Название статьи:

Конспект занятия "Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности" | Григорьева Людмила Ивановна. Работа №315104

Дата публикации:

15.05.2023

Автор:

Григорьева Людмила Ивановна

Описание:

В работе изложена методика проведения практического занятия для студентов СПО на тему "Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности" с использованием тестового опроса, индивидуальных и групповых форм работы, мультимедийных презентаций. Для реализации основных задач занятия автор предлагает следующие методы и приемы: словесные (беседа-сообщение целей и задач занятия, организация учебной деятельности, мотивация учебной деятельности); наглядные (тематическая презентация по теме занятия), диагностические (тестовое задание, индивидуальный и фронтальный опрос); аналитические (выбор правильного ответа и обоснование его); репродуктивно-практические (решение задач по заданному алгоритму); метод проблемного обучения. При организации занятия преподаватель обеспечивает проведение студентами взаимной оценки учебных достижений.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ДОНЕЦКИЙ ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия

«Кривые второго порядка.

Каноническое уравнение окружности»

ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 МАТЕМАТИКА

для студентов 2 курса специальности

23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте

(по видам транспорта)

Донецк – 2023 год

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине ЕН.01 Математика (с изменениями и дополнениями)

Подготовила Григорьева Л.И. – преподаватель математики Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Донецкий транспортно-технологический колледж», специалист высшей категории, преподаватель-методист.

В разработке представлена методика проведения занятия по дисциплине ЕН.01 Математика для студентов 2 курса специальности 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта) на тему «Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности».

Вид занятия – практическое, тип занятия – применение знаний и формирование умений по теме «Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности» с использованием тестового опроса, индивидуальных и групповых форм работы, мультимедийных презентаций.

Для реализации основных задач занятия автор предлагает следующие методы и приёмы: словесные (беседа-сообщение целей и задач занятия, организация учебной деятельности, мотивация учебной деятельности); наглядные (тематическая презентация по теме занятия), диагностические (тестовое задание, индивидуальный и фронтальный опрос); аналитические (выбор правильного ответа и обоснование его); репродуктивно-практические (решение задач по заданному алгоритму); метод проблемного обучения. При организации занятия преподаватель обеспечивает проведение студентами взаимной оценки учебных достижений.

Для преподавателей математики образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Рецензент:

Дулина Н.А., преподаватель математики ГБПОУ «Донецкий транспортно-технологический колледж», специалист высшей категории, преподаватель-методист.

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии естественно- математических дисциплин ГБПОУ «Донецкий транспортно-технологический колледж»

Протокол № 7 от 11 января 2023г.

Председатель цикловой комиссии ____________ Н.А. Дулина

Содержание

Введение

Организационная часть

Сообщение темы, целей и основных задач занятия

Мотивация учебной и познавательной деятельности

Актуализация опорных знаний

Тестовый контроль по теме

Фронтальный опрос по "цепочке"

Устные тренировочные упражнения

Практическая работа

Задача 5.1

Задача 5.2

Задача 5.3

Закрепление изученного материала

Подведение итогов занятия

Задание домой

Заключение

Приложения

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Приложение Е

Приложение Ж

Приложение З

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина ЕН.01 «Математика» является одной из обязательных дисциплин математического и общего естественнонаучного учебного цикла подготовки специалиста среднего звена указанной специальности и обеспечивает связь между основным курсом математики и специальными дисциплинами.

Данная методическая разработка составлена в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины ЕН.01 Математика для студентов специальности 23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта)» укрупненной группы специальностей 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта».

В дальнейшем знания, полученные в ходе изучения дисциплины ЕН.01 «Математика», в частности, раздела «Аналитическая геометрия», могут быть использованы при изучении профессиональных модулей и междисциплинарных курсов, проведении ТО и ПР автомобиля, выполнении расчетов курсового и дипломного проектирования.

В методической разработке изложена методика проведения практического занятия по теме «Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности», направленного на осмысление и закрепление полученных знаний и использование теоретических знаний для формирования практических навыков при решении задач.

Использование преподавателем тестовых заданий, опорных конспектов, мультимедийных средств обучения, компьютерных презентаций обеспечивает межпредметные связи, способствует развитию у студентов интереса к изучаемой дисциплине, расширению кругозора. При этом задействованы виды памяти: зрительная, слуховая, механическая.

С помощью таких дидактических приемов как сравнение, анализ, обоснование, сопоставление явлений и закономерностей, доказательство утверждений обеспечивается активизация мыслительной деятельности студентов, развитие их умственных способностей.

Приемы и методы, а также практические задания, представленные в методической разработке, способствуют формированию у студентов базовых знаний по дисциплине, направленных на овладение общими компетенциями (ОК.01-ОК.07) ОПОП специальности 23.02.01 Организация перевозок и управление на транспорте (по видам транспорта).

Данная методическая разработка может быть использована преподавателям СПО, в особенности на начальном этапе педагогической деятельности, как в полном объеме при соответствующем тематическом планировании, так и частично.

Тема: Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности

Вид занятия: практическое

Тип занятия: применение знаний и формирование умений и навыков

Цели:

методическая:

созда

ть

услови

для совершенствования методики реализации познавательных и творческих навыков студентов, их умения использовать свои знания, ориентироваться в информационном пространстве;

дидактическая:

формирова

ть

умени

и навык

применения

теоретических знаний

при решении задач;

формирова

ть

умени

преобразования уравнения к каноническому виду, нахо

ждения

координат центра и радиуса окружности в аналитической форме;

формирова

ть

умени

составления канонического уравнения окружности по заданным координатам центра и радиуса окружности;

закреп

ить

, систематиз

ировать

и обобщ

ить

знани

об

окружностях

;

обеспечить

повторение формул приведения, выделение полного квадрата;

воспитательная:

обеспечить

формирование умений самостоятельно

й работы по изучению

исциплины;

обеспечить

формирование навыков работы в группе, в коллективе;

обеспечить

воспитание коммуникативной и информационной культуры студентов

, культуры ведения записей, математической речи

;

обеспечить

формирование у студентов умени

й проводить

взаимную

роверку выполненной работы и

взаимную

оценку

результатов

;

способствовать

развити

интерес

к математике

техническим наукам и

своей

будущей профессии

;

развивающая:

способствовать

разви

ти

аналитически

и творчески

способност

ей

студентов

, обеспечивающи

конкурентоспособност

будущего специалиста

на рынке труда;

разви

вать

умения

выбора, обоснования, классификации по признакам, принятия решени

;

обеспечить

формирова

ние

понимани

ответственности за принятые решения

;

обеспеч

ить

услови

для формирования рациональных приемов мыслительной деятельности студентов с целью успешного освоения учебной программы дисциплины и дальнейшей успешной профессиональной деятельности.

Междисциплинарные связи:

обеспечивающие – алгебра, геометрия, физика;

обеспечиваемые – ОП.02 Техническая механика, ОП.03 Электротехника и электроника, МДК.01.01 Технология перевозочного процесса, ОП.05 Технические средства (по видам транспорта), ОП.14 Техническое обслуживание автомобилей и др.

Методическое обеспечение занятия:

технические средства обучения – медиа-оборудование;

дидактические средства обучения – рабочая программа дисциплины, методическая разработка занятия, опорный конспект, презентация, вопросы для закрепления изученного материала, упражнения для устного обсуждения, тестовые задания по теме занятия, индивидуальные задания для самостоятельной работы.

Литературные источники:

Основная литература:

Высшая математика для экономистов: Учебник / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.:

Юнити

, 2010. - 479 c.

Высшая математика для экономистов. Практикум: Учебное пособие / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.:

Юнити

, 2010. - 479 c.

Высшая математика для экономистов: Учебник / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.:

Юнити

, 2014. - 479 c.

Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я.Б. Зельдович, И.М.

Яглом

. - М.:

Ленанд

, 2019. - 512 c.

5.Шипачев, В.С. Высшая математика: Учебник / В.С. Шипачев. - М.: Инфра-М, 2018. - 320 c.

6.Ячменёв, Л.Т. Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: Риор, 2017. - 42 c.

7.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Дрофа - 2010.- 400 с.

8.Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. - М.-Дрофа-2009.

9.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1 и 2. - М.: Высшая школа, 2008.

Дополнительная для студентов:

1.Богомолов М.В. Практические занятия по математике. - М .: Высшая школа, 2004.

2.Система тренировочных задач и упражнений по математике. / Симонов А.Я., Бакаев Д., Эпельман А. и др. - М.: Просвещение, 1991. - 208 с.

3.В.В. Христиановский, В.Ф. Ходыкин, А.А. Преображенский Задачи по математическому программированию.– Донецк, ДонНУ, 2003.-250 с.

4.Зельдович, Я.Б. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике / Я.Б. Зельдович. - М.: Физматлит, 2016. - 520 c.

Интернет-ресурсы:

1. https://infourok.ru/(Методические разработки уроков)

2.https://kopilkaurokov.ru//(Методические разработки уроков)

3. www. fcior. edu. ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

4.www. scool-collection. edu. ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).

5. http://free.megacampus.ru/xbookM0005/index.html?go=part-032*page.htm

6. http://www.youtube.com/watch?v=JJZWTEzvjHA

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

1 Организационная часть

Проверка готовности студентов к занятию, дата, перекличка студентов.

Дату и тему занятия рекомендуется заранее записать на доске. На столах у студентов раздаточные материалы, включающие Приложения А, В, Г, Д, Е, Ж, З.

2 Сообщение темы, целей и основных задач занятия, место темы в общей структуре дисциплины, система оценивания студентов на занятии.

Сообщая цели и задачи занятия, а также место темы в структуре дисциплины, преподаватель в общем виде дает характеристику разделу "Аналитическая геометрия", теме "Кривые ІІ порядка", вопросу "Каноническое уравнение окружности», излагает структуру и содержание в целом раздела «Аналитическая геометрия» и, в частности, план данного занятия. Обращает внимание студентов на важность изучаемого вопроса в рамках дисциплины для дальнейшей профессиональной деятельности, повышения общего культурного уровня.

Оценивание учебных достижений студентов осуществляется традиционно по пятибалльной системе. Общую оценку по результатам занятия выставляет преподаватель (учитываются полнота и правильность устных ответов, глубина обоснований, активность на занятии, грамотность записей при выполнении письменных упражнений, результаты тестового опроса):

Количество набранных баллов

Оценка

10 баллов и более

5 «отлично»

8-9 баллов

4 «хорошо»

5-7 баллов

3 «удовлетворительно»

0-4 балла

приглашение на консультацию

3 Мотивация учебной и познавательной деятельности

Ум, в котором все логично,

подобен клинку, в котором

всё движется вперед.

Р. Тагор

Эти слова Рабиндраната Тагора очень точно определяют движущую силу в обучении математике, с которой можно сравнить умение студента самостоятельно овладевать знаниями. Знание основных теоретических положений дисциплины Математика относятся к фундаментальной системе знаний, на базе которой осуществляется профессиональная подготовка специалистов. В этой связи трудно переоценить умение самостоятельно мыслить, анализировать, принимать решения, ежедневно пополнять запас своих знаний.

Решение практических задач направлено на более углубленное усвоение теоретических знаний, формирование ключевых и предметных компетенций по математике, а также на овладение математическими методами и моделями. Поэтому следует внимательно отнестись к изучению материала, уделив особое внимание алгоритмизации действий при проведении анализа задачи, образцам решения примеров и задач.

Решение задач раздела «Аналитическая геометрия» имеет широкое применение не только для дисциплины ЕН.01Математика, но и для других дисциплин естественнонаучного цикла: Физики, Технической механики, Электротехники, а также широко применяется в области экономики, строительства, технологии перевозочного процесса, в организации грузовых и пассажирских перевозок, в организации перевозок грузов на особых условиях, техническом обслуживании автомобилей, что является необходимым условием успешной профессиональной деятельности будущего специалиста, а именно, техника-организатора перевозок. Умение перейти от реального технологического процесса к его математической модели, описанной в аналитической или графической форме, а также анализ полученных результатов, позволяет будущему специалисту успешно систематизировать исходные данные и принимать управленческие решения.

Выведенное знаменитым французским математиком-самоучкой Пьером Ферма (1601-1665) каноническое уравнение окружности представляет широкий научный интерес в практических приложениях, так как часто применяется при решении задач экономического характера, технических вычислениях, измерениях. В 1636 году П. Ферма первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения.

Пьер Ферма- один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года — советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма, «самой знаменитой математической загадки всех времён».

Актуализация опорных знаний

(

роводится в

три

этапа

)

4.1 Тестовый контроль по теме

"Уравнение прямой на плоскости. Уравнение окружности"

Составь пару. Что означает формула?

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k

а) =

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х0; у0) в заданном направлении

б) Ах + Ву + С = 0

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1; у1), (х2; у2)

в) <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>

4. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R

г) (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2

5. Общее уравнение прямой

д)<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>

6. Угол между прямыми, заданными уравнениями А1х+В1 у+С1 =0 и А2х+ В2 у +С2 = 0

е)<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>

7. Угол между прямыми, заданными уравнениями y1= k1x + b1 и y2= k2x + b2

ж) y= k x + b

8. Расстояние от точки (х0; у0) до прямой

Ах + Ву +С = 0

з) <Object: word/embeddings/oleObject4.bin>

9. Расстояние между двумя точками в пространстве А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2)

и) х2 + у2 = R2

10. Каноническое уравнение окружности с центром в т. (х0; у0) и радиусом R

к) у – у0 = k (х – х0)

Критерий для оценивания теста:

5 «отлично»

9 - 10 правильных ответов

4 «хорошо»

7 - 8 правильных ответов

3 «удовлетворительно»

5 – 6 правильных ответов

Тестовый контроль (Приложение А) проводится в одном варианте по вопросам двух предыдущих занятий и материалам повторения, студенты сидят по одному человеку за партой, не переписывая заданий, дают ответ в виде "1 – б, 2 – г и т.д.". Возможно использование двух вариантов.

Время выполнения до 5 минут.

Затем студентам предлагается обменяться работами, заменить ручку на карандаш, на экране высвечивается "КЛЮЧ" ответов (Приложение Б). Студенты осуществляют взаимную проверку работ, выставляют оценку в соответствии с критерием оценивания (приложение В).

Преподаватель разъясняет студентам важность умения провести оценку выполненной работы объективно, фиксирует полученные результаты.

4.2 Фронтальный опрос по "цепочке". Преподаватель высвечивает вопросы на экран, студенты по очереди, не вставая с места, отвечают. При этом преподаватель фиксирует активность студентов и правильность их ответов. Один студент отвечает на вопрос, остальные слушают, дополняют, исправляют. За каждый полный и верный ответ на вопрос студент получает 1 балл. Преподаватель предлагает студентам самостоятельно оценить свои ответы в соответствии с критерием. Вопросы:

дать определение окружности,

чему равен диаметр окружности,

назвать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом

назвать уравнение окружности с центром в

(х

;у

)

и радиусом

назвать

формулу квадрата суммы

(разности)

двух выражений,

назвать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки,

что означает фраза "т.

принадлежит

(не принадлежит)

окружности

назвать формулу для нахождения координат середины отрезка,

назвать геометрическое положение точки, которая является серединой

диаметра окружности,

назвать,

при

аких условиях уравнение

Ах

Дх

Еу

= 0

описывает окружность

какое из приведенных уравнений описывает окружность, ответ обосновать:

а) 3х2 +5ху + 3у2 -2х +у + 4= 0;

б) х2 + у2 +х +у = 0;

в) х2 + ху + у2 + х + у= 0.

Устные тренировочные упражнения

Задания высвечиваются на экране, опрос проводится фронтально, неверные ответы исправляются другими студентами. Преподаватель добивается полных обоснованных ответов. Важно уделить внимание грамотности речи студентов. Обязательно включаем задания из повторения на применение формулы сокращенного умножения «квадрат суммы (разности) двух выражений». Чем больше устных примеров приведут и выполнят студенты, тем лучше для их свободного оперирования материалом. Преподаватель фиксирует активность студентов и правильность ответов. За каждый полный и верный ответ на вопрос студент получает 1 балл.

4.3.1 Назвать координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:

а) (х – 3)2 + (у + 4)2 = 25, б) (х + 3)2 + (у + 4)2 = 16,

в) (х – 2)2 + (у - 4)2 =9, г) х 2 + у 2 = 4,

д) (х – 1)2 +у 2 = 4, е) х 2 + (у - 2)2 = 1.

4.3.2 Составить уравнение окружности:

а) с центром в точке (–2; 3) и радиусом 2,

б) с центром в точке (0; 1) и радиусом 1,

в) с центром в точке (0;0) и радиусом 2,

г) с центром в точке (–2; -3) и радиусом 5,

д) с центром в точке (-5;0) и радиусом 7,

е) с центром в точке (2; -3) и радиусом 4.

4.3.3 Преобразовать выражение по формуле квадрата суммы (разности) двух выражений:

а) (х – 3)2 , б) (х + 3)2 ,

в) х2 +2х+4, г) х 2 -6х + 9,

д) х 2 -8х + 16, е) х 2 +6х + 9

Завершая этап актуализации опорных знаний, преподаватель подводит промежуточный итог по содержанию выполненных заданий, комментирует ответы студентов, выставляет оценки, обязательно оценивает общий уровень подготовки студентов к занятию по заданной теме. Оценки студентов за выполненное тестовое задание также включаются в оценочный лист.

5.Практическая работа

Практическая работа носит обучающий характер. Студенты работают в тетрадях. После ознакомления студентов с условием задачи, преподаватель системой наводящих вопросов помогает студентам составить алгоритм решения. После чего студенты выполняют необходимые действия. Полученные результаты обсуждаются. Проводится поэтапная проверка выполненных действий, студентам предлагается изложить решение, обосновать действия. За выполнение каждого из этапов, полное и верное обоснование действий, студент получает 1 балл. Отдельные контрольные моменты решения высвечиваются на экране. Практическая работа может быть проверена и оценена как у всей группы студентов, так и у отдельно взятого студента. После выполнения в аудитории практической работы студенты получают индивидуальное домашнее задание, обязательное для выполнения и сдачи на проверку преподавателю.

Предлагается для рассмотрения задача «Записать уравнение линии центров двух окружностей и найти отношение радиусов этих окружностей

х2 + у2 – 6х + 8у = 0 и х2 + у2 + 2х – 12у + 1 = 0» (Приложение Г). Задача разбивается условно на четыре этапа. Результаты первого, второго и третьего этапов используются в качестве вспомогательных данных при рассмотрении основной задачи.

Первый этап – это «Назвать координаты центра и радиус окружности, заданной каноническим уравнением» (аналогичные ситуации рассмотрены ранее устно).

Второй этап – это «Записать уравнение окружности в каноническом виде и найти координаты центра и радиус окружности».

Третий этап – «Записать уравнение прямой, проходящей через две точки». Четвертый этап – «Найти отношение радиусов двух окружностей».

Таким образом, определив общий алгоритм решения задачи, сформировав умения определять координаты центра окружности из канонической записи уравнения при выполнении устных упражнений, навыки работы по алгоритму выделения полного квадрата двучлена для записи канонического уравнения окружности при выполнении второго этапа, а также сформировав умения и навыки работы по алгоритму составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, при выполнении третьего этапа, можно приступить к решению основной задачи. Итак, основная задача разделяется на четыре этапа: два первых этапа выполняются по алгоритму первой задачи, третий - по алгоритму, представленному во второй задаче, четвертый этап является заключающим, находим отношение радиусов двух окружностей.

5.1 Записать уравнение окружности х2 + у2 – 6х + 8у = 0 в каноническом виде и найти координаты центра и радиус окружности.

Решение.

Выделяем полные квадраты, чтобы найти координаты центра этой окружности: х2 + у2 – 6х + 8у = 0. Сгруппируем слагаемые с переменной х в одну группу, а с переменной у в другую и дополним каждую группу до полного квадрата, сохраняя тождественность преобразований:

(х2 – 6х + 9 - 9) +(у2 + 8у + 16 - 16) = 0, тогда получим

(х2 – 6х + 9) +( у2 + 8у + 16) = 25,

или (х – 3)3 + (у + 4)2 = 25.

Сопоставляя полученное уравнение с каноническим уравнением окружности, получаем, что центр окружности имеет координаты (3; – 4).

Ответ: (х – 3)3 + (у + 4)2 = 25; координаты центра (3; – 4), радиус равен 5.

Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

С1 (3; – 4) и С2 (–1; 6).

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки, <Object: word/embeddings/oleObject5.bin>.

Подставим координаты точек С1 (3; – 4) и С2 (–1; 6) в заданное уравнение, получаем:

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>, откуда – 4(у + 4) = 10(х – 3), или 10х – 30 + 4у + 16 = 0,

тогда 5х + 2у – 7 = 0 – искомое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Ответ: 5х + 2у – 7 = 0.

5.3 Записать уравнение линии центров двух окружностей и отношение их радиусов:

х2 + у2 – 6х + 8у = 0 и х2 + у2 + 2х – 12у + 1 = 0.

Решение.

Выделяем полные квадраты двучленов, чтобы привести уравнения к каноническому виду и найти координаты центров и радиусов этих двух окружностей:

+ у

– 6х + 8у = 0

воспользуемся результатами ранее рассмотренной задачи № 5.1:

имеем (х – 3)3 + (у + 4)2 = 25 – каноническое уравнение окружности с центром в точке С1.

Следовательно, координаты центра первой окружности С1 (3; – 4), R1=5.

Аналогично

(по образцу №

5.1)

преобразуем второе уравнение

+ у

+ 2х – 12у + 1 = 0

х2 + 2х + 1 + у2 – 12у + 36- 36 = 0; получим

х2 + 2х + 1) +( у2 – 12у + 36) = 36;

или (х + 1)2 + (у – 6)2 = 36 –каноническое уравнение второй окружности с центром в точке С2.

Таким образом, С2 (–1; 6) – центр второй окружности, R2=6.

Далее, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две заданные точки, и подставив найденные координаты центров окружностей С1 (3; – 4) и С2 (–1; 6), (решение задачи №5.2) получаем:

5х + 2у – 7 = 0 – уравнение линии центров двух заданных окружностей.

Находим отношение радиусов окружностей:

=5:6

Дополнительное задание: изобразить в системе координат композицию фигур (рис. 1).

Ответ: 5х + 2у – 7 = 0 – уравнение линии центров двух окружностей, отношение радиусов R1: R2=5:6

Рис.1

6 Закрепление. За каждый полный и верный ответ на вопрос студент получает 1 балл. Система вопросов направлена на усвоение алгоритмов проведения анализа и выполнения действий при решении задач:

сформулировать алгоритм составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки,

сформулировать алгоритм преобразования уравнения окружности в каноническую форму,

сформулировать алгоритм решения задачи на нахождение уравнения прямой, проходящей через центры двух окружностей,

сформулировать алгоритм решения задачи на нахождение уравнения прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей,

провести анализ исходных данных и

описать последовательность действий для

решения задачи на составление канонического уравнения окружности

, если известны координаты концов ее диаметра

6.1 Задача: составить каноническое уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ, если известны координаты этих точек А (-4; -3) и В (2; 5) (Приложение Д). Если темп работы студентов группы недостаточно высокий, задачу можно вынести на самостоятельную работу.

Решение.

По условию задачи, отрезок АВ служит диаметром окружности, значит, середина этого отрезка т. О (х0, у0) является центром окружности, а радиус R этой окружности равен половине диаметра (R=ОА=ОВ= АВ).

Находим координаты середины отрезка АВ:

х0= =-1, у0 = =1.

Таким образом, центр окружности т. О имеет координаты (-1;1).

Из условия

=ОА=ОВ=

АВ

найдем радиус

окружности как расстояние между двумя точками

(-1;1) и А

(-4;

-3):

R==5.

3)Воспользуемся каноническим уравнением окружности с центром в

т. О (х0, у0) и радиусом R: (х-х0)2+(у-у0)2= R2. Подставляя найденные значения, получим: (х+1)2+(у-1)2=52 –искомое каноническое уравнение окружности.

Ответ: (х+1)2+(у-1)2=52.

Подводя итоги выполнения практической работы, преподаватель проводит связь между изучаемой темой и будущей профессиональной деятельностью студентов. С сообщением по предварительному заданию преподавателя выступает один из студентов (при подготовке к занятию группа студентов (2-3 человека) работает над проблемой, преподаватель консультирует и направляет самостоятельную работу студентов, в дальнейшем докладывает один из участников).

Задача

по профилю специальности:

1)На занятиях при решении задач, связанных с окружностью, чаще всего указывают или находят радиус окружности. А на производстве в технических чертежах и эскизах обязательно определяют и наносят диаметр окружности, а не ее радиус. Как вы думаете, в чем причина данного явления.

2)Ваша группа проходила учебную практику в мастерских колледжа, скажите, пожалуйста, какими инструментами выполняют замер отверстий, диаметр в деталях?

Если студенты затрудняются с ответом, можно системой наводящих вопросов подвести их к правильному ответу.

Сообщение студента (краткое содержание).

При вычерчивании окружности необходимо знать ее центр и радиус, однако уже в готовой детали замеряют диаметр. Большинство отверстий получают путем сверления, а для этого надо знать диаметр сверла, но не

радиус. При том, что радиус окружности и ее диаметр связаны прямой линейной зависимостью, на производстве предпочтительно выполнять как можно меньше дополнительных

вычислений с целью избежать возможные ошибки

2)При эксплуатации цилиндрических вращающихся деталей, в результате износа нарушается геометрия детали, т.е. возникает эллипсность деталей. Т.к. центр тяжести в детали до начала ее эксплуатации совпадает с центром окружности внешней поверхности, то деталь считается уравновешенной. При износе поверхности детали (эллипсности) центр тяжести смещается относительно центра окружности, деталь становится неуравновешенной. Тогда, например, при движении мы слышим стук, что говорит об износе детали. Для дефектовки детали (измерении диаметра) используется измеритель в виде скобы (шаблона), который позволяет точно измерить диаметр детали, оценить износ и определить возможность ее дальнейшего использования.

3)При эксплуатации детали, в сопряженных деталях (с натягом) (рис.2), плоскости сопряжения изнашиваются. При этом Д1 увеличивается при постоянном размере Д2. Для восстановления соединения используется метод установки ремонтной втулки. Диаметр ремонтной втулки равен Д1, Двт=Д1, толщина стенки втулки равна h=Д1-Д2. Как видим на примерах: в технических работах используется диаметр. Для измерений используются нутромер, микрометр, штангенциркуль (для наглядности проектируем на экран изображения названных инструментов).

Нутромеры

Штангенциркуль

Рис. 2

7 Подведение итогов занятия.

Преподаватель подводит итоги по содержанию учебного материала, анализирует полученные результаты, исправляет допущенные ошибки, комментирует и оценивает успешность и активность работы студентов на занятии. Преподаватель на протяжении занятия заполняет таблицу успеваемости, отмечая знаком "+" (" ± ", " –" или в балльной системе) результаты ответов студентов на каждом этапе занятия. В конце занятия выставляется итоговая оценка по 5-бальной шкале. Шкалу и критерий оценивания преподаватель разрабатывает самостоятельно и доводит до сведения студентов в начале занятия.

№ п/п

ФИО

Актуализация опорных знаний

практическая работа

Закрепление

итоговая оценка

тест

устный

теоретический опрос

устные упражнения

устно

вопросы

задача

Домашнее задание

(Приложение

[1] повторить стр. 96 - 103,

овторить

уравнение прямой на плоскости,

определени

каноническое

уравнение окружности

Индивидуальное задание

(

Приложение

)

Заключительное слово преподавателя.

Сегодня мы с вами рассмотрели один из вопросов раздела "Аналитическая геометрия", а именно "Каноническое уравнение окружности".

Далее предстоит изучить канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. На завершающем этапе изучения темы в качестве контрольного мероприятия проводится тематическая письменная работа по теме "Кривые второго порядка". Я надеюсь, вы усвоили связь между теорией и практикой, между геометрией и закономерностями окружающего мира, социальных и экономических процессов. И, как никогда, становятся понятными и актуальными слова М. Ломоносова "Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит". Умение решать задачи практической направленности имеет широкое применение в области экономики и технологии перевозочного процесса, в организации грузовых и пассажирских перевозок, в организации перевозок грузов на особых условиях, что является необходимым условием успешной профессиональной деятельности будущего специалиста, а именно, техника-организатора перевозок.

Прошу студентов высказать свое мнение о том, чему научились на этом занятии, что нового узнали, что запомнилось лучше, что слабее, какие методы и приемы были более понятными, интересными, каким вопросам в дальнейшем следует уделить больше внимание.

Для этого проводится экспресс-опрос.

Экспресс-опрос (самоанализ-анкета)

ВОПРОС

ОТВЕТ

1. На уроке я работал

активно / пассивно

2. Своей работой на уроке я

доволен / не доволен

3. Урок для меня показался

коротким / длинным

4. За урок я

не устал / устал

5. Мое настроение

стало лучше / стало хуже

6. Материал урока мне был

понятен / не понятен,

полезен / бесполезен

7. Каким вопросам необходимо уделить внимание

(перечислить)

Благодарю всех за сотрудничество!

Приложение А

Тестовый контроль по теме

"Уравнение прямой на плоскости. Уравнение окружности"

Составь пару. Что означает формула?

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k

а) =

2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х0; у0) в заданном направлении

б) Ах + Ву + С = 0

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1; у1), (х2; у2)

в) <Object: word/embeddings/oleObject7.bin>

4. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R

г) (х – х0)2 + (у – у0)2 = R2

5. Общее уравнение прямой

д)<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>

6. Угол между прямыми, заданными уравнениями А1х+В1 у+С1 =0 и А2х+ В2 у +С2 = 0

е)<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>

7. Угол между прямыми, заданными уравнениями y1= k1x + b1 и y2= k2x + b2

ж) y= k x + b

8. Расстояние от точки (х0; у0) до прямой

Ах + Ву +С = 0

з) <Object: word/embeddings/oleObject10.bin>

9. Расстояние между двумя точками в пространстве А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2)

и) х2 + у2 = R2

10. Каноническое уравнение окружности с центром в т. (х0; у0) и радиусом R

к) у – у0 = k (х – х0)

Приложение Б

Ключ ответов к тесту

)

б)

)

Приложение В

Критерий
оценивания теста

5 «отлично»

9 - 10 правильных ответов

4 «хорошо»

7 - 8 правильных ответов

3 «удовлетворительно»

5 – 6 правильных ответов

Приложение Г

Практическая работа

по теме «Каноническое уравнение окружности»

Задача «Записать уравнение линии центров двух окружностей и найти отношение радиусов этих окружностей х2 + у2 – 6х + 8у = 0 и

х2 + у2 + 2х – 12у + 1 = 0. Изобразить в системе координат композицию фигур».

Решение. Задача разбивается условно на четыре этапа. Результаты первого, второго и третьего этапов используются в качестве вспомогательных данных при рассмотрении основной задачи.

Второй этап - это «Записать уравнение окружности в каноническом виде и найти координаты центра и радиус окружности».

Заключительная часть решения задачи – «Изобразить в системе координат композицию фигур». Изображение может быть схематичным.

Приложение Д

Задача.

Составить каноническое уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок АВ, если известны координаты точек А (-4; -3) и В (2; 5).

Приложение Е

Домашнее задание:

[

]

повторить стр. 96 - 103,

повторить уравнение прямой на плоскости, определение и каноническое уравнение окружности

Индивидуальное задание (

Приложение

): решить задачу аналитически, выполнить схематичное построение композиции фигур в тетради. Номер задания соответствует номеру

студента

по списку.

Приложение Ж

Индивидуальные задания для практической работы

по теме «Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности»

(выбор номера индивидуального задания должен соответствовать номеру студента по списку, работу выполнить в тетради для практических работ)

Задача. Записать уравнение прямой, проходящей через центры двух окружностей, изобразить в системе координат композицию геометрических фигур, найти отношение радиусов окружностей:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

х2 + у2 – 4х + 8у - 16= 0

х2 + у2 -14х +33=0

х2 + у2 +4х - 10у - 25 = 0

х2 + у2 – 2х - 4у -20=0

х2 + у2 -2х + 6у - 6 = 0

х2 + у2 +4х - 10у - 25 = 0

х2 + у2 -4х +2у - 4 = 0

х2 + у2 + 4у=0

х2 + у2 +2х + 4у -20=0

х2 + у2 -14х +33=0

х2 + у2 -4х +2у - 4 = 0

х2 + у2 -2х -12у +33=0

х2 + у2 +2х +12у +33=0

х2 + у2 – 6х +10у+33= 0

х2 + у2 -2х - 6у - 6 = 0

х2 + у2 +2х - 6у - 6 = 0;

х2 + у2 +4х - 10у - 25 = 0;

х2 + у2 – 2х + 4у -20=0;

х2 + у2 – 4х + 8у - 16= 0;

х2 + у2 + 4у=0;

х2 + у2 + 2х - 4у -20=0;

х2 + у2 – 2х - 4у -20=0;

х2 + у2 -2х - 6у - 6 = 0;

х2 + у2 -14х +33=0

х2 + у2 – 6х +10у+33= 0

х2 + у2 – 4х + 8у - 16= 0;

х2 + у2 -4х + 10у - 25 = 0;

х2 + у2 +14х +33=0;

х2 + у2 + 4у=0;

х2 + у2 -14х +33=0.

Приложение З

Опорный конспект

по теме «Уравнение окружности»

Окружностью называется геометрическое место точек, удаленных на расстояние R от заданной точки О, которая называется центром окружности, расстояние R называется радиусом окружности.

Каноническое уравнение окружности

c радиусом R и центром О (х0; y0)

х0Rхy0y0О

<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>;

Если центр окружности совпадает с началом координат, то каноническое уравнение принимает вид:

0Ryx

x2 + y2 = R2

Скачать работу

Международный педагогический портал

Конспект занятия "Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности" | Григорьева Людмила Ивановна. Работа №315104