Корни математики в географии | Вальтер Герман Максимович. Работа №309907

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №48/2 г.Тюмени

имени Героя Советского союза Карбышева Дмитрия Михайловича

Исследовательский проект

на тему:

«Корни математики в географии»

Выполнили:

Вальтер Герман Максимович

Скорняков Александр Дмитриевич

10А класс

МАОУ СОШ №48/2

Научный консультант:

Субарева Алёна Валерьевна

г.Тюмень 2022

Содержание

Введение

Актуальность работы. Все науки настолько связаны между собой, что легче изучать их все сразу, чем какую-либо одну из них в отдельности», – считал Декарт. И был прав. За 11 лет обучения школьники должны изучить 24 предмета. За годы, проведенные в школе, мы уже убедились, что научные предметы (дисциплины) тесно связаны между собой. И это нормальная практика. Например, связь математики и географии проявляется очень тесно. Все математические знания, такие как масштаб, графики, функции, проценты, длина дуг и окружности, отношение величин, средние значение и др., используются на уроках географии.

Большинство географических понятий не могут быть усвоены учащимися без элементарных знаний по математике. Если бы математика тесно не сотрудничала с географией, то география не смогла бы развиваться как наука. Таким образом, две науки – математика и география имеют «особые отношения».

Мы решили исследовать взаимосвязь географии с теорией вероятности и математической статистикой на примере погоды, ведь это необычно и интересно. Удивительно, но задача прогноза погоды успешно решается с помощью математических методов, теории вероятности и математической статистики. Давайте в этом разберёмся.

Цели работы – описать взаимосвязь таких предметов как география и математика.

Задачи проекта:

Описать

географию

как

дисциплину

из

цикла

естественных

наук.

Рассказать

о

математической

статистик

е

и

теори

и

вероятности

как

о

точной

науке.

Доказать,

что

теория

вероятности

и

математическая

статистика

используетс

я

в

географии

(на

примере

прогноза

погоды)

.

На примере задач

емко

и

информативно

доказа

ть

взаимосвязь

между

математикой

и

географией.

Объект исследования – математика и география.

Предмет исследования – погода как географическое понятие через призму такой точной науки, как математика.

Гипотеза: считаем, что при описании такого географического понятия как погода, можно использовать и математическую статистику, и теорию вероятности.

Используемые методы: работа с источниками информации (книги, пособия, статьи и интернет-ресурсы), в которых поднят вопрос нашего исследования, анализ и обобщение.

1. География – многогранная и таинственная.

Современная география – это сложная разветвлённая система, или "древо" наук. География – единственная наука, которая объединяет разнообразные знания о природе и людях.

Для многих термин «география» связан с природными объектами нашей планеты: материками, океанами и морями, реками и озёрами, островами и полуостровами, заливами, проливами, горными системами и вершинами, низменностями и плоскогорьями, горными перевалами, пустынями и ледниками, пещерными пропастями. Кроме того, география изучает информацию о месторождениях полезных ископаемых, национальных парках, заповедниках, каналах и водохранилищах.

Она рассказывает о том, из чего состоит земля, как составляются карты, как ведутся наблюдения за погодой, чем зоны муссонов отличаются от экваториальных зон; о том, как люди используют окружающую среду; о завтрашнем дне нашей планеты.

Вообще география – наука комплексная. Она изучает пространственное развитие не только природных, но и социально-экономических, политических, культурных явлений. Существует география отдельных отраслей: добывающей и обрабатывающей промышленности, сельского хозяйства, транспорта, населения, урбанизации в современную постиндустриальную эпоху.

География сфокусирована как на изучении глобальных и локальных проблем и явлений, так и взаимосвязей между ними. География исследует взаимосвязи между обществом и окружающей средой, применительно к конкретным районам и местам; изучает явления и проблемы, которые имеют ярко выраженную географическую составляющую, например, природные катастрофы, изменение климата, энергообеспеченность, миграции, землепользование, урбанизацию, бедность и территориальную идентичность. География служит мостом между естественными и общественными науками и способствует комплексному изучению подобных вопросов.

В общем, можем с уверенностью сказать, что сегодня современному человеку без географии никак не обойтись. Повседневное представление о географии, основанное на школьном курсе, совершенно неверно. Изучение географии – это не запоминание названий стран и не листание атласа с природными зонами и полезными ископаемыми. Современная география не перечисляет факты – она исследует закономерности пространственной организации природных и социальных систем.

В первую очередь, географическая наука на основе сложнейших математических моделей изучает глобальные изменения климата и окружающей среды, влияние на них природных и антропогенных факторов и адаптацию экосистем к этим изменениям. Исследования в области наук о Земле в последние десятилетия шагнули далеко вперед благодаря развитию геофизических, геохимических и биологических методов.

Вторая ключевая область современной географии – пространственная организация общества. Почему одни регионы, города, сообщества развиваются успешнее других и более привлекательные для людей? Чем определяются сдвиги в размещении сферы услуг, промышленности, сельского хозяйства?

Кроме того, что мы уже сказали, что современная география – это высокотехнологичная область науки и практики. Оперативная космическая съемка, приближающаяся к режиму реального времени, поиск информации из открытых больших источников, контент-анализ – все это новые источники геоданных. Географы применяют современные способы обработки данных: машинное обучение, методы распознавания образов, нейросети.

2. Математика – царица наук или слуга для других наук.

Математика относится к самым древним наукам. Слово "математика" имеет древнегреческие корни, оно означает "знание" или "область изучения". Не существует таких явлений природы, технических и социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Объектами изучения математики, в отличии от физики, географии, химии, биологии, являются не конкретные материальные объекты, а количественные отношения и пространственные формы нашего мира. По мнению многих ученых, первые математические операции (сложение, вычитание) человек выполнял еще до того, как появился естественный язык.

Не раз приходилось слышать фразу о том, что математика – страна без границ. Эта фраза прозвучала на наших первых уроках математики.

Несмотря на свою банальность, фраза о математике имеет под собой очень веские основания. Математика в жизни человека занимает особое место. Мы настолько срослись с ней, что попросту не замечаем её.

В школе математических задач приходится очень много и сложность их с каждым годом растет. Математические задачи развивают мышление, логику, комплекс умений: умение группировать предметы, раскрывать закономерности, определять связи между явлениями, принимать решения. Очень часто решения таких задач являются просто математическим расчётом. Занятия математикой, решение математических задач развивает человека, его целеустремлённость, активность, самостоятельность.

Мы вот вспоминаем своего одноклассника, хорошо знавшего математику, быстро умевшего решать задачи. Он аргументировал свою точку зрения, мог критически оценить себя и своих одноклассников. Да и успеваемость по остальным предметам, кроме математики, оказывалась на порядок выше. Мы считаем, что именно математическое мышление помогало ему в этом.

Казалось бы, что после школы математика нигде не пригодится. Увы, это не так! Тут приходится использовать математику ещё чаще. Во время учёбы в вузе, на работе и дома нужно постоянно решать задачи, и не только математические. Какова вероятность успешной сдачи экзамена по математике? Сколько денег нужно заработать, чтобы купить квартиру? Сколько можно получить, занимаясь математикой и решением математических задач? Каким должен быть объём вашего дома и сколько для этого нужно приобрести кирпича? И тут на помощь придёт математика.

В настоящее время широко применяются математические методы в биофизике, биохимии, генетике, физиологии, медицинском приборостроении, создании биотехнических систем. Развитие математических моделей и методов способствует: расширению области познания в медицине; появлению новых высокоэффективных методов диагностики и лечения, которые лежат в основе разработок систем жизнеобеспечения; созданию медицинской техники.

Математическое образование даёт инструмент для познания других наук. Математика - это не только формулы и уравнения, а, в первую очередь, правила для точных рассуждений. Человек, знающий математику - успешный человек. У него всегда порядок в мыслях, точность в речи, гармония в чувствах. Математика следует за человеком везде, помогает ему решать задачи, делает его жизнь намного удобнее.

3. Можно ли использовать теорию вероятности и математическую статистику в прогнозе погоды?

Итак, мы плавно подошли к самой сути нашей работы: есть ли корни математики в географии. Однозначно есть. Еще в глубокой древности люди были уверенны, что числа – это то, с помощью чего можно понять устройство нашего мира. Тысячи лет прошло с тех пор, а ученые не только разделяют мнение предков, но и не перестают доказывать, что математика – царица наук.

География – интересный предмет, но немыслима без математики. До второго века нашей эры география была наукой описательной, затем древнегреческий ученый Птолемей впервые использовал градусы круга и, применив градусную сеть, начертил карту, которой пользовались несколько веков. Появились графики и диаграммы, которыми так богата география. На карте нельзя измерить расстояние, не прибегнув к математике.

Сразу видно, что математика и география – это две науки, тесно связанные между собой. Математика позволяет определить обычные явления в природе, обществе, даже в нашем селе и в стране, которые основываются на приблизительных описаниях, на язык точных формул, которые можно получить не приблизительно, а точно.

География складывается из всего окружающего: леса, океаны, пустыни, почва, общество, экономические отношения, животные и растения, климат и погода, круговорот веществ в природе и многое другое. Только с использованием «чисел» - главного и основного орудия «царицы всех наук» – математики, можно познать одну из самых трудно-поддающихся изучению наук – географию.

Напоминаем, что само название «география» появилось с лёгкой руки древнегреческого ученого Эратосфена, жившего более 2 тыс. лет назад.

Эратосфен вычислил размеры Земли, используя математические расчёты и удивительно, ошибся всего на несколько километров.

В те же времена Пифагора и Эратосфена начинаются путешествия. Как только человек научился строить небольшие суда, его тянуло путешествовать, открывать новые земли. Человеку нужно было ориентироваться в пространстве. А лучший способ ориентирования – это ориентирование по компасу Азимут (геодезия) – угол между направлением на север и направлением на какой-либо удалённый предмет; отсчитывается обычно по ходу часовой стрелки.

Изображение земной поверхности. Глобус – это уменьшенная модель Земли. Карта – проекция земной поверхности на плоскость. Чтобы изобразить шарообразную поверхность Земли на плоскости, можно ли достоверно всё изобразить? – Нет! Уменьшить искажения помогают математические расчёты.

Для точного изображения земной поверхности нужен масштаб. Масштаб – это величина, которая показывает, во сколько раз расстояния на глобусе, плане или карте уменьшены по сравнению с реальными расстояниями на местности.

Система координат. На карте есть градусная сеть – это меридианы и параллели. С помощью градусной сетки определяют широту и долготу, т.е. географические координаты. Все путешественники должны быть вечно благодарны древнегреческому учёному Гиппарху, который около 100 лет до н.э. предложил нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить цифрами широту и долготу.

Температура. Разница между максимальной и минимальной температурами за сутки – это амплитуда температуры воздуха.

Происходит множество процессов с помощью данных: нахождение амплитуды колебаний суточных температур; определение средней температуры за сутки, месяц, год и т.д; определение атмосферного давления и изменение его с высотой; определение высоты местности (в разных точках), зная давление; вычисление площади какой-либо территории по карте; определение уклона и падения реки и коэффициента увлажнения; вычисление средней плотности населения в стране, мире (например, средняя плотность населения мира составляет 56 чел на кв. км, а в России – 9 чел. на кв. км.).

Сейчас мы описали вещи, которые, наверное, знают все. Нам же захотелось поискать корни не математики, а одной из ее ответвлений – математической статистики и теории вероятности. И это легко показать на примере прогноза погоды.

Итак, поехали.

С географической (общепризнанной) точки зрения погода – это состояние нижних слоев атмосферы, здесь учитывают показатели: температуру воздуха, направление, сила и скорость ветра, атмосферное давление, облачность, осадки, влажность воздуха и атмосферное давление. Температура воздуха, направление ветра, атмосферное давление, облачность, осадки – это основные элементы погоды. Все они тесно связаны и взаимообусловлены. Поэтому изменение одного из них приводит к изменению других. Так, температура воздуха влияет на влажность и распределение атмосферного давления, давление - на ветры, ветры - на осадки. В свою очередь, осадки, облачность, ветер влияют на температуру воздуха. Взаимодействие всех этих элементов и процессов обусловливает определенное состояние атмосферы.

Следовательно, когда говорят про погоду, то имеют в виду состояние нижнего слоя атмосферы в данном месте и в определенное время (или по какой-либо промежуток времени).

Напоминаем, что географы наблюдают за природными явлениями, собирают информацию о них, а затем обрабатывают эту информацию с помощью математических формул. Поэтому в географии появляется математическая статистика и теория вероятности, которые могут объяснить многие явления и процессы в географии, например, закономерности прогнозов погоды.

Математическая статистика – наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены случайные явления на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений.

Теория вероятности – один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. Случайными экспериментами называются такие результаты, которые неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет – орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды – вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. А в итоге нас настигает ливень…

Прогноз погоды – самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.

Что на самом деле значит фраза: вероятность дождя 40%? Вы всю свою жизнь слушаете прогнозы погоды, но что они значат на самом деле? Когда метеоролог сообщает по телевизору, что завтра возможность выпадения осадков составляет 40 %, что он имеет в виду?

Предсказание погоды включает в себя теорию вероятности - фундаментальный раздел математики. И та часть прогноза погоды, которая предсказывает осадки, носит соответствующее название - вероятность осадков. Но часто люди не понимают, что значат эти 40 %. Это не значит, что дождь (или снег, град) будет идти 40 % времени или на 40 % данной территории. Это значит, что из 10 дней с примерно теми же условиями, что и завтра, осадки выпадут в течение 4 из этих 10 дней. (И наоборот, прогноз утверждает, что в течение 6 из этих 10 дней осадков не будет.)

Значение прогноза можно сделать еще точнее. Согласно Национальной метеорологической службе – федеральному агентству, предоставляющему стране информацию, касающуюся погоды - 40 % вероятность дождя значит, что существует 4 из 10 шансов, что 0,01 дюйма осадков выпадет где-то на территории района прогноза. Национальная метеорологическая служба использует специальную формулу для подсчета вероятности осадков: вероятность осадков = С * А. В этом уравнении С – уверенность в том, что осадки выпадут где-то в районе прогноза, а А - это процентная доля района, в котором выпадут осадки.

Интересные факт: компьютерному прогнозированию погоды уже около 66 лет. Существуют десятки численных моделей погоды. В основе климатической модели лежат фундаментальные уравнения. В них учитывают, например: движение воздуха; процессы обмена воздуха химическими составляющими с океаном, сушей, ледниками и другие физические процессы, а начальными условиями служат данные метеонаблюдений. С развитием компьютерных технологий увеличивается разрешение модели, что даёт точность прогноза. При этом уже сейчас расчёт по этой модели можно сделать хоть на сотни лет вперёд, но это будет прогноз средней погоды, например, на лето 2043 года, а не точный прогноз на конкретный день, который дать никто не может.

В последние годы для составления прогнозов используют ещё и ансамблевый подход – когда одну и ту же модель запускают со слегка различными начальными условиями. Через несколько дней данные в таких моделях существенно расходятся. Получается некое «облако неопределённости», по которому, тем не менее, можно вычислить вероятность осадков. Этот подход используют иностранные метеослужбы и в прогнозах на некоторых смартфонах тоже показывают вероятность осадков. Если вероятность дождя 60%, то значит 6 моделей из 10 показали, что дождь будет, а 4 – не будет.

Таким образом ансамблевый подход – это прогноз, включающий в себя несколько прогнозов, каждый из которых вероятен и каждый из которых начинается с разных условий. Наблюдая за тем, как отличается каждый прогноз, метеорологи могут определить, какую изменчивость несет будущая погода: чем больше изначальные прогнозы отличаются, тем менее единодушны метеорологи в вопросе о направлениях таких погодных явлений, как шторм. Например, когда ураган «Катрина» бушевал у берегов Атлантического океана, перед тем, как он перешел в Мексиканский залив, прогнозы, где он столкнется с берегом, и тот путь, который он проделает по континентальной части США после этого, отличались коренным образом. Некоторые предсказывали, что «Катрина» ударит по Новому Орлеану, а другие утверждали, что она пойдет по восточной части Мексиканского залива. Однако, как только «Катрина» пересекла Флориду, предсказания перестали разниться, и метеорологи лучше понимали, куда направится ураган.

Как видим, теорию вероятности и математику точно можно использовать в прогнозировании погоды.

Хотим сказать даже больше: мы живем во вселенной, где точные измерения чаще всего невозможны. Изучая реальные процессы, происходящие в мире, мы хотим понять, какие случайные события влияют на наши эксперименты. Нас окружает неопределенность, и важно уметь «обуздать» и использовать ее в своих целях. Именно в такие моменты в ход идет теория вероятностей и статистика.

4. Просто о сложном вопросе: задачи и примеры.

Хотим на примерах доказать, что теория вероятности и статистика отлично дополняют географию в вопросе прогноза погода.

Задача 1.

На южном острове погода бывает двух типов: отличная и хорошая. На этом острове погода стабильная, то есть установившись утром она не изменяется весь день. Синоптики предвещают туристам, что завтра погода будет такой же, какой была сегодня с вероятностью 0,6. Сегодня 18 июля и погода хорошая. Найдите вероятность того, что 21 июля погода на острове будет отличной.

Решение:

Так как 18 июля погода хорошая, то 19 июля с вероятностью 0,6 погода хорошая, а с вероятностью 0,4 отличная.

Согласно условию, если 19 июля погода хорошая, то 20 июля вероятность хорошей погоды (как вероятность произведения) будет равна 0,6⋅0,6=0,36, а вероятность отличной погоды равна 0,6⋅0,4=0,24.

Аналогично, если 19 июля погода отличная, то с вероятностью 0,4⋅0,6=0,24 она будет отличной и 20 июля. Хорошей 20 июля погода в этом случае будет с вероятностью 0,4⋅0,4=0,16.

Далее рассуждая аналогично, получаем схему:

Вероятность отличной погоды 21 июля будет (как вероятность суммы) равна 0,144+0,144+0,064+0,144=0,496.

Задача 2. Марковские цепи

Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.

Марков был русским математиком, который выдвинул идею о том, что одно государство ведет, непосредственно, к другому государству с определенной вероятностью, когда никакие другие факторы не влияют на переходный шанс. По сути, он изобрел цепь Маркова, отсюда и название.

Допустим, вы хотите предсказать, какая погода будет завтра. Верный прогноз – вид, выполненный опытными метеорологами, будет включать сотни или даже тысячи различных переменных, которые постоянно меняются. Погодные системы невероятно сложны и их невозможно моделировать, по крайней мере, для таких непрофессионалов, как вы и мы. Но мы можем упростить проблему, используя оценки вероятности.

Решение:

Представьте, что у вас был доступ к тридцати годам данных о погоде. Вы начинаете с самого начала, отмечая, что День 1 был солнечным. Вы продолжаете, отмечая, что День 2 также был солнечным, но День 3 был облачным, затем День 4 был дождливым, что привело к грозе в День 5, за которым последовало солнечное и ясное небо в День 6.

В идеале вы должны быть более детальными, выбирая почасовой анализ вместо повседневного, но это всего лишь пример, иллюстрирующий концепцию.

Вы делаете это по всему 30-летнему набору данных (который будет стоить всего 11 000 дней) и вычисляете вероятности погоды на завтра, основываясь на сегодняшней погоде. Например, если сегодня солнечно, то:

50-процентная

вероятность,

что

завтра

снова

будет

солнечно.

30-процентная

вероятность,

что

завтра

будет

облачно.

20-процентная

вероятность,

что

завтра

будет

дождливо.

Теперь повторите это для всех возможных погодных условий. Если сегодня облачно, каковы шансы, что завтра будет солнечно, дождливо, туманно, гроза, град, торнадо и т.д.? Довольно скоро у вас будет целая система вероятностей, которую вы можете использовать для прогнозирования не только погоды завтрашнего дня, но и погоды на следующий день, и на следующий день.

Переходные состояния – это суть цепи Маркова. У вас есть отдельные состояния (в данном случае погодные условия), где каждое состояние может переходить в другие состояния (например, солнечные дни могут переходить в облачные дни), и эти переходы основаны на вероятностях. Если вы хотите предсказать, какой может быть погода через одну неделю, вы можете изучить различные вероятности в течение следующих семи дней и посмотреть, какие из них наиболее вероятны. Таким образом работает Марковская «цепь».

Задача 3. Формула Байеса

Теорема Байеса (или формула Байеса) – одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие.

Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна 0.96. Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна 0.9. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с вероятностью 0.2. Известно, что в 40% случаях аэродром затянут низкой облачностью. Найти вероятность отсутствия облачности в день посадки, если известно, что самолет благополучно совершил посадку.

Решение:

Для начала определим вероятность благополучной посадки в облачную погоду, независимо от работы приборов: 0.9*0.96 + 0.1*0.2 = 0,884. Теперь вероятность посадки в любую погоду: 60%*0.96 + 40%*0.884 = 92,96%. Вероятность, что было облачно, если самолёт сел (ф-ла Байеса): 40%*0.884 / 92,96% = 38%.

Таким образом, мы на реальных примерах показали, каким образом математическая статистика и теория вероятности помогают прогнозировать погоду.

Выводы

Подводя итог, мы хотим сказать, что наша гипотеза доказана, задачи выполнены, так как однозначно в географии есть корни математики. Существует огромное количество доказательств тому, что с самых древних времён, с начала зарождения математики и географии, эти науки были неразрывно связаны друг с другом. И сегодня, в наше высокотехнологичное время, география и математика продолжают совместно работать на благо человечества. Если бы математика тесно не сотрудничала с географией, то география, вообще, как наука, не смогла бы развиваться. В настоящее время без математики мы не сможем сделать простые географические исследования: с помощью масштаба найти расстояние на карте; определить азимут; определить географические координаты географического объекта; найти среднегодовое количество осадков и среднегодовую температуру воздуха; рассчитать суточную, месячную и годовую амплитуду; построить разнообразные графики и диаграммы (роза ветров); построить план местности; узнать естественный и миграционный прирост населения; проанализировать демографическую ситуацию на определенной территории и др.

Итак, математика и география – две науки, которые не могут существовать друг без друга, они неразделимы и продолжают работать вместе. Математика позволяет нам определять обычные явления природы и общества. Эти явления основаны на приблизительных описаниях, и используемый язык – это не приблизительные, а точные формулы. География включает в себя всё, что ее окружает: леса, океаны, пустыни, почвы, социальные и экономические отношения, животных и растения, климат и погоду, круговорот вещества в природе и так далее.

Мы на реальных примерах показали, каким образом математическая статистика и теория вероятности помогают прогнозировать погоду.

Список литературы

Андросова, С. А. Математика - царица всех наук / С. А. Андросова, Н. А. Паукова, И. В. Попова // Вестник научных конференций. – 2019. – № 8-2(48). – С. 90-91.

Гмурман

В. Е.

Теория вероятностей и математическая статистика:

Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. 9-е изд., стер.

М.: Высш. шк., 2003. 479 с.

Горкин А.П. Энциклопедия «Биология» (с иллюстрациями). М.: Росмэн-Пресс, 2006. –

560 с.

Математика в профессии и других науках: сборник статей заочных чтений, проведенных в рамках III областного математического фестиваля студентов профессиональных образовательных организаций Курской области. 30 ноября 2017 г./ составители: Т.Н.Ковалева, Е.И.Ефимова. – Курск, 2017. – 126 с.

Перцик, Е. Н. Теория и методология географии:

у

чебник / Е. Н. Перцик. – 1-е изд.. – Москва : Издательство Юрайт, 2019. – 141 с.

Роузен, Рафаель. Математика для гиков/ Рафаель Роузен / пер. с англ. В. Тен. – Москва : Издательство АСТ, 2016. – 320 с

Рубцов, В. А. Математика и география (современный взгляд на проникновение математики в географическое знание) / В. А. Рубцов, А. Г. Степин // Социально-экономическая география. Вестник Ассоциации российских географов-обществоведов. – 2016. – № 5. – С. 255-269.

Теория и методология географической науки: учебник для вузов / М. М. Голубчик

.

– 2-е изд., испр. и доп. – Москва : Издательство Юрайт, 2022. – 409 с.

Цепи Маркова

https://proglib.io/p/markov-chain

Что такое цепи Маркова https://gadgetshelp.com/tekhnologiia-obiasnil/chto-takoe-tsepi-markova-5-iziashchnykh-primenenii-realnogo-mira/