Международный
педагогический портал
Международный педагогический портал (лицензия на осуществление образовательной деятельности №9757-л, свидетельство о регистрации СМИ №ЭЛ ФС 77-65391)
8 (800) 350-54-64
звонок бесплатный
org.komitet@solncesvet.ru
8 (800) 350-54-64
звонок бесплатный
org.komitet@solncesvet.ru
Vk Whatsapp Youtube
Лицензированный образовательный портал (лицензия №9757-л, СМИ №ЭЛ ФС 77-65391)
8 (800) 350-54-64
Название статьи:

Математика: Свойства Степеней | Талпа Стэфан Сергеевич. Работа №221950

Дата публикации:
Автор:
Описание:

Автор: Талпа Стэфан Сергеевич
Способ высчитать разность цисел n-ой степени

Как найти разность степеней двух последовательных натуральных чисел, не имея калькулятора под рукой?

Обозначим эти числа за a и a+1

Вспомним формулу разности квадратов:

(a+1)^2 – a^2 = (a+1-a)(a+1+a) = 2a+1

Теперь для разности кубов:

(a+1)^3 – a^3 = (a+1-a)((a+1)^2 + (a+1)a + a^2) =

= 3a^2 + 3a + 1

Теперь для разности четвёртых и пятых степеней:

(a+1)^4 – a^4 = (a+1-a)((a+1)^3 + (a+1)^2*a + (a+1)*a^2 + a^3) = 4a^3 + (1+2+3)a^2 + 4a + 1

(a+1)^5 – a^5 = (a+1-a)((a+1)^4 + (a+1)^3*a + (a+1)^2*a^2 + (a+1)*a^3 + a^4) = 5a^4 + (1+2+3+4)a^3 + (1+2+3+4)a^2 + 5a + 1

Введем функцию sigma[1](n) = 1+2+3+…+n

Таким образом,

(a+1)^4 – a^4 = 4a^3 + sigma[1](3)*a^2 + 4a + 1

(a+1)^5 – a^5 = 5a^4 + sigma[1](4)*a^3 +sigma[1](4)*a^2 + 5a

Закономерность на глаз. Попробуем раскрыть разность шестых степеней:

(a+1)^6 – a^6 = (a+1-a)((a+1)^5 + (a+1)^4*a + … + a^5) =

= 6a^5 + (1+2+3+4+5)a^4 + (1+3+6+10)a^3 + (1+2+3+4+5)a^2 + 6a + 1

Введем функцию sigma[m](n) = sigma[m-1](1) + … + sigma[m-1](n)

Соответственно sigma[2](n) = sigma[1](1) + … + sigma[1](n)

Значит,

(a+1)^6 – a^6 = 6a^5 + sigma[1](5)*a^4 + sigma[2](4)*a^3 + sigma[1](5)*a^2 + 6a + 1

 

Из всех написанных формул можно вывести общую формулу разности n-ых степеней:

(a+1)^n – a^n = n*a^(n-1) + sigma[1](n-1)*a^(n-2) + sigma[2](n-2)*a^(n-3) + … + sigma[k](n-k)*a^(n div 2) + … + sigma[2](n-2)*a^3 + sigma[1](n-1)*a^2 + n*a + 1

где div – целочисленное деление

Коэффицент сигмы возрастает до середины, а затем опять убывает

Чтобы было легче, приведем значения sigma:

 

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

[1]

1

3

6

10

15

21

28

36

45

[2]

1

4

10

20

35

56

84

120

165

[3]

1

5

15

35

70

126

210

330

495

[4]

1

6

21

56

126

252

462

792

1287

[5]

1

7

28

84

210

462

924

1716

3003

[6]

1

8

36

120

330

792

1716

3432

6435

[7]

1

9

45

165

495

1287

3003

6435

12870

 

Частные случаи:

Для квадратов: 2a+1

Для кубов: 3a^3 + 3a +1

Для четвёртых степеней: 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1

Для пятых степеней: 5a^4 + 10a^3 + 10a^2 + 5a + 1

Для шестых степеней: 6a^5 + 15a^4 + 20a^3 + 15a^2 +6a + 1

Для седьмых степеней: 7a^6 + 21a^5 + 35a^4 + 35a^3 + 21a^2 + 7a + 1

Скачать работу
Пожалуйста, подождите.
x
×