Математика: Свойства Степеней | Талпа Стэфан Сергеевич. Работа №221950
Автор: Талпа Стэфан Сергеевич
Способ высчитать разность цисел n-ой степени
Как найти разность степеней двух последовательных натуральных чисел, не имея калькулятора под рукой?
Обозначим эти числа за a и a+1
Вспомним формулу разности квадратов:
(a+1)^2 – a^2 = (a+1-a)(a+1+a) = 2a+1
Теперь для разности кубов:
(a+1)^3 – a^3 = (a+1-a)((a+1)^2 + (a+1)a + a^2) =
= 3a^2 + 3a + 1
Теперь для разности четвёртых и пятых степеней:
(a+1)^4 – a^4 = (a+1-a)((a+1)^3 + (a+1)^2*a + (a+1)*a^2 + a^3) = 4a^3 + (1+2+3)a^2 + 4a + 1
(a+1)^5 – a^5 = (a+1-a)((a+1)^4 + (a+1)^3*a + (a+1)^2*a^2 + (a+1)*a^3 + a^4) = 5a^4 + (1+2+3+4)a^3 + (1+2+3+4)a^2 + 5a + 1
Введем функцию sigma[1](n) = 1+2+3+…+n
Таким образом,
(a+1)^4 – a^4 = 4a^3 + sigma[1](3)*a^2 + 4a + 1
(a+1)^5 – a^5 = 5a^4 + sigma[1](4)*a^3 +sigma[1](4)*a^2 + 5a
Закономерность на глаз. Попробуем раскрыть разность шестых степеней:
(a+1)^6 – a^6 = (a+1-a)((a+1)^5 + (a+1)^4*a + … + a^5) =
= 6a^5 + (1+2+3+4+5)a^4 + (1+3+6+10)a^3 + (1+2+3+4+5)a^2 + 6a + 1
Введем функцию sigma[m](n) = sigma[m-1](1) + … + sigma[m-1](n)
Соответственно sigma[2](n) = sigma[1](1) + … + sigma[1](n)
Значит,
(a+1)^6 – a^6 = 6a^5 + sigma[1](5)*a^4 + sigma[2](4)*a^3 + sigma[1](5)*a^2 + 6a + 1
Из всех написанных формул можно вывести общую формулу разности n-ых степеней:
(a+1)^n – a^n = n*a^(n-1) + sigma[1](n-1)*a^(n-2) + sigma[2](n-2)*a^(n-3) + … + sigma[k](n-k)*a^(n div 2) + … + sigma[2](n-2)*a^3 + sigma[1](n-1)*a^2 + n*a + 1
где div – целочисленное деление
Коэффицент сигмы возрастает до середины, а затем опять убывает
Чтобы было легче, приведем значения sigma:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
[1]
1
3
6
10
15
21
28
36
45
[2]
1
4
10
20
35
56
84
120
165
[3]
1
5
15
35
70
126
210
330
495
[4]
1
6
21
56
126
252
462
792
1287
[5]
1
7
28
84
210
462
924
1716
3003
[6]
1
8
36
120
330
792
1716
3432
6435
[7]
1
9
45
165
495
1287
3003
6435
12870
Частные случаи:
Для квадратов: 2a+1
Для кубов: 3a^3 + 3a +1
Для четвёртых степеней: 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1
Для пятых степеней: 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a + 1
Для шестых степеней: 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 +6a + 1
Для седьмых степеней: 7a^6 + 21a^5 + 35a^4 + 35a^3 + 21a^2 + 7a + 1
