Краткий конспект лекции по теме: "Общая схема исследования функций и построение графиков" | Шувалова Маргарита Андреевна. Работа №344804

Краткий конспект лекции по теме «Общая схема исследования функций и построение графиков».

Краткие теоретические сведения:

Исследование функции f(x) для построения графика следует проводить в следующей последовательности:

найти область определения функции;

Множество всех допустимых значений аргумента x называется областью определения функции и обозначается D(f).

Пусть дана функция, содержащая некоторую дробь . Так как на ноль делить нельзя, то . Поэтому те значения x, которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Функция с квадратным корнем  определена только при тех значениях x, когда подкоренное выражение неотрицательно: . Если корень расположился в знаменателе  , то условие ужесточается: . Аналогичные рассуждения справедливы для любого корня положительной чётной степени. У корней нечетной подкоренное выражение может быть и отрицательным.

Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения x, которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно накладывается условие .

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки , где  – множество целых чисел. 

Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . 

проверить функцию на четность или нечетность;

Функция f(x) называется четной, если для любого x из области определения существует -x из области определения и f(-x) = f(x).

Из определения вытекает свойство четной функции: график четной функции симметричен относительно оси y.

Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения существует -x из области определения и f(-x) = -f(x).

Из определения нечетной функции вытекает свойство: график нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0).

Если функция y=f(x) не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

проверить функцию на периодичность;

Функция f(x) называется периодической с периодом T, если ее область определения такова, что для любого x из области определения и x+T тоже из области определения, и справедливо равенство f(x)=f(x+T).

Если T является периодом функции f(x), то кратное T число также является периодом данной функции.

найти асимптоты;

Окрестностью точки х0 называют интервал длины 2e с центром в точке х0, то есть (х0-e, х0+e), где e - произвольное положительное число.

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если предел функции f(x) при x→a равен f(a) (). Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Если в точке a нарушено условие непрерывности и односторонние пределы () в этой точке конечны, то данная точка называется точной разрыва первого рода. Разрывом первого рода со скачком называется точка, в которой нарушено условие непрерывности нарушено, а односторонние пределы в этой точке конечны и различны.

Если в точке a нарушено условие непрерывности и хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует в этой точке, то данная точка называется точкой разрыва второго рода.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если правый или левый предел функции в точке x0 равен бесконечности. Вертикальные асимптоты следует искать в точках, где функция терпит разрыв второго рода, или на концах ее области определения, если они не равны бесконечности.

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если предел функции f(x) при x→ ∞ равен b.

Прямая y = kx+b называется наклонной асимптотой, если предел отношения функции f(x) к x при x→ ∞ равен k, а предел модуля разности f(x) и kx при x→ ∞ равен b. Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то график функции f(x) не имеет наклонной асимптоты.

Замечание. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи, когда x→ +∞ и при x→ -∞.

найти корни уравнения f(x)

0, интервалы

знакопостоянства

;

Рассмотрим некоторую функцию y=f(x). Точки, в которых график y=f(x) пересекает ось x, называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение f(x)=0, то есть найти те значения x, при которых функция обращается в ноль. 

Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на некотором интервале (a;b), график которой не пересекает ось x на этом интервале. Тогда если функция y=f(x) положительна в какой-либо точке интервала (a;b), то она положительна и во всех точках данного интервала. Если функция y=f(x) отрицательна в какой-либо точке интервала (a;b), то она отрицательна и во всех точках данного интервала.

вычислив f

(x), найти максимумы и минимумы функции f(x), а также промежутки ее возрастания и убывания;

Функция f(x) называется возрастающей (f(x)) на промежутке ⟨a;b⟩, если для любых двух точек x1 и x2 таких, что a≤x1< x2≤b, выполняется неравенство f(x1) < f(x2).

Функция f(x) называется убывающей (f(x)) на промежутке ⟨a;b⟩, если для любых двух точек x1 и x2 таких, что a≤x1< x2≤b, выполняется неравенство f(x1) > f(x2).

Если для любой точки x0 ∈ [a;b] выполняется неравенство f’(x0) > 0, то функция f(x) возрастает на промежутке ⟨a;b⟩.

Если для любой точки x0 ∈ [a;b] выполняется неравенство f’(x0) < 0, то функция f(x) убывает на промежутке ⟨a;b⟩.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а; b]. Говорят, что функция
у = f(х) имеет локальный максимум в точке х0 ∈ [а; b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а; b] и такая, что для любого х, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х0).

Говорят, что функция f(х) имеет локальный минимум в точке х0 ∈ [а; b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а; b] и такая, что для любого х, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х0).

Критическая точка - внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует.

Критическая точка является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f(х) на отрезке [а; b] достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

вычислив f

(x), найти точки перегиба функции и промежутки ее выпуклости и вогнутости;

Говорят, что функция f(х) выпукла вверх в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М0(х0, у0) лежит выше графика. Говорят, что функция f(х) выпукла вниз (вогнута) в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М0(х0; у0) лежит ниже графика. Если на некотором промежутке ⟨a;b⟩ все касательные к графику функции f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (соответственно выпукла вниз).

Если , то график функции вогнут. Если , то график функции выпукл.

Точка перегиба функции – это точка M (x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0, где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

используя пункты 1-7, построить график функции y

f(x).

Практические задания:

Проведите исследование функции и постройте ее график:

Ответы на практические задания:

D(f)

=(

-∞;0)

(0;+∞)

.

, тогда

f

(

x

) – нечетная функция.

Функция не является периодической.

,

. Тогда

f(x)

имеет вертикальную асимптоту:

x

=

0.

,. Тогда f(x) горизонтальной асимптоты не имеет.

. Тогда k = .

. Тогда b = 0.

Аналогично для . Тогда f(x) имеет наклонную асимптоту: y = x.

, корней нет, x0.

f(-1)=0

f(1)=0

Тогда f(x)0 при x(0; +∞), f(x)0 при x(-; 0).

Корни: x1 = 2, x2 = -2. x0.

f’(-10)=0

f’(-1)=0

f’(1)=0

f’(10)=0

f’(x)0 при x(-∞; -2][2; +∞), f(x)0 при x[-2; 0)(0; 2].

Тогда функция f(x) возрастает при x(-∞; -2][2; +∞), убывает при x[-2; 0)(0; 2].

= 0, корней нет, x0.

f’’(-1)=

f’’(1)=

f’’(x)0 при x(0; +∞), f(x)0 при x(-; 0).

Тогда функция f(x) выпукла при x(-; 0), вогнута при x(0; +∞).