Красивые задачи в математике ☼

 

 

 

 

КРАСИВЫЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИКЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Паспорт проектной работы.

 

 

Тема проекта:

« Красивые задачи в математике »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………….

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА……………………………………..

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ……………………………………………..

2.1. КРАСОТА В МАТЕМАТИКЕ……………………………….

2.2. ПОНЯТИЕ О КРАСИВОЙ ЗАДАЧЕ

В РАЗЛИЧНЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКАХ…………

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………

3.1. ОТБОР КРАСИВЫХ ЗАДАЧ……………………………….

3.2. МОИ ЗАДАЧИ……………………………………………….

3.3. СОЗДАНИЕ СБОРНИКА КРАСИВЫХ ЗАДАЧ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ЕГО ПРИМЕНЕНИЮ……………

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………

ГЛОССАРИЙ………………………………………………………

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………..

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………..

КРАТКАЯ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА…………….

ОТЗЫВ РУКОВОДИТЕЛЯ О ПРОЕКТЕ………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Несколько раз во время подготовки к олимпиаде я сталкивался с «Красивыми» задачами. Мне стало интересно что же на самом деле они из себя представляют? В учебниках по математике четких формулировок что такое «Красивая» задача не оказалось, поэтому я попытался найти ответ на вопрос в дополнительной литературе и заметил, что даже у ученых мнения не сходятся. Каждый видит красоту задачи по — своему.

Вот я и решил провести анализ по данной проблеме и подготовить исследовательскую работу на конференцию по теме «Красивые» задачи в математике.

При разборе нестандартных задач я понял, что необходимо сначала провести поиск плана решения задачи, определить теоретический материал, который дает ключ к решению задачи. Решать «Красивые» задачи интересно и увлекательно.

Итак, гипотеза моего исследования - существуют задачи, отличающиеся нестандартной формулировкой, неожиданным решением, которые можно использовать и на уроках.

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА.

Цель моего исследования: изучение понятия красивая задача в математике и создание сборника таких задач.

Для достижения поставленной цели я решил:

Изучить научную литературу, научные публикации по данной теме и провести о

прос среди учащихся нашего училища понимание значения

словосочетания

"красивая задача", проанализировать полученную информацию.

Определить понятие красивая задача в математике

Отобрать красивые задачи

Составить красивые задачи

С

пособ

ствовать рассмотрению

кр

асивых задач на уроках математики.

 

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

2.1 «Красота» в математике

Человек немыслим без такого качества, как восприятие мира в его красоте и гармонии.

Многие из учащихся считают математику строгой наукой, при изучении которой нет места эмоциям, хотя очень многие заинтересованы этим предметом.

Еще Д. фон Нейман отмечал, что математика "движима почти исключительно эстетическими мотивами". Попытки раскрыть содержание понятий "чувство красоты", "красивая задача" предпринимаются многими математиками.

2.2 Понятие о красивой задаче в различных литературных источниках

«Мне доставляет удовольствие решать красивую задачу, ведь это прекрасно - сидеть, мучиться и, наконец, добиться своего», - так отзывается о задачах Александров А. Д.- математик, физик, философ, альпинист. Все согласятся, наверное, что «красивые задачи могут доставлять удовольствие не только слуху и взору, но и разуму», «красивые задачи - путь к пониманию к изяществу математики», « красивая задача = неожиданность + удивительная простота + фантазия + удивление +труд +…».

Я люблю задачи, в которых бывает неожиданно простое решение.

Это вызывает у меня интерес и побуждает к поиску более коротких и простых путей решения.

Изучив множество литературы, я пришёл к такому выводу, что «красивая» математическая задача должна отвечать определенным требованиям:

Условие задачи должно быть интересно; если задача геометрическая, то чертеж к ней красивый.

Задача должна содержать

нестандартный элемент,

отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи,

имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).

Задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный.

3адача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала.

Наконец, основное: в решении задачи обязательно нужно спрятать «изюминку», чтобы оно было наглядно и удивительно просто.

Г

отовясь к математическим олимпиадам, я

прорешал

множество задач среди которых были такие, которые отвечали данным требованиям и я понял, что их можно классифицировать на несколько групп:

«Красивые» задачи по решению;

«Красивые» задачи по чертежу;

«Красивые» задачи по содержанию;

«Красивые» олимпиадные задачи;

 

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3.1 Отбор красивых задач

 

Занимательные задачи часто используются на уроках математики,

Существует ряд стандартных средств, которые используются при решении занимательных задач. Например, при решении некоторых используется принцип Дирихле, свойства делимости, идея обратного хода и т. д. Однако остаются без внимания логические методы решения задач, в частности метод рассуждения приведением к нелепости.

Метод рассуждения приведением к нелепости применяется в тех случаях, когда требуется опровергнуть предложение А, т. е. доказать предложение вида не — А. Суть этого метода заключается в следующем. Для того чтобы доказать предложение не — А, достаточно из предположения, что имеет место А, вывести противоречие (нелепость), т. е. Два предложения В и не — В для какого - нибудь предложения В. Рассмотрим примеры использования данного метода рассуждения при решении занимательных задач.

Задача 1. На каждой кочке в маленьком болоте сидит не меньше чем 3 лягушки, а всего лягушек 145. Докажите, что число кочек на этом болотце не может равняться 55.

Ответ Допустим, что число кочек на болотце равно 55. Поскольку лягушек на каждой кочке не меньше 3, то число лягушек на 55 кочках не меньше 165 (3х55=165). По условию число лягушек на болотце равно 145, т. е. Меньше 165. Получили противоречие. Следовательно, допущение неверно, а значит. На болотце не может быть 55 кочек.

Задача 2. Можно ли соединить 13 городов так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?

Ответ Допустим, что можно соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог. Заметим что найдя произведение 13х5, мы каждую дорогу посчитаем дважды, а значит, это произведение должно быть четным числом. Однако 13х5=65 — число нечетное. Получили противоречие. Следовательно, допущение неверно, а значит, нельзя соединить 13 городов так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог.

Задача 3 Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в 10 подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому Саши, Петя заметил, что дом девятиэтажный. Выясните. На какой этаж ему следует подняться.

Ответ. Рассмотрим случаи, когда на каждом этаже: 1) не более 3 квартир

2) 4 квартиры 3) Не менее 5 квартир. Допустим, что на каждом этаже не более 3 квартиры. Тогда в 10 подъездах всего квартир 1093=270. Таким образом, в 10 подъезде не может быть квартиры с номером 333, что противоречит условию. Следовательно, случай, когда на каждом этаже не более трех квартир, невозможен.

Допустим, что на каждом этаже не менее 5 квартир. Тогда в 9 подъездах их более 1095=450, т. е. В 10 подъезде не может быть квартиры № 333. Этот случай, когда на каждом этаже не менее 5 квартир, невозможен. Таким образом, Саша живет в доме, в котором на каждом этаже расположено по 4 квартиры. В девяти подъездах всего квартир 994=324. В десятом подъезде первая квартира имеет № 325. Получаем, что квартира № 333 находится на 3 этаже.

Задача 4. Пришел покупатель на базар и купил шапку за 10 рублей, дал продавцу 25-рублевую купюру, а у того не было сдачи. Пошел продавец к меняле, разменял эти 25 рублей и отдал покупателю сдачу 15 рублей. Вскоре прибежал меняла, бросил продавцу его 25-рублевую купюру и заявил: «Эта купюра фальшивая - верни мне деньги!» Продавец отдал меняле настоящие 25 рублей, сел и задумался, сколько же всего денег он потерял? (Считаем, что шапка — это 10 рублей)

Задачу может решить первоклассник, но может и не решить профессор!

Ответ: Рассмотрим отдельно «приход» и «расход» продавца. Он получил от менялы 25 рублей и больше ничего, а отдал шапку за 10 рублей, сдачу 15 рублей и вернул меняле 25 рублей. В итоге, он потерял 25 рублей. Задача 5. Можно ли расставить 9 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по кругу так, чтобы сумма любых трех чисел, стоящих подряд, делилась на 3 и

а) Была больше 9? б) Была больше 12?

Ответ. а) Можно. Например 1, 9, 2, 7, 3, 5, 4, 6, 8.

б) Нельзя. Пусть сумма в каждой тройке соседних чисел больше 12. Так как сумма чисел в тройке кратна 3, то она должна быть не меньше 15. Так как сумма всех девяти чисел от 1 до 9 равна 45, то сумма в каждой тройке равна 15. Но тогда числа, стоящие через каждые два места, должны быть равны, что невозможно. Возможно решение, основанное на следующей идее: сумму 15 требует набрать 8 разными способами из предложенных чисел. Однако это сделать невозможно.

Задача 6. Один из двух мальчиков на любой вопрос либо отвечает «да», либо молчит, а другой либо отвечает «нет», либо молчит. При этом один из них правдивец, т. е. произносит свой ответ в точности тогда, этот ответ истинен, а другой — лжец, т. е. произносит свой ответ в точности тогда , когда этот ответ ложен. Можно ли задать им такой вопрос, чтобы по их реакции можно было определить, кто какой ответ произносит, а также кто из них правдивец и кто лжец?

Ответ: Можно задать, например, вопрос « Можешь ли ты сказать “да”?». На него обязательно ответит правдивец и промолчит лжец.

 

3.2 Мои задачи

Задача 1. На лугу растёт трава. Пустили на луг 9 коров, они опустошили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней. Сколько коров могут кормиться на лугу всё время, пока растёт трава? Данная задача интересна тем, что нужно учитывать ежедневный прирост травы. И с помощью одного уравнения ее не решить. Поэтому я ввел две переменные и составил уравнение. Итак:

Решение :

Пусть x - доля травы, поедаемая 1 коровой за день.
у - прирост травы за день.

Составляем равнение из 2 переменных, показывающее нулевой прирост травы.

(y-8x)6=(y-9x)4 Решаем:

6у – 48х = 4у – 36х

6у – 4у = 48х – 36х

2у = 12х => y=6x т.е 6 коров поедают прирост травы и поэтому могут кормиться на лугу все время.

Ответ: 6 коров

Задача 2. Поезд проходит мост длиной в 450 м за 45 сек. и 15 секунд идёт мимо телеграфного столба. Вычислить скорость и длину поезда.

Решение: 15 секунд поезд движется мимо столба, значит, 15 секунд поезд «съезжает» с моста, т.е. паровоз пройдёт путь, равный длине поезда.

С момента, когда паровоз начал съезжать с него прошло 30 секунд. ( 45-15).Итак, за 30 секунд: паровоз проехал 450 м, откуда скорость паровоза: 900 метров в минуту,

Переводим в часы.

900 м = 900 = 900 = 900 =9000,06 = 54 км/час.

За 15 секунд ( или 1\4 минуты) паровоз пройдёт путь, равный длине поезда, значит, длина поезда равна 225м. Ответ: 54 км/ч и 225 м.

Задача 3. Женя похудел за весну на 20%,а потом за лето поправился на 30%,за осень опять похудел на 20 %,а за зиму поправился на 10 %.Поправился или похудел Женя за год?

Решение. Пусть х кг – масса Жени,

После весны вес Жени составил 80% от прежней массы. Переводим в дробь. Это 0,8х.

После лета его вес составил : 0,8∙ 1,3х.

После осени его вес составил : 0,8∙ 1,3∙0,8х.

После зимы его вес составил: 0,8∙ 1,3∙0,8∙1,1х = 0,9152х (кг) стала масса Жени. Значит, Женя похудел.

 

 

3.3 Создание сборника красивых задач и рекомендации по его

применению

 

Чтобы не потерять интерес к математике необходимо дополнительно прорешивать интересные задачи. Я решил создать сборник задач, которые заинтересовали меня( приложение 1).

В сборнике я собрал красивые задачи занимательного характера, которые помогут в проведение, например, увлекательных пятиминуток в начале урока. Увлекательные задачи буду подбирать и предлагать для решения сам.

Сам же я занимаюсь решением типовых олимпиадных задач.

Я думаю, что моим сборником могут пользоваться как учителя, так и учащиеся. Ребята, увлекающиеся математикой, не останутся равнодушными к нестандартным задачкам, а возможно и захотят сами придумывать похожие задачи. Некоторые разделы моего сборника могут заинтересовать преподавателя. Они смогут разнообразить пятиминутки интересными логическими задачками.

 

 

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За время работы над проектом я узнал для себя много полезной информации которая может пригодиться при решении задач. А именно:

1. Потраченные 2-3 минуты на тщательный анализ условия задачи окупается сторицей! Если за эти минуты ты используешь всю силу своего геометрического воображения, то даже и при сложном условии задачи сможешь обнаружить рациональное (краткое и изящное) решение. Приняв сразу бездумное шаблонное решение, ты увеличишь объем вычислительной работы и шансы появления ошибок.

2. Если задача сложная – найди «логику» решения задачи, напиши план решения задачи. В запутанной и особо «неподдающейся» задаче план решения обязателен.

3. Не волнуйся!

4. Дай полную волю своей интуиции! Интуиция поможет тебе наметить кратчайший путь к решению задачи.

5. Мысль способна незаметно «уйти в сторону» - следи за ней ( а, точнее, за собой) !

6. Удачное вспомогательное построение подчас сразу же раскрывает «секреты « условия задачи. Если проведенная вспомогательная линия все же окажется ненужной, то сразу же сотри ее – все лишнее мешает мыслительному процессу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ГЛОССАРИЙ

Фон Нейман – (1903 – 1953) венгеро – американский математик, сделавший важный вклад в квантовую логику, функциональный анализ, теорию множеств и т.д..

Дирихле Петер Густав Лежен ( 1805– 1859) – немецкий математик. Принцип Дирихле утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов , где N > n ,то по крайней мере в одной части будет более одного элемента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

«Математика в школе» выпуск № 6 за 2008 год.

Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» выпуск №5 за 2009 год.

Издательский дом «Первое сентября» Выпуск за 20 октября 2007 год.

«Математика в школе» выпуск №3 за 2008 год.

Сборник олимпиадных задач

Интернет – информация.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. КРАТКАЯ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К ПРОЕКТУ.

Мною было рассмотрено много трактовок "Красивой задачи", на основании которых можно сделать следующий вывод: к какому бы типу красивых задач не относилась данная, главное, что она вовлекает нас в творчество, заставляет мыслить нестандартно, искать новые подходы к решению, совершать всякий раз для себя небольшое открытие.

Результатом изучения научной литературы и интернет источников явилось создание сборника "Красивых задач". Мне и самому понравилось составлять красивые задачи, думаю кому то они пригодятся для развития смекалки, мышления, воображения.

В работе я использовал следующие методы исследования:

использование интернет - ресурса при изучении вопроса;

обобщение собранного материала.

В основу моего проекта были положены поиски математических задач занимательного, творческого характера, а так же их классификация по типу интереса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. ОТЗЫВ

на индивидуальный проект

учащегося 8 класса ГБПОУ «Казанское училище олимпийского резерва)

Монастырева Сергея.

по теме: « Красивые задачи в математике »

Итоговый индивидуальный проект Монастырева Сергея представляет собой исследование и обобщение определенного типа задач именуемых

« красивыми». Содержание работы соответствует заявленной теме. Выводы и заключения сделаны грамотно, а так же сделана попытка собрания задач в сборник.

Оформлен проект в виде исследовательской работы по выбранной теме, в котором продемонстрировано умения работать с различными источниками информации, сформулирована собственная точка зрения по рассматриваемой проблеме и предложен сборник задач занимательного характера.

Данный проект является актуальным, поскольку он попробовал систематизировать задачи , решить их, а так же предложил составить из них сборник, для применения в классе.

В ходе выполнения индивидуального проекта Сергей продемонстрировал способность самостоятельно приобретать новые знания, пополнять и переносить их в индивидуальный проект.

Учащийся показал хороший уровень регулятивных умений планировать и осуществлять свою деятельность, отслеживать результаты ее выполнения. Проект был спланирован под руководством преподавателя и своевременно доведен обучающимся до конца.

В целом работа свидетельствует о способности обучающегося под руководством педагога ставить проблему и находить пути её решения, умение самостоятельно мыслить.

В работе Сергей умело пользуется ИКТ. В ходе выполнения проекта он своевременно выполнял задания, получаемые на консультациях, исправлял недоработки.

Работа включает в себя введение, основную часть, заключение, список используемых источников и литературы а так же сборник задач для применения в классе по развитию логического мышления учащихся. Во введении указывается актуальность исследования, ставятся цель и задачи, определяется проблема, предмет и методы исследования.

Достоинства работы. Сергей попробовал систематизировать, интересные на его взгляд, задачи , решить их, а так же предложил составить из них сборник, для применения в классе.

 

Практическая значимость. В проекте описывается исследование, а результаты оформлены в виде сборника. Завершается работа выводами, в которых излагаются результаты исследования и возможность применения задач в классе.

Рекомендации: индивидуальный проект Монастырева Сергея по теме

« Красивые задачи в математике » отвечает требованиям, предъявляемым к проекту, и рекомендуется к защите.

Заслуживает отметку « хорошо».

Руководитель Исанбаева В.А.

«25» апреля 2020г.