молниеотвода на двускатной крыше детского сада.
Учтём, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.
По плану размеры крыши a=50м и b=12м, высоту молниеотвода обозначим через h. О – основание молниеотвода. Расстояние от основания молниеотвода до предмета S. (Приложение 8).
Если установить молниеотвод посередине крыши, то определим максимальное расстояние S от основания молниеотвода до края крыши:
Молниеотвод защитит здание при условии , значит
В нашем случае получаем, что высота молниеотвода должна быть не менее 13 метров. [7].
4.2. Мобильная связь.
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора.
При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу:
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе R, если известно, что радиус Земли равен 6 380 км?
Согласно свойству касательной: Δ ВСО – прямоугольный (∠С=90).
Пусть AB = h км, BC = R км, OC = r = 6380 км, OB = OA + AB, OB = r + h.(Приложение 9).
Используя теорему Пифагора, получаем: Используя информацию о технических характеристиках вышки сотовой связи решим эту задачу.
Решение:
Если известен радиус зоны покрытия R=20 км, то используя предыдущие вычисления, получим:
=>31 м – высота вышки. [8]
9
4.3 Социальные сети.
Есть такой закон —закон Меткалфа, формулирующий уровень
полезности социальной сети: он говорит, что ценность социальной сети
растёт в квадратичной зависимости от количества пользователей в ней.
Например, Сеть из 50 млн. пользователей = Сеть из 40 млн. пользователей + Сеть из 30 млн. пользователей.
Кажется удивительным, что полезность социальной сети в 50 миллионов человек выражается через полезность двух социальных сетей, в сумме имеющих 70 миллионов человек, но это на самом деле так. Социальная сеть растёт нелинейно. [9]. (Приложение 10)
10
Заключение.
В заключение приведу основные выводы по работе.
Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем геометрии. Она применяется для решения огромного количества геометрических задач. Является примером простоты, красоты и широкой значимости.
Несмотря на то, что теорема носит имя Пифагора, ее знаменитое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике было известно задолго до его рождения. С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол.Этот удобный и очень точный способ употребляли землемеры для проведения на местности перпендикулярных линий. Для этого брали шнур и три колышка. Шнур располагали треугольником так, чтобы одна сторона состояла из трех частей, вторая – из четырех, и последняя – из пяти таких частей. Шнур при этом образует треугольник, в котором есть прямой угол.
Также найдены свидетельства о знании соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в Древнем Китае, у древних индусов, в Вавилоне. И все это было задолго до жизни Пифагора. Однако эта теорема названа его именем, потому что Пифагор доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем.
Со временем доказательств теоремы Пифагора все прибавлялось. На сегодняшний день их насчитывается более пятисот. Теорема даже занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как имеющая наибольшее число доказательств.
В своей работе я привел несколько способов доказательства теоремы Пифагора, не изучаемых в школе.
Сегодня теорема широко применяется в различных сферах деятельности, почти везде, где необходимы геометрические расчеты. Некоторые примеры практического применения я изучил в ходе написания работы. Это:
в физике при расчете высоты молниеотвода для обеспечения безопасности здания в случае удара молнии;
в расчете полезности новой социальной сети.
11
Глава 5. Технология изготовления проектного продукта.
5.1. Описание содержание и этапы изготовления проектного продукта.
Конечным результатом моего проекта является – электронная газета.
Для создания электронной газеты была выбрана программа Microsoft Publisher Document.
Следующие мои действия при выполнении данной газеты были такие: Определился с тем, какой материал будет содержать мой творческий продукт. Поиск, сбор, анализ и отбор необходимой информации по теме (История теоремы Пифагора).
11
Список источников.
Акимова С. Занимательная математика, серия "Нескучный учебник". – Санкт-Петербург. : "Тригон", 1997.
Волошников А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993.
Еленьский Ш. По следам Пифагора. М., 1961.
Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
По следам теоремы Пифагора. М: Самообразование, 2000.
Рассчитываем длину стропил и свесов двухскатной крыши [Электронный ресурс]Режим доступа: //kryshagid.ru/stropilnaya-sistema/kak-rasschitat-dlinu-stropil-dvuxskatnoj-kryshi.html (Дата обращения:04.03.2022)
Молниеотвод [Электронный ресурс]Режим доступа: https://lektsii.org/14-26409.html (Дата обращения:04.03.2022)
Мобильная связь [Электронный ресурс] Режим доступа: https://www.pedopyt.ru/categories/11/articles/1244 (Дата обращения:04.03.2022)
Социальная сеть [Электронный ресурс] Режим доступа: http://ext.spb.ru/2011-03-29-09-03-14/95-maths/18020-Primenenie_teoremy_Pifagora_v_povsednevnoy_zhizni_.html (Дата обращения:04.03.2022)
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
13
Приложение 3
Приложение 4
14
Приложение 5
Приложение 6
15
Приложение 7
Приложение 8
16
Приложение 9
Приложение 10
