Моделирование как эффективное средство обучения младших школьников. | Рыськина Валентина Сергеевна. Работа №148441

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
города Ульяновска Физико-математический лицей №38
Выступление на педагогическом совете лицея
учителя начальных классов
высшей квалификационной категории
Рыськиной В.С.
Моделирование как эффективное средство обучения
младших школьников
Ульяновск
2019 год
Оглавление
Введение
I. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения
1. Сущность понятий модель и моделирование
2. Классификация и функции моделей
3. Понятие задача и процесс ее решения в начальном курсе математики
4. Моделирование в процессе решения задач
II. Опытно-экспериментальная работа по формированию умения решать задачи на движение с использованием моделирования
1. Констатирующий эксперимент
2. Формирующий эксперимент
3. Контрольный эксперимент
III. Заключение
Введение
Начальное общее образование направлено на формирование личности обучающегося, развитие его индивидуальных способностей, положительной мотивации и умений в учебной деятельности (овладение чтением, письмом, счетом, основными навыками учебной деятельности, элементами теоретического мышления, простейшими навыками самоконтроля, культурой поведения и речи, основами личной гигиены и здорового образа жизни) Закон РФ Об образовании (273 – ФЗ)
Известно, что целенаправленно овладевать основами наук в начальной и средней полной школе учащиеся могут только тогда, когда умеют самостоятельно работать. Поэтому приоритетной задачей любой современной начальной школы является задача формирования активности и самостоятельности учащихся. Проблема поиска средств и способов формирования активности и самостоятельности, активизации мыслительной деятельности учащихся в процессе их обучения является актуальной и по сей день. На первый план выдвигается задача целенаправленного обучения учащихся познавательной деятельности, то есть обучения их способам познания окружающего мира, в число которых входят: наблюдение, анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, моделирование и т. д.
При обучении младших школьников мною используется такая форма работы, как уроки моделирования, в основу которой положен метод моделирования. Психологи рассматривают моделирование как один из способов организации обучения, выделяя в качестве средства организации познавательной деятельности учебные модели, так как они обладают рядом характерных свойств, обуславливающих организацию продуктивного обучения.
В своих работах психологи П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.И. Непомнящая указывают на необходимость использования метода моделирования в учебной деятельности.
Уроки моделирования – это изготовление детьми (с помощью взрослых, под их руководством и самостоятельно) простых моделей игр, пособий для себя и для учащихся, а также плоскостных и объемных моделей.
На уроках мною используются такие приёмы и способы как замещение предметов: символы и знаки, плоскостные модели (планы, карты, чертежи, схемы, графики), объемные модели, макеты. Использование метода моделирования помогает решать комплекс очень важных задач: развитие продуктивного творчества детей; развитие высших форм образного мышления; применение ранее полученных знаний в решении составных задач; закрепление знаний, полученных детьми ранее; создание условий для делового сотрудничества; активизация словаря детей; развитие мелкой моторики руки; получение новых представлений и навыков в процессе работы; наиболее глубокое понимание детьми принципов работы и строения оригиналов с помощью моделей.
Метод моделирования позволяет свести изучение сложного к простому, активизирует мыслительную деятельность, формирует универсальные учебные действия. Метод моделирования развивает познавательный интерес детей.
В своей работе я руководствуюсь теми идеями применения данного метода, которые отражены в исследованиях психологов, педагогов, методистов (Л.М. Фридман, Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Е.Н. Турецкий, А.Л. Жохов, А.Г. Мордкович, В.П. Радченко и др.). Они рассматривают моделирование как средство и метод познания, при котором в качестве объектов познания выступают различные понятия
Исследователи считают, что образный материал может быть носителем смысла в той же мере, что и вербальный; символическая информация легче для восприятия, а дублирование вербальной информации символической приводит к объективному ее переизбытку, что способствует стабильности понимания.
Широко моделирование стало развиваться в ХХ веке, получив признание практически во всех отраслях современной науки. Несмотря на то, что моделирование изучается уже довольно долго, как средство и метод обучения оно остаётся и по сей день актуально .
I. Теоретические основы использования моделирования в процессе обучения
1. Сущность понятий модель и моделирование
В процессе работы по обсуждаемой теме мною была изучена научно-методическая литература, труды выдающихся педагогов, психологов, исследователей, методистов, преподавателей.
В психолого-педагогической литературе существуют различные определения понятия модель.
По мнению Л.М. Фридмана, модель - это средство научного познания; это представитель, заместитель оригинала в познании или на практике; система со структурными свойствами и определенными отношениями; она охватывает существенные свойства прототипа, которые в данный момент являются объектом исследования, и соответствует оригиналу.
В.А. Штофф определяет модель как мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте.
А.И. Уемов считает, что модель - это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе.
П.В. Грес под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимает такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.
На основе изученного материала, на основе применения в практике обучения приёмов моделирования можно с уверенностью констатировать, что модель, помогает понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития. В качестве модели исследователи предлагают использовать изображения, схемы, чертежи, графики, планы.
Таким образом, под моделированием понимают процесс создания моделей и их использование в целях формирования знаний о свойствах, структуре, отношениях и связях объектов. Следовательно, моделирование – важный метод научного познания и эффективное средство активизации учащихся в обучении, и сам процесс построения и использования модели называется моделированием.
2. Классификация и функции моделей
Большинство исследователи делят все модели на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.
Схематизированные модели подразделяются на вещественные или как их по-другому называют предметные и графические модели, в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами. Такие модели могут, строятся из различных предметов, таких как палочки, пуговицы, бумажные полоски и многое другое. К такому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, которая описана в задаче, в виде представлений. Графические модели обычно используют для обобщенного схематического воссоздания ситуации. К графическим моделям относятся: рисунок, условный рисунок, чертеж, схематичный чертеж или схема.
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном языке, так и на математическом. К знаковым моделям, которые выполнены на естественном языке, относят краткую запись задачи и таблицы. А к знаковым моделям, которые выполнены на математическом языке (они же являются математической моделью задачи), относят запись решения задачи по действиям, запись выражения, составление уравнений или систем уравнений и неравенств.
Однако, не любая краткая запись (рисунок или чертеж), которая выполняется для задачи, может быть ее моделью. Вспомогательные модели текстовых задач должны отражать все ее объекты и все отношения между ними, указывать требования. Такие модели строятся в ходе разбора содержания и анализа задачи, вместе с тем построение этих моделей организует и направляет на детальный и глубокий анализ задачи. По условию одной и той же задачи можно составить несколько вспомогательных моделей, каждая из которых позволяет найти свой способ решения.
Для того чтобы учащиеся овладели моделированием как методом научного познания, недостаточно познакомить их только с трактовкой понятий модели и моделирования, демонстрируя разные математические модели и показывая процесс моделирования при решении задач. Необходимо научить их самостоятельно строить и исследовать модели, изучать какие- либо явления с помощью моделирования, использовать идеи этого метода в повседневной жизни и работе. Решая математические задачи и понимая, что они представляют собой модели некоторых реальных объектов и процессов, учащиеся приобретут необходимые знания, навыки и умения, овладеют методом математического моделирования.
Исследователи считают, что моделирование – многофункционально. Оно используется самым различным образом для различных целей и на различных уровнях (этапах) исследования или преобразования. Многовековая практика использования моделей породила множество форм и типов моделей.
Классификация моделей исходит из наиболее существенных признаков объектов. В исследовательской литературе, которая посвящена философским аспектам моделирования, представлены разнообразные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей.
Л. М. Фридман предлагает классификацию моделей с точки зрения степени наглядности (все модели разбивает на два класса): а) материальные (вещественные, реальные); б) идеальные.
К материальным моделям относят такие, которые построены из каких- либо вещественных предметов, например из металла, дерева, стекла и других материалов. К таким моделям также относят и живые существа, которые используются для изучения некоторых явлений или процессов. Материальные модели делятся на статические (неподвижные) и динамические (действующие). К статистическим моделям Фридман относит те модели, которые геометрически подобны оригиналам. Такие модели передают только пространственные (геометрические) особенности оригиналов в определенном масштабе. К динамическим моделям он относит такие, которые воспроизводят какие-то процессы, явления. Такие модели могут быть физически подобны оригиналам и воспроизводить моделируемые явления в каком-то масштабе.
Идеальные модели подразделяются на: а) образные или иконические; б) знаковые или знаково-символические; в) мысленные или умственные.
К образным моделям, их также называют картинными, относятся рисунки, чертежи, схемы, которые передают в образной форме структуру или другие особенности моделируемых предметов или явлений.
Знаково-символические модели - запись структуры или некоторых особенностей моделируемых объектов с помощью знаков-символов какого- то искусственного языка, например, математического.
Мысленные, а также их называют воображаемые модели, которые дают представление о каком-либо явлении, процессе или предмете.
Данная классификация хороша тем, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели: а) практической (в качестве орудия и средства научного эксперимента); б) теоретической (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).
Л.М. Фридман выделяет следующие функции моделей в обучении : а) изучение научных моделей; б) построение и изучение моделей, для которых в соответствующих науках нет моделей или они неудобны для школы; в) построение модели – ориентировочной основы действия, то есть алгоритм выполнения данного действия, г) использование модели как средства обобщения знаний, как средства исследования изучаемого понятия и как средства планирования работы по изучению понятия, д) моделирование для лучшего запоминания материала, в котором можно выделить логическое и мнемоническое упорядочивание.
Функции моделей, которые выделяет А.Б. Воронцов : а) модели позволяют представить выделенное отношение изучаемого объекта в предметной, графической или знаковой форме; б) преобразование моделей – отношений создает условия для изучения их свойств в чистом виде; в) реализация моделей в системе частных задач формируют предметность учебного действия.
Терешин Н. А. выделяет такие дидактические функции моделирования:
1. Познавательная функция. Целью познавательной функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Такое формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.
2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование предметно и за счет этого облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. К ориентировочным действием можно отнести построение чертежа, который соответствует рассматриваемому условию, а также внести в него дополнительные элементы. Контролирующие действия направлены на то, чтобы обнаружить ошибки при сравнении выполненного чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.
3. Интерпретационная функция. Один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.
В своей диссертационной работе Муртазина Н.А. рассматривает следующие функции:
Демонстрационная функция. Исследователь (младший школьник) демонстрирует или фиксирует посредством модели данные, полученные в результате знакомства с текстом задачи. Благодаря этому он сможет отделить внешнюю структуру задачи (имеется в виду словесный образ, порядок слов и предложений) от внутренней структуры (основные данные, отношения и связи между ними), а также представить условие задачи не только как объект исследования, но и как объект конструирования.
Объяснительная функция. Исследователь уточняет свои представления об изученных ранее математических понятиях и взаимосвязях между ними. Это поможет снять зависимость младшего школьника от типа внешней структуры задачи и, как следствие, значительно расширит область задач, обычно решаемых в начальных классах.
Предсказательная функция. Исследователь аккумулирует и переоценивает полученные о задаче знания, используя условие задачи в качестве объекта конструирования и преобразования. Это создаст условия для поиска, с опорой на различные конструкции модели, возможных способов решения.
Эвристическая функция. В результате активной мыслительной и практической деятельности с моделью, исследователь открывает данные о задаче, недоступные ранее. Благодаря этому он сможет найти новые оригинальные пути решения. У младшего школьника появится также возможность обнаружить другие задачи в рамках изначального условия и решить их, что будет способствовать формированию у него общего умения решать задачи.
Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечений умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.
Модель, которая используется при обучении решению текстовых арифметических задач, является средством и учебным действием, выполняющим функции: а) инструмента, помогающего увидеть существенные отношения в объекте; б) наглядности, способствующей получению обобщенного способа действия и развитию операций мышления анализа, абстракции и обобщения.
3. Понятие задача и процесс ее решения в начальном курсе математики
С термином задача мы часто встречаемся в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. С давних времен изучается проблема решения задач. К ним относятся не только те задачи, с которыми человек сталкивается в процессе производственной или бытовой деятельности, но и математические задачи. Если рассматривать понятие задача в широком смысле слова, то понимается некоторая ситуация, которая требует разрешения или исследования. Но если рассматривать математические задачи, то их решение достигается с помощью математических средств и методов. Среди них выделяют задачи научные и учебные. Решение научных задач способствует развитию математики, а учебные задачи служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков, развивают логическое мышление и влияют на изменение качеств личности школьника. Понятие задача в начальном курсе математики имеет свою специфику. Традиционно сложилось так, что, говоря о решении задач в начальных классах, имеют в виду решение арифметических задач. В методической литературе эти понятия часто заменяются понятием текстовая задача. Существуют различные трактовки понятия текстовая задача.
Л.П. Стойлова и А.М. Пышкало понимают под текстовой задачей описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения.
М.А. Бантова говорит о том, что в окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, - это задачи.
М.И. Моро и А.М. Пышкало исходят из того, что задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.
М.В. Богданович считает, что арифметическая задача - это требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой.
Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий высказывают мнение, что любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней.
Н.Б. Истомина говорит о том, что в начальном курсе математики понятие задача обычно используется тогда, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами.
В.Л. Дрозд под текстовыми арифметическими задачами понимает задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий.
Н.В. Метельский дает такое определение: задача - понятие неопределяемое и в самом широком смысле слова означает то, что требует выполнения, решения. Иногда под задачей понимают упражнение, которое выполняется, решается посредством умозаключения, вычисления и т.п.
Любая текстовая задача состоит из двух частей - это условие и вопрос. Условие задачи - это числовое значение величин и существующая между ними зависимость, то есть количественная и качественная характеристика объектов задачи и отношения между ними. В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, которые характеризуют данные объекты, а также об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. В задаче чаще всего бывает не одно, а несколько условий, которые называют элементарными. Требования задачи (вопрос) - это указание на то, что нужно найти. Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их так же, как и условий может быть несколько.
Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу, в широком смысле этого слова - это значит раскрыть связи между данными, которые указаны в условии задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя эти общие положения, и получить ответ на требование задачи, или доказать невозможность его выполнения.
Термин решение задачи можно рассматривать с разных точек зрения: решение как результат, т. е. как ответ на вопрос, поставленный в задаче, и решение как процесс нахождения этого результата. Если вести речь о методике обучения решению задач, то на первый план выступает процесс нахождения результата, который тоже можно рассматривать с различных точек зрения, во-первых, как способ нахождения результата и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной способ.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится их решение.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.
Каждая задача - это единство условия и цели. Если нет одного из этих компонентов, то нет и задачи. Это очень важно иметь в виду, чтобы проводить анализ текста задачи с соблюдением такого единства. Это означает, что анализ условия задачи необходимо соотносить с вопросом задачи и, наоборот, вопрос задачи анализировать, соотнося с условием. Их нельзя разрывать, так как они составляют одно целое. Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включено в одно предложение с требованием задачи.
Ученые (А.Г. Асмолов , Л. П. Стойлова, Т.Е. Демидова и другие) выделяют разные этапы работы над задачей. Одни авторы предлагают подробные этапы решения задач, в отличие от других, которые предлагают более лаконичные, объединяя некоторые из них в один. Но суть процесса решения задачи от этого не меняется.
А.Г. Асмолов
Л. П. Стойлова, Т.Е. Демидова и др.
Анализ текста задачи
Анализ задачи
Перевод текста на язык математики с помощью вербальных и невербальных средств
Установление отношений между данными и вопросом
Поиск и составление плана решения задачи
Составление плана решения
Осуществление плана действий
Осуществление плана решения
Проверка и оценка решения задачи
Проверка решения задачи
Авторы считают, что анализ текста задачи является центральным компонентом решения задачи. На данном этапе ребенку необходимо выделить смысловые единицы текста и отношения между ними, а также условие и требование. Для этого ученику нужно уметь выделять в математическом тексте необходимую информацию и осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков. Кроме того, успешное прохождение этого этапа невозможно без знания математических понятий, так как школьнику нужно заменять термины их определениями (например, понимать смысл слов половина, за одно и то же время) и выводить следствия из условий задачи, работать с величинами.
Следующий этап - поиск и составление плана решения задачи. Данный этап требует рассуждений, но если их осуществлять устно, то у некоторых детей не сформируется умения искать план решения задачи. Для этого нужны приемы графической фиксации подобных рассуждений, такие как таблица, схема, символический рисунок, чертеж.
Сущность следующего этапа Осуществление плана действий (в виде последовательных конкретных действий или в виде выражения) заключается в нахождении ответа на требование задачи и подразумевает умение школьника работать с планом.
Последний этап - проверка и оценка решения задачи. Цель этапа - осуществление контроля по результату. Для осуществления контроля можно использовать прием составления задачи, обратной данной. В тех случаях, когда задача имеет несколько способов решения можно решить задачу другим способом и выбрать наиболее рациональный.
Предметная или графическая модель будет связующим звеном между первым и вторым этапами, так как является формой фиксации анализа текста задачи и в то же время средством поиска плана ее решения.
4.Моделирование в процессе решения задач
Анализируя процесс решения математических задач, Ю.М.Колягин (Юрий Михайлович Колягин — российский математик-педагог, член-корреспондент Академии педагогических наук СССР, академик Российской академии образования, заслуженный учитель, заслуженный деятель науки РФ.) представляет умение решать задачи как сложный комплекс ряда умений:
1) умение анализировать ситуацию, предложенную в задаче;
2) умение соотносить данные величины с искомыми, распознавать данные элементы в различных сочетаниях;
3) умение выявлять скрытые свойства задачной ситуации, создавать новые комбинации известных понятий и фактов, относящихся к элементам данной задачи, соотнося их с ее условием и целью;
4) умение конструировать простейшие математические модели данной ситуации (графическое, схематическое изображение задачи);
5) умение интерпретировать результаты работы над моделью данной задачной ситуации;
6) умение оформлять найденное решение задачи кратко и четко (символически, текстом, графически); наглядно иллюстрировать ведущие идеи;
7) умение оценивать результаты решения задачи с разных точек зрения (правильность, эстетичность, значимость и пр.); обобщать результаты решения;
8) умение эффективно осуществлять отбор полезной информации, содержащийся в самой задаче и в процессе ее решения; систематизировать эту информацию, соотнося ее с имеющимися знаниями и опытом.
Психологи и математики рассматривают процесс решения задачи как процесс поиска системы моделей. Так, С.Л.Рубинштейн (Серге́й Леони́дович Рубинште́йн — советский психолог и философ, член-корреспондент Академии наук СССР. Автор фундаментальных учебников для университетов) рассматривает процесс решение задач как процесс переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения. Так как решение задачи происходит путем построения ее различных моделей можно говорить о том, что модель является основным средством, а моделирование основным методом решения задач.
Необходимость овладения моделированием в виде учебного действия диктуется не только его значимостью в качестве средства познания, но и психолого-педагогическими требованиями в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), теорией учебной деятельности (В.В.Давыдов, Л.М.Фридман).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и другие. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от вербальной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисункам и так далее), а от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.
Прием математического моделирования при решении задач позволяет научить школьников:
1) предварительному анализу материала;
2) переводу словесной информации в модель;
3) преобразованию модели;
4) соотнесению результатов с реальностью (текстом).
Целью действия анализа является выявление общего смысла текста, описывающего реальность, которую нужно представить в виде модели, выделить в нем смысловые части, переформулировать их таким образом, чтобы стал возможен перевод на язык графических средств. За счет использования графических средств анализ приводит к выделению в задаче элементов, существенных для ее решения. В рамках деятельности моделирования анализ является подготовительным этапом, но имеет более широкое значение в действии преобразования и соотнесения результатов с реальностью.
Целью действия перевода является представление словесной информации в графической форме, а именно: выделение в задаче или тексте отрезков, смысл которых может быть формализован или передан на языке графики и формул, и запись на языке графики или формул выделенной информации. Иногда выполнение действия перевода и построения модели становится достаточным средством решения задачи. Однако в большинстве случаев, чтобы превратить модель в средство анализа или решения, необходимо ее преобразовать, переструктурировать модель, дополнив ее недостающими элементами. Учащиеся после решения задачи проверяют свои ответы для доказательства того, что полученные результаты удовлетворяют требованиям и условию задачи. Особую роль при проверке ответов решения задачи выполняет моделирование, которое не столько выявляет правильность ответа, сколько соотнесение данных, полученных на модели, с действительностью или ее описанием в тексте.
Таким образом, использование модели при решении задач обеспечивает качественный анализ задач, осознанный поиск их решения, обоснованный выбор арифметического действия, рациональный способ решения и предупреждает многие ошибки в решении задач учащимися. Модель задачи может быть применена и для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает выявить условия, при которых задача имеет решение или не имеет; выяснить, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин; помогает обобщить теоретические знания; развивает самостоятельность и вариативность мышления. Значит, модель - это то средство и учебное действие, без которого невозможно полноценное обучение.
Л.М. Фридман пишет: Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть. И, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.
II. Опытно-экспериментальная работа по формированию умения решать задачи на движение с использованием моделирования
Констатирующий эксперимент
Для определения уровня сформированности умения решать текстовые задачи на движение до начала опытного обучения, мы провели диагностическую работу, которая проводилась в двух классах: в 4 А муниципального автономного общеобразовательного учреждения города Ульяновска "Физико-математический лицей № 38" и в 4 Б муниципального автономного общеобразовательного учреждения города Ульяновска "Физико-математический лицей № 38"
Во время эксперимента в 4 А классе присутствовало 18 человек, а в 4 Б - 24 человека.
Цель - выявить сформированность умения решать задачи на движение и проверить, используют ли при этом учащиеся прием моделирования.
Учащимся было предложено решить две задачи:
1. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?
2. Две девочки одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 420 м. Когда они встретились, первая пробежала на 60 м больше, чем вторая. С какой скоростью бежала каждая девочка, если они встретились через 30 с?
На выполнение задания было отведено 20 минут. По истечению отведенного времени, работы учеников были собраны для дальнейшей обработки.
Результаты решения задач 4 А класса на констатирующем этапе представлены на диаграмме: Из 18 человек с работой справились 11 учащихся, причём схемой воспользовались только 8 учеников, не справились 7 учащихся.
Результат, показанный учащимися 4 Б класса оказался более высоким. Из 24 учащихся справились с работой 16, 12 из них использовали схему. Не справились 8 учащихся.
После обработки полученных данных можно сделать вывод, что большая часть учеников класса показала результат ниже среднего, что свидетельствует о низком уровне сформированности умения как решать задачи, так и строить и использовать схемы в ходе их решения.
Анализ допущенных ошибок, как в решении задач, так и построении моделей, позволил выделить основные направления дальнейшей работы по формированию умения решать задачи на движение, используя прием моделирования.
Формирующий эксперимент
Цель данного эксперимента: формирование умения решать задачи с использованием приема моделирования.
Опытное обучение проводилось в экспериментальном классе на уроках математики на протяжении месяца, с 21 марта по 18 апреля, по четыре урока в неделю по учебнику математики для 4 класса (авт. Л.Г.Петерсон). В дополнение к заданиям учебника были подобраны упражнения направленные на работу с моделями с применением методических приемов сравнения, выбора, преобразования и конструирования.
Охарактеризуем их ниже.
Методический прием сравнения.
Этот прием используется для приобретения опыта математического анализа текстов учебных заданий. Сравнение - важный способ перехода от созерцания к абстрактному мышлению. Этот переход осуществляется путем установления соотношений между предметными, вербальными, графическими и символическими моделями. Прием сравнения способствует детей к быстрому усвоению материала, выполнению различных математических упражнений и решению задач. Необходимо научить детей выделять признаки и свойства у объектов, устанавливать сходство и различие между признаками, выделять основания для сравнения, причем работа должна вестись целенаправленно, из урока в урок, во взаимосвязи с формированием других умственных приемов. Показателем сформированности приема сравнения является самостоятельное применение его для решения различных задач, без указаний: сравни..., укажи признаки..., в чем сходство и различие....
Методический прием выбора.
Данный прием используется для формирования у младших школьников умения объяснить свои суждения, используя для этого математическое содержание задания. Этот прием позволяет осознать сущность формируемых понятий, общих способов действий и содержательную зависимость между ними. Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений, для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.
Методический прием преобразования.
Этот прием лежит в основе осознания причинно-следственных связей между изучаемыми понятиями и обобщенными способами действий, способствует формированию умения выполнять различные видоизменения числового и буквенного материала. Действия учеников в ходе выполнения соответствующих заданий направляются в основном указанием: измени …, представь …, замени … и другие. Например, учащимся дается задача, им нужно изменить вопрос задачи так, чтобы она решалась в одно действие.
Методический прием конструирования.
Благодаря этому приему у учащихся формируются не только умения самостоятельно устанавливать соответствия между предметными, графическими и символическими моделями, преобразовывать их в математические, но и переносить усвоенные знания, умения и навыки на область новых знаний. Конструирование заданий включает учащихся в поисковую деятельность и тем самым создает условия для развития их мышления. Действия учеников в ходе выполнения заданий направляются в основном указанием поставь …, составь …, подумай …, подбери … и другие.
Всего было проведено 16 уроков. Первые три урока были направлены на:
- выбор моделей, соответствующих тексту задачи;
- выбор условия к вопросу данной задачи;
- выбор выражений к данной задаче.
Следующие три урока были направлены на:
- преобразование текстов задач;
- преобразование схематической модели в таблицу
- самостоятельное составление задач (с последующим их решением).
Последние десять уроков были отведены самостоятельному построению схем, графиков и таблиц к задачам и их решению.
Ниже приведены задания, выступающие средством организации учебной деятельности младших школьников при решении задач на движение с использованием моделей.
Первая группа упражнений направлена на овладение таким приемом, как выбор схемы к задаче. В процессе выбора схемы, соответствующей тексту задачи, ученик анализирует каждую из них, соотносит числовые данные со схемой, в результате чего у учащихся формируется умение переводить вербальную (текстовую) модель в схематическую. Приведем примеры.
Группа упражнений направлена на пояснение выражения на основе таблицы.
Таблица является вспомогательной моделью задачи, она служит формой фиксации анализа текстовой задачи и является основным средством поиска плана ее решения.
S
V
t
машина
240 км
80 км/ч
4 ч
мотоцикл
60 км/ч
мотороллер
Пользуясь таблицей, вставь пропущенные числа.
1. Машина проехала 240 км за ……. часа.
2. Мотоцикл был в пути ……. часа.
3. Мотоцикл проехал ……. км.
4. Мотороллер за 4 час проехал …… км.
5. Скорость мотороллера …… км/ч.
6. Скорость мотоцикла меньше скорости машины на …… км/ч.
7. Скорость мотоцикла больше скорости мотороллера на ……. км/ч.
8. Машина проехала на …… км больше, чем мотороллер.
9. Мотороллер был в пути на …… ч больше, чем мотоцикл.
Приведем еще один пример работы с таблицей.
Прочитай задачу и заполни таблицу. Геологи 2 часа летели на вертолете со скоростью 90 км/ч, затем 3 часа ехали на лошадях со скоростью 12 км/ч. Остальную часть пути они прошли пешком со скоростью 3 км/ч. Сколько времени геологи шли пешком, если весь путь составил 222 км?
Расстояние S
Скорость V
Время t
На вертолёте
На лошадях
Пешком
В результате подобной работы у школьника формируется осмысленное отношение к моделированию, в котором он как исследователь играет главную роль, выбирая средство для построения модели, определяя цель применения и интерпретируя результаты изучения модели.
Приведем фрагметы уроков, которые были даны на этапе опытного обучения.
Задача 1:
Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч и автомобиль. Найдите скорость автомобиля, если он догнал велосипедиста через 12 мин?
- Прочитаем задачу.
- Что известно в задаче? (Что из двух пунктов одновременно в одном направлении выехал велосипедист и автомобиль)
-Правильно, а что еще нам известно? (Что расстояние между пунктами 40 км, а еще нам изестна скорость велосипедиста - 10 км/ч и автомобиль догнал велосипедиста через 12 минут)
- Верно. Давайте составим чертеж к задачи и отметим все известные нам данные.
- Ребята, а что нужно узнать в задаче? (Скорость автомобиля)
- А мы можем сразу ее найти? (Нет)
- Почему? (Мы не знаем какое расстояние проехал велосипедист за 10 минут)
- А можем это узнать? (Да)
- Как? (Скорость умножить на время)
- Когда мы узнали расстояние велосипедиста, которое он проехал за 10 минут, мы можем ответить на главный вопрос задачи? (Нет)
- Почему, что же нам еще нужно знать? (Нам нужно узнать путь, который проехал автобус)
- А как мы это узнаем? (К расстоянию между пунктами нужно прибавим тот путь, который проехал велосипедист за 10 минут)
- Можем теперь ответить на вопрос задачи? (Да)
- Как? (Надо весь путь, который проехал автомобиль разделить на время)
- Верно. Итак, во сколько действий решается задача? (В 3 действия)
- Записываем решение:
1) 10 • 12 = 120 (км) - проехал велосипедист за 10 минут
2) 120 + 40 = 160 (км) - проехал автомобиль до того, как догнал велосипедиста
3) 160 : 10 = 16 (км/ч)
Ответ: скорость автомобиля 16 км/ч Задача 2:
Автомобилист за 6 часов проезжает 540 км, а велосипедист за это же время проезжает 72 км. Во сколько раз скорость автомобилиста больше скорости велосипедиста?
- Прочитаем задачу.
- Что известно в задаче? (известен путь автомобилиста и велосипедиста и время, за которое они проезжают этот путь)
-Правильно, что нужно найти в задаче? (Во сколько раз скорость автомобилиста больше скорости велосипедиста)
- Верно. Давайте составим таблицу к задаче и отметим все известные и неизвестные нам данные.
S
V
t
Автомобилист
540 км
? км/ч
6 ч
Велосипедист
54 км
? км/ч
6 ч
Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Нам нужно найти скорость автомобилиста и скорость велосипедиста, а потом скорость автомобилиста разделить на скорость велосипедиста)
- Как мы найдем скорость автомобилиста и велосипедиста? (Нужно путь разделить на время)
- Верно. Во сколько действий решается задача? (В 3 действия)
- Запишем решение задачи:
1) 540 : 6 = 90 (км/ч) - скорость автомобилиста
2) 54 : 6 = 9 (км/ч) - скорость велосипедиста
3) 90 : 9 = 10 (раз)
Ответ: скорость автомобилиста в 10 раз больше скорости велосипедиста.
Использование метода моделирования при решении задач на движение способствует сознательному и прочному усвоению материала.
Модели помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач. Моделирование наглядно представляет соотношения между данными и искомыми величинами.
3. Контрольный эксперимент
Завершив опытное обучение, мы провели контрольную работу, для того, чтобы выяснить, научились ли ученики строить модели, стали ли они чаще использовать моделирование на этапе поиска решения задачи и повлияло ли умение моделировать на сформированность умения решать задачи на движение.
Учащимся были предложены 2 задачи со следующими формулировками:
1) Реши задачу:
Со станции выехал автомобиль со скорость 60 км/ч. Через два часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 72 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первого?
При необходимости сделай рисунок, таблицу или схему.
2) Построй модель (рисунок, таблицу или схему) и, используя ее, реши задачу:
Скорость вертолета в 5 раз больше скорости автомашины. Вертолет за 2 часа пролетел на 480 км больше, чем машина проехала за это же время. Найти скорость вертолета.
Отметим, что подбор задач не был случаен. В определенном смысле они были аналогичны задачам, предъявленным детям во время констатирующего эксперимента. Первую из них можно отнести к задачам на движение двух объектов в одном направлении из одного и того же пункта с той лишь разницей, что объекты начинают движение в разное время. Вторую задачу на движение нельзя отнести к какому-то определенному типу, но важным здесь является тот факт, что построение схематического рисунка в данном случае может оказать ученику существенную помощь в поиске ее решения.
В 4 Б классе (экспериментальном) писали работу -22 человека, а в 4 А классе (контрольном) - 21 человек.
На выполнение задания было отведено 20 минут. По истечению отведенного времени работы учеников были собраны для дальнейшей обработки.
С первой задачей в экспериментальном классе справились все 22 человека. Каждый из них приступил к построению схемы, правильно показал на ней направление движения автомобилей, но не завершил схему, не отметив точку, в которой автомобиль (выехавший ранее) будет находиться через 2 часа (не учтено условие, что движение начато в разное время).
Тем не менее, это не помешало всем ученикам решить задачу верно. По нашему мнению это свидетельствует о том, что, скорее всего, они исходили в решении из типологии данной задачи, и схема не имела для них существенного значения на этапе поиска решения, поэтому мы считали, что задача была решена без использования модели.
Со второй задачей из 22 человек справилось 14 человек, при этом 12 из них, воспользовались схематическим моделированием. Следует отметить, что все учащиеся, которые построили схему, решили задачу верно, так же, как и то, что без построения модели успеха добились только 2 человека.
Из оставшихся 8 человек, которые не решили задачу, 5 все же приступили к построению модели, хотя и не завершили этот процесс, т.к. моделировали только одно из двух отношений, указанных в условии задачи.
Приведем ниже решение задачи №2.
1) 480 : 2 = 240 (км) - (на сколько км больше пролетел вертолет за 1 час).
Это действие выполнили почти все дети, но добились успеха те из них, кто сумел интерпретировать полученное данное иначе и понять, что фактически в первом действии мы узнали, на сколько больше скорость вертолета, чем скорость автомобиля (т.е. что 240 км/час - это разность в скоростях вертолета и автомобиля). Это позволило им в дальнейшем построить модель, где они отразили оба отношения: скорость вертолета на 240 км/час больше, чем скорость автомашины и скорость вертолета в 5 раз больше скорости автомашины, и, ориентируясь на ее, смогли выполнить последующие действия.
2) 240 : 4 = 60(км/ч)-скорость автомобиля.
3) 60 • 5 = 300(км/ч)-скорость вертолета.
В контрольном классе результаты решения первой задачи также оказались высокими. Из 21 учащегося с первой задачей справилось 16 человек, причем 12 из них использовали схему и только 3 человек выполнили построение верно, остальные не завершили схему, не отметив точку, в которой автомобиль (выехавший ранее) будет находиться через 2 часа (не учтено условие, что движение начато в разное время).
5 человек из 21 допустили ошибки в вычислениях, хотя ход решения был верным.
Со второй задачей справилось 10 человек (из 21 учащегося), причем 7 из них, использовали схему в процессе решения задачи. Следует также отметить и тот факт, что были еще 2 ученика, которые решали задачу через моделирование, построили схему верно, но в ходе решения допустили ошибки в вычислениях.
Проанализировав данные результаты, можно сделать вывод, что экспериментальный класс выполнил работу лучше, чем контрольный. Дети в большинстве своем использовали модели при решении задач. Сравнивая 4 Б и 4 А, можно сказать, что в 4 Б классе все дети справились с решением первой задачи. Со второй задачей оба класса справились практически одинаково.
Сравнительные результаты, показанные учащимися обоих классов при решении задач, отражены в диаграмме.
Заключение
На основе анализа психолого-педагогической литературы нами были раскрыты понятия модель и моделирование, рассмотрены классификации и функции моделей, описаны такие понятия, как задача и процесс ее решения, показана роль моделирования на различных этапах решения текстовых задач. Все это позволило сделать вывод о том, что:
- уже в младшем школьном возрасте учащиеся способны выполнять действия моделирования с целью исследования изучаемого объекта, поэтому целесообразно использовать моделирование в практике начальной школы;
- модель помогает увидеть задачу в целом, уточнить содержание отношений между данными и искомым, а также ясно представить отношения, скрытые в реальной ситуации.
- процесс моделирования носит характер внутренней активности субъекта, т.е. предполагает активное включение учащегося в мыслительную и практическую деятельность при работе с моделями;
- представляя текстовую задачу в качестве объекта познания, нужно организовать деятельность учащихся таким образом, чтобы модель реализовала все свои познавательные функции, обеспечив эффективность процесса познания на каждом этапе работы с задачей.
В соответствии с научными положениями в нашем исследовании мы выдвинули гипотезу о том, что моделирование может быть эффективным средством обучения решению задач на движение, если:
- систематически и целенаправленно использовать модели в процессе обучения;
- устанавливать соответствие между различными видами моделей (предметными, схематическими, символическими);
- учить детей конструировать и преобразовывать модели.
Результаты, полученные после проведенного опытного обучения, показали, что уровень умения решать арифметические задачи через приемы моделирования в классе повысился. Если в начале обучения преобладал низкий уровень сформированности умений моделировать и решать задачи, то в конце обучения мы наблюдали увеличение числа детей, успешно применяющих моделирование при решении задач на движение, хотя и не такое значительное, в виду краткосрочности эксперимента.
Таким образом, результаты опытного обучения подтвердили выдвинутую нами гипотезу о том, что при определенных условиях организации учебной деятельности на уроках математики, моделирование может выступать в качестве эффективного средства формирования умения решать арифметические задачи.
Список использованной литературы
1.АсмоловА.Г. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли. - М.: Просвещение, 2008. - 151 с.
2. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: Просвещение, 1984. - 335 с.
3. Белошистая А.В. Моделирование как основа построения курса Математика и конструирование в начальных классах: Дис. к. п. н. - М., 1992. - 168 с.
4. Белошистая А.В. Прием графического моделирования при обучении решению задач // Начальная школа. - №8. - 2006. - С. 36-39.
5. Богданович М.В. Методика решения задач в начальной школе. - К.: Высшая шк., 1990. - 104 с.
6. Бондаренко С. М. Учите детей сравнивать. - М.: Знание, 1981. - 96 с.
7. Бородулько М.А., Стойлова Л.Г. Обучение решению задач и моделирование // Начальная школа. - № 8. - 2008.- С. 26-32.
8. Воронцов А. Б. Практика развивающего обучения по системе Д. Б. Эльконина - В. В. Давыдова. - М.: Развитие личности, 1988. - 360 с.
9. Гальперин П.Я. Введение в психологию: Учебное пособие для вузов. - М.: Книжный дом "Университет", 2002. - 336с.
10. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. Сб. Исследования мышления в советской психологии, М.: Наука, 1966. - С. 236-277.
11. Глинский Б. А. Моделирование как метод научного исследования. - М., 1965. - 248 с.
12. Грес П. В. Математика для гуманитариев. - М.: Логос, 2004. - 160 с.
13. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: ИНТОР, 1996. - 544с.
14. Давыдов В.В., Варданян А.У. Учебная деятельность и моделирование. Ереван: Луйс, 1981. - 220 с.
15. Демидова Т.Е. Теория и практика решения текстовых задач. - М.: Академия, 2002. - 288 с.
16. Дрозд В.Л., Урбан М.А. Задачник-практикум по решению арифметических задач. - Минск, 1991. - 64 с.
17. Зайцева С.А., Румянцева И. Б., Целищева И. И. Методика обучения математике в начальной школе.- М: Гуманитар.Изд. центр Владос, 2008-192с.
18. Занков Л.В. Наглядность и активизация учащихся в обучении. М., Учпедгиз, 1960. - 311 с.
19. Истомина Н. Б., Редько 3. Б. Учимся решать задачи. Тетрадь по математике для 4-го класса. - М.: Линка-Пресс, 2012. - 80 с.
20. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение. - Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009. - 288 с.
21. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. - М.: Академия, 1998. - 265 с.
22. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение, 1977. - 147 с.
23. Комарова О.Н. Работа по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности на уроках математики // Начальное образование. - № 5. - 2005. - С.39-42.
24. Кустова И.Л. Математика 1 - 4 классы: обучение решению текстовых задач. - Волгоград, 2009. - 103 с.
25. Малкова И. А., Фридман Е. М., Салахова Г. Н., Мизинцев В. П. Моделирование и модели в деятельности учителя и ученика: Методическое пособие. - Южно-Сахалинск: РИО Сах. обл. ИУУ, 1999. - 32 с.
26. Малыхина В.В. Методика формирования у младших школьников умения решать текстовые задачи в системе развивающего обучения. Дис. к. п. н. - М, 1996. - 140 с.
27. Мамыкина М.Ю. Работа над задачей // Начальная школа. - №4. - 2009. - С. 43-48
28. Мендыгалиева А.К. Методические приемы при обучении решению задач в начальной школе// Начальная школа плюс До и После. - №10. - 2013. - С.43-47.
29. Метельский Н.В. Дидактика математики: общая методика и ее проблемы. - М.: Изд-во БГУ, 1982. - 256 с.
30. Методика начального обучения математике./ Под редакцией Л. Н. Скаткина. - М.: 2004. - 358 с.
31. Моро М.И., Пышкало А.М.. Методика обучения математике в 1-3 классах. - М.: Просвещение, 1975. - 304 с.
32. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. - М.: Мысль, 1969. - 212 с.
33. Муртазина Н. А. Схематические модели как средство обучения младших школьников решению задач различными способами. Дис. к. п. н. - М., 2001. - 168 c.
34. Непомнящая Н. И. Педагогический анализ и конструирование способов решения учебных задач. - М.: Педагогика, 1993. - 175 с.
35. Попова Е.А. Работа с таблицами при обучении младших школьников решению задач на процессы // Начальная школа. - № 10. - 2009. - С. 42-46
36. Потоцкий М.В. Что изучается в курсе математического анализа. - М.: Просвещение, 1965. - 88 с.
37. Рубинштейн С.Л. Процесс мышления и закономерности анализа, синтеза и обобщения. - М.: Знание, 1960. - 158 с.
38. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.
39. Сборник программ для четырехлетней начальной школы / система Л.В.Занкова - М.: Учебная литература, 2004. - 208 с.
40. Сичивица О. М. Методы и формы научного познания. - М., Высшая школа, 1993. - 95 с.
41. Скаткин Л.Н. Обучение решению простых и составных арифметических задач. М.: 2004. - 183 с.
42. Скворцова М. Математическое моделирование. - № 14. - 2003. - С.1-4.
43. Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студентов высших пед. учеб. заведений. - М.: Академия, 2007. - 432 с.
44. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. - М.: Просвещение, 1988. - 320 с.
45. Столяр А.А. Математика. - Минск: Вышэйшая школа, 1975. - 261 с.
46. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. - М.: Знание, 1983. - 95 с.
47. Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики. - М.: Просвещение, 1990. - 96 с.
48. Уемов А. И. Логические основы метода моделирования. М.: Просвещение, 1996. - 311 с.
49. Философский словарь / Под ред. И. Т. Фролова. 7-е изд. М.: Республика, 2001. - 719 с.
50. Фридман Л. М. как научиться решать задачи: пособие для учащихся - М.: Просвещение, 1984. - 68 с.
51. Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в обучении. - М.: Знание, 1984. - 80 с.
52. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике - М.: Книжный дом Либроком, 2014. - 248 с.
53. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.
54. Царева С.Е. Обучение решению текстовых задач, ориентированное на формирование учебной деятельности младших школьников. Новосибирск: Изд-во НГПУ, 1998. - 135 с.
55. Царева С.Е. Формирование учебной деятельности младших школьников при обучении решению задач: Автореферат на соиск. учен. степ. к. п. н. М., 1975. - 136 с.
56. Целищева И.И. Моделирование в процессе решения текстовых задач // Начальная школа - № 3. - 1996. - С.32- 37.
57. Шикова Р.Н. Использование моделирования в процессе обучения текстовых задач // Начальная школа. - № 12. - 2004. - С.54-58.