Конспект урока:Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания. | Захарова Яна Викторовна. Работа №337804

Урок алгебры в 11 классе.

 

Тема урока: Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

 

Цели урока:

Образовательная:

познакомить с понятием «комбинаторика»;

познакомить с правилами комбинаторики;

обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний;

сформировать умения решать комбинаторные задачи.

Воспитательная:

воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений

;

воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем

.

Развивающая:

р

азвитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности

;

развитие математической речи, внимания.

 

Обучающийся должен:

знать:

определения трех важнейших понятий комбинаторики:

размещения из 

n

 элементов по 

m

;

сочетания из 

n

 элементов по 

m

;

перестановки из 

n

 элементов

;

основные комбинаторные формулы

уметь:

отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

 

Оборудование: проектор, дидактический материал (карточки-задания).

Методы обучения: 

словесно-информационный (рассказ),

словесно-репродуктивны

й(

опрос),

практически-репродуктивны

й(

выполнение заданий),

наглядно-иллюстративный

.

 

Структура урока

Организационный момент

Мотивация учебной деятельности

Сообщение темы и цели урока.

Объяснение нового материала.

Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

Домашнее задание

Подведение итогов.

 

Ход урока

Организационный момент

Приветствие, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку.

Мотивация учебной деятельности

Задача из басни С. Крылова «Квартет»

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

- Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)

- В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.

3. Сообщение темы и цели урока.

Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

4.Объяснение нового материала.

Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}.

Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ø.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В

 

Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}.

Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например - парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения.

 

 

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии  и  способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить  способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии  и  способами. Тогда обе они могут быть выполнены  способами.

Пример № 3

 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе - одна из 7, третье - одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

N=876 =336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел 

N = m ·k = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.

Типы соединений

Множества элементов называются соединениями.

Различают три типа соединений:

перестановки из

 

n

 

элементов;

размещения из

 

n

 

элементов по

 

m

;

сочетания из

 

n

 

элементов по

 

m

 

(

m

 

<

 

n

).

Перестановки. Число перестановок

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n - 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n - 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.

В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают 

n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.

Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.

Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.

Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Рn. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р1 = 1.

Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р2 = 2.

Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.

Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества

Р3 = 3 · Р2 = 3 · 2 · 1 = 6.

Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Определение: Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн факториал") обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

Пример № 6

Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 7

Чему равно а)Р5 ; б) Р3.

Решение. 

Рn =  n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

Р5=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120

Р3=3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 8

Упростите

а) 7! · 8 = 8!

б) 12! · 13 ·14 = 14!

в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!

Пример № 9

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение. 

n =8

Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

Размещения.

Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.

Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример № 9

Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. 

Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A94:

Пример № 10

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты?

Решение. 

Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A242:

 

Сочетания.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества

Число сочетаний из n элементов по m обозначают  (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример № 11

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ?

Решение. 

n =24, m=2

 

5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

СОЧЕТАНИЯ

 

ПЕРЕСТАНОВКИ

 

Рn =  n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

 

РАЗМЕЩЕНИЯ

 

 

 

Определить к какому типу относится соединений относится задача.

Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

(

да)

Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

 

В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

 

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

(

да)

Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

Решить задачи:

У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Решение. 

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

(

да)

Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: размещение

n =5, m=3

 

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Решение. 

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)

Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

n =5, m=3

 

Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Решение. 

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)

Все ли элементы входят в соединение? (нет)

Вывод: сочетания

n =8, m=3

 

Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

Решение. 

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

(

да)

Все ли элементы входят в соединение? (да)

Вывод: перестановка

Рn =  n! =n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

n =4

Р4 =  4! = 4 · 3 · 2 ·1=24

 

Работа в группе

 

В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов).

 

Задания для групп

 

Первая группа

 

№ задания

Задания

Ответ

Буква

 

 

 

Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

 

 

Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов?

 

 

Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

 

 

 

 

 

Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

 

 

 

 

 

 

 

Вторая группа

№ задания

Задания

Ответ

Буква

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?

 

 

-2168

 

 

В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

 

 

 

Третья группа

№ задания

Задания

Ответ

Буква

- 3

 

 

Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой?

 

 

 

Четвертая группа

№ задания

Задания

Ответ

Буква

 

 

 

 

 

 

Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать

 

 

 

 

(подсказка 0!=1)

 

 

 

 

Таблица кодов

Результаты вычислений

1

2

3

4

5

6

7

А

Л

Е

К

С

Е

Й

 

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Н

И

К

О

Л

А

Е

В

И

Ч

 

18

19

20

21

22

23

К

Р

Ы

Л

О

В

 

 

 

 

 

 

 

Ответы к заданиям

 

Задания для первой группы:

 

№ задания

Задания

Буква

Ответы

=

А

12

Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Л

Размещение

Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать трех студентов?

Е

Сочетания

Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

К

Перестановки

=

С

21

Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

Е

Сочетания

 

Задания для второй группы:

№ задания

Задания

Буква

Ответы

=

Й

 

 

Н

120

=

И

56

Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?

К

Перестановки

-2168=

О

132

В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

Л

Размещение

 

 

 

Задания для третьей группы:

№ задания

Задания

Буква

Ответы

– 3=-3=5-3=12

А

12

Сколькими различными способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать четырех студентов?

Е

Сочетания

 

В

720

 

И

56

=

Ч

6720

Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой?

К

 

Перестановки

Задания для четвертой группы:

№ задания

Задания

Буква

Ответы

 

Р

5040

 

Ы

9

Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать

Л

Размещение

=

О

132

=

(подсказка 0!=1)

В

720

 

6. Домашнее задание

Выучить конспект и формулы.

С. 321 № 1062

С. 325 №1074,1075

С. 329 №1081

7. Подведение итогов урока

Какие типы соединений вы знаете?

В чем отличие перестановок и размещений?

В чем отличие размещений и сочетаний?