Исследовательская работа: "Замечательное число "е" | Исаев Д.А.. Работа №303782

Введение

В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы Эйлера–Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера.

Цель индивидуального проекта описать замечательное число e.

В данной работе представлены:

К

раткий

обзор

основных

событий

творческой

жизни

Леонарда

Эйлера,

С

уть

числа

e,

С

пособ

вычисления

его

приближенного

значения

и

приближенного

значения

e

x

.

Глава 1. Леонард Эйлер как великий математик

Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 – 1783 гг.).

Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.

Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он – наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 – 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой – как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию – под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути.

Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли – Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ. В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики.

Глава 2 Определение числа e, приближенное вычисление его значения и его трансцендентность

2.1 Определение числа e

Рассмотрим числовую последовательность (xn), заданную формулой

<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>.

Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность <Object: word/embeddings/oleObject2.bin>(yn), заданную формулой

<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>.

Докажем, что (yn) – убывающая ограниченная снизу числовая последовательность (числовая последовательность (an) называется ограниченной снизу последовательностью, если существует число c, такое что для любого натурального n справедливо неравенство <Object: word/embeddings/oleObject4.bin>). Действительно,

<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>; <Object: word/embeddings/oleObject6.bin>.

Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем:

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin><Object: word/embeddings/oleObject8.bin>

Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим

<Object: word/embeddings/oleObject9.bin><Object: word/embeddings/oleObject10.bin><Object: word/embeddings/oleObject11.bin>.

Таким образом,

<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>,

А значит:

<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>.

Теперь докажем ограниченность снизу (yn), для этого воспользуемся неравенством Бернулли:

<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>.

Поскольку (yn) – ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. И, наконец, докажем сходимость последовательности

<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>:

<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>

Предел последовательности

(xn)=<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>

И называют числом e, то есть числом Эйлера.

2.2 Приближенное вычисление значения числа e

На практике при встрече с числом e, как правило, необходимо знать его приближенное значение. Если к варианте (вариантой принято обозначать переменную, принимающую некоторую последовательность значений)

xn=<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>

при<Object: word/embeddings/oleObject19.bin><Object: word/embeddings/oleObject20.bin>

Если фиксировать k и, считав n>k, отбросить все члены последней части, следующие за (k+1)-м, то получим следующее неравенство:

<Object: word/embeddings/oleObject21.bin>.

Увеличивая здесь n до бесконечности, перейдем к пределу, так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

<Object: word/embeddings/oleObject22.bin>.

Это неравенство имеет место при любом натуральном k. Таким образом, имеем

xn<yn≤e,

отсюда видно, что и

<Object: word/embeddings/oleObject23.bin>.

При этом говорят, что yn является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда

<Object: word/embeddings/oleObject24.bin>,

и записанное только что предельное соотношение показывает, что e является его суммой, а так же говорят, что число e разлагается в этот ряд, то есть

<Object: word/embeddings/oleObject25.bin>.

Оценим степень близости yn к e. Для этого рассмотрим разность между любым значением yn+m (где m=1,2,3,..), следующим за yn, и самим yn. Имеем

<Object: word/embeddings/oleObject26.bin>

Если в скобках [] заменить все множители в знаменателях дробей на n+2, то получим неравенство:

<Object: word/embeddings/oleObject27.bin>,

которое лишь усилиться, если заменить скобки суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

<Object: word/embeddings/oleObject28.bin>:

заменить формулу бинома, то получим:

<Object: word/embeddings/oleObject29.bin>.

Если сохранять здесь n неизменным, а m увеличивать до бесконечности, то варианта yn+m будет принимать последовательность значений yn+1, yn+2, yn+3,…, yn+m,…, очевидно, сходящуюся к e. Поэтому

<Object: word/embeddings/oleObject30.bin>

а так как

<Object: word/embeddings/oleObject31.bin>,

то <Object: word/embeddings/oleObject32.bin>.

Если через θ обозначить отношение разности

<Object: word/embeddings/oleObject33.bin>к числу <Object: word/embeddings/oleObject34.bin>

(оно, очевидно, содержится между 0 и 1), то также можно записать

<Object: word/embeddings/oleObject35.bin>.

Заменяя здесь yn его развернутым выражением, мы и придем к формуле, которая послужит начальной точной для вычисления e:

<Object: word/embeddings/oleObject36.bin>.

Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для е. Если поставить себе задачей с помощью последней формулы вычислить е, с точностью, например, до 1/107,то, прежде всего, нужно установить, каким взять число n, находящееся в нашем распоряжении, чтобы осуществить эту точность. Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам (приложение 2), мы видим, что при n = 10 «дополнительный» член последней формулы будет уже

<Object: word/embeddings/oleObject37.bin>0,000 000 03,

Поэтому, отбрасывая его, мы получаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя (в запас точности) на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше 1/2,108 (приложение 2). Таким образом, очевидно, что поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше 3/108. Если учитывать теперь ещё и поправки на округление, то становиться понятным, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа е лежит между числами

<Object: word/embeddings/oleObject38.bin> и. <Object: word/embeddings/oleObject39.bin>

Отсюда само число e содержится между дробями 2,718 28 78 и 2,718 281 86, то есть можно сказать, что е = 2,718 281 8<Object: word/embeddings/oleObject40.bin>0, 000 000 1

Таким образом, с помощью формулы

<Object: word/embeddings/oleObject41.bin>

можно вычислить приближенное значение e с точностью до любого требуемого знака.

2.3 Трансцендентность числа e

Как и число π, число e трансцендентное, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, и нет способа построить отрезок, длина которого выражалась бы числом e. Докажем трансцендентность (иррациональность) этого числа, для этого вернемся к уже использованной выше формуле:

<Object: word/embeddings/oleObject42.bin>.

Предположим, что e равно рациональной дроби

<Object: word/embeddings/oleObject43.bin>.

Тогда для этого n справедливо равенство

<Object: word/embeddings/oleObject44.bin> (где 0<θ<1).

Умножив обе части последнего равенства на n!, по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа – целое число с дробью

<Object: word/embeddings/oleObject45.bin>,

Что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что число e трансцендентно, то есть иррационально.

Заключение

В данном индивидуальном проекте рассмотрено число е. Число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера.

Описана история этого числа, рассмотрены способы его определения. Также число e играет огромнейшую роль, как в математике, так и в других науках, и в жизни.

В реальной жизни число e проявляет себя понятней всего при росте какой – либо величины, например банковского счета.

Таким образом, из данной работы видно, что число e играет огромнейшую роль как в высшей математике, так и в жизни.

Список использованных источников

Виленкин

Н.Я.,

Ивашев-

Мусатов

О.С.,

Шварцбурд

С.И.

Алгебра

и

математический

анализ

для

11

класса,

М.,

2017

.

Гарднер

М.

Математические

досуги,

М.,

2018

.

Перельман

Я.И.

Живая

математика,

Екатеринбург,

2019

.

Перельман

Я.И.

Занимательная

алгебра,

Екатеринбург,

2017

.

Перельман

Я.И.

Занимательная

физика,

Екатеринбург,

2018

.

Сорокин

Г.А.

Экстремум

и

неравенства,

Саратов,

2018

.

Фельдблюм

Б.

О

самом

важном

в

математике.

Л.,

2019

.

Фихтенгольц

Г.М.

Курс

дифференциального

и

интегрального

исчесления

,

том

1,

М.,

2020

.