Балханов Василий Карлович "Описание физики черных дыр квазиклассической квантовой механикой"

Description of black hole physics by quasi-classical quantum mechanics

Vasiliy K. Balkhanov - Dr.

Institute of Physical Materials Science of the Siberian Branch

of the Russian Academy of Sciences, Ulan-Ude City, Russia

Email: ballar@yandex.ru

Abstract: Most of the relationships describing black hole physics can be obtained using quasi-classical quantum mechanics. Such values include the temperature of black holes, its entropy and luminosity. It is shown that to obtain these quantities it is enough to use the uncertainty principles of Bohr, Heisenberg and quantum tunneling in a quasiclassical approximation. A formula is proposed for the amount of information in a black hole proportional to the ratio of the radius of the black hole to the Planck unit of length.

Key words: quasiclassics, temperature, entropy, luminosity, information.

 

Описание физики черных дыр квазиклассической квантовой механикой

В.К. Балханов – кандидат технических наук

Институт физического материаловедения СО РАН

670047 Улан-Удэ, Россия

E-mail: ballar@yandex.ru

Аннотация: Большинство соотношений, описывающих физику черных дыр, можно получить, используя квазиклассическую квантовую механику. К таким величинам относятся температура черных дыр, ее энтропия и светимость. Показано, что для получения указанных величин достаточно использовать принципы неопределенности Бора, Гейзенберга и квантовое туннелирование в квазиклассическом приближении. Предложена формулу для количества информации в черной дыре, пропорциональной отношению радиуса черной дыры к планковской единице длины.

Ключевые слова: квазиклассика, температура, энтропия, светимость, информация.

 

Астрофизика должна входить

в общеобразовательный минимум

каждого современного физика.

академик Я.Б.Зельдович

 

Введение

О черных дырах, и вообще о Вселенной, регулярно сообщают в СМИ и интернете. Хочешь, не хочешь, а заинтересуешься физикой черных дыр. Но современная физика с ее сложнейшим математическим аппаратом настолько изощрена, что только на изучение этого можно потратить всю свою жизнь. Но, оказывается, многое можно понять и вычислить, зная только основы квантовой механик: принципы неопределенности и квантовое туннелирование. Многое исследователь может узнать из интернета, где разрозненные сведения разбросаны там и сям. Автору удалось как-то все это вычислить самостоятельно. Прежде чем переходить к таким вычислениям, качественно расскажем об Общей теории относительности.

Студент убеждает преподавателя –

вчера знал, как выводить уравнение, а сегодня забыл.

Преподаватель – ай-я-я. Единственный кто знал,

как выводить это уравнение, и то забыл!

 

Общая теория относительности Альберта Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна не выводятся, а угадываются.

К 1915 г. Альберт Эйнштейн, после десяти лет упорного труда, установил, что движение тел в гравитационном поле происходит в криволинейных 4-х мерных пространственно-временных координатах. И такое движение описываются 10-ю нелинейными уравнениями. Эти уравнения можно угадать тремя независимыми способами.

В гидродинамике популярна так называемая “длинная производная”, которая позволяет переходить от лагранжевых координат, описывающие течение жидкости в координатах, “привязанные” к жидкости (сидя в лодке), к эйлеровым переменным, которые описывают течение в неподвижной системе координат (находясь на берегу). В тензорном анализе аналогичную роль играет “ковариантная производная”, которая позволяет различать инерциальные (т.е. в отсутствие гравитационного поля) и неинерциальные (т.е. в присутствие поля тяготения) 4-х мерные координаты. Основными математическими величинами в 4-х мерных координатах являются тензор кривизны Римана и метрический тензор. Эйнштейн установил, что некоторая комбинация от этих тензоров, которую часто так и называют – тензор Эйнштейна, обладает математическим свойством – ковариантная производная от нее равна нулю. В физике очень употребительны законы сохранения, самыми важными из которых являются законы сохранения энергии и импульса. В 4-х мерных координатах из них составляют 4-х мерный тензор энергии-импульса. Так вот, ковариантная производная от нее также равна нулю. Теперь, если ввести некоторую постоянную (которая так и называется – постоянная Эйнштейна), то эти два нуля можно приравнять! Так угадывают первым способом уравнения Эйнштейна.

Второй способ требует уже присутствие двух наблюдателей. Один их них сидит дома (которого часто зовут Вася), и созерцает Мир декартовыми прямолинейными координатами. Другой любопытный наблюдатель (Петя), носится по Вселенной, и описывает окружающий Мир криволинейными координатами. Теперь, проведя аккуратно математические преобразования, можно перейти от декартовых координат к криволинейным. В ходе таких математических преобразований, попутно можно получить и уравнения Эйнштейна!

Все законы физики можно получить из принципа наименьшего действия, когда вариация от 4-х мерного интеграла с лагранжианом подынтегральной функции, равна нулю. Как установил Давид Гильберт, для учета наличия гравитационного поля, к лагранжиану аддитивно надо добавить тензор кривизны Рихарда Римана. Проведя аккуратно вариацию такого 4-х мерного интеграла, можно получить уравнения Эйнштейна. Это будет третий способ угадывания основных уравнений, описывающий Мир с гравитационным полем.

Имея дело с 10 нелинейными уравнениями, Эйнштейн их сначала решал приближенными методами (так всегда, в общем – то, делают все физики, столкнувшись с новыми уравнениями). Но практически сразу Карл Шварцшильд смог решить их точно в случае пустого пространства, когда источником гравитационного поля является сферически симметричное тело. Для физиков открылось огромное поле деятельности! Перед ними открылась вся Вселенная! Каждому нашлось дело. Сиди дома, и “копайся” в нелинейных уравнениях. Однако, чуть позже, выяснилось, что движение тел в гравитационном поле можно описывать и законами Ньютона, лишь бы распределение материи, как источника поля тяготения, было сферически симметричным (Милн, 1934). Например, так можно получить уравнения Фридмана (см. книги по астрофизике Я.Б.Зельдовича (например, [1]); ну, или, смотрите в интернете).

Теперь физики, срочно переквалифицировавшись в астрофизиков, используя недавно созданную квантовую механику, стали создавать модели образования галактик, звезд и планет. Со временем выяснилось, что если бы Солнце, после своей звездной эволюции, внезапно уменьшилась до размера примерно в 3 км, то она превратилась бы в черную дыру. И такой конец ожидают все тяжелые звезды (т.е. звезды массой больше трех масс Солнца. Поэтому, в качестве примера, для вычислений и оценок, обычно берут звезду с пятью массами Солнца, и говорят о звездоподобной черной дыре) и, тем более, галактики. Если бы мы были слепыми, то замену Солнца черной дырой мы бы и не заметили! В солнечной системе все планеты так же вращались бы вокруг новой черной дыры. Такая динамика окружающего вещества связана с тем, что гравитационное поле зависит только от массы источника, т.е. галактики, звезды, коллапсара и черные дыры. Эйнштейн это назвал принципом эквивалентности – независимость движения тела в гравитационном поле от массы самого тела (вспомните его мысленный эксперимент пассажира в лифте!). Хотя и этот принцип ограничен. Необходимо, чтобы масса тела была заметно меньше массы источника гравитационного поля. Интересно, что этот принцип и помог Эйнштейну создать Общую теорию относительности.

Отставить разговоры!
Вперёд и вверх, а там…
Ведь это наши горы —
Они помогут нам!
Они…помогут нам!

В.С.Высоцкий

 

Размер черной дыры. Горизонт событий. Голографический принцип

Рекомендую книгу [2].

Чтобы тело покинуло гравитационное притяжение звезды, оно должно иметь определенную скорость. Ее обычно называют второй космической скоростью. Используя классическую механику (как мы уже знаем, это возможно в случае сферически симметричной задаче), имеем потенциальную энергию тела массой m вблизи гравитирующего тела массой M. Здесь - гравитационная постоянная Ньютона (в СИ ). Вдалеке от этой массы, наше тело в свободном состоянии имеет только кинетическую энергию , с радиальной скоростью v. Приравнивая эти обе энергии, сокращая массу тела m, находим вторую космическую скорость:

. (1)

Для Земли она равна 11.2 км/с.

Теперь можно найти, какого размера должна быть гравитирующая масса M, чтобы наше тело приобрела скорость света. Приравнивая , находим

. (2)

Из вывода понятно, что если гравитирующее тело имеет размер R, то любое тело с ненулевой массой не сможет улететь от него в свободный полет. Эту же задачу можно рассмотреть, используя метрику Шварцшильда, и выяснить, что от гравитирующего тела с размером (2) не сможет улететь и луч света. Таким образом, если звезда массой M имеет размер R, то от нее никто и ни что не сможет улететь, “вырваться” из “лап” такой чудовищной звезды. Ее называют черной дырой, и таких звезд во Вселенной уйма.

Поскольку множитель <Object: word/embeddings/oleObject1.bin> является постоянной, то соотношение (2) устанавливает линейную связь между радиусом и массой черной дыры: чем больше масса черной дыры, тем больше ее радиус (вдвое тяжелая черная дыра имеет двое больший радиус). Согласно (2), все величины, относящиеся к физике черной дыры, можно выразить либо через гравитационный радиус, либо через массу черной дыры. Как это принято в литературе, везде, где это возможно, все величины будем выражать через массу черной дыры.

Граница черной дыры, ее поверхность, является самым интригующей из всех ее характеристик. Из нее ничего не может вылететь, тем более, информация, поэтому ее называют горизонтом событий. Площадь поверхности горизонта событий находится обычным образом:

. (3)

Все что находится вне его, будет внешним пространством. Область внутри горизонта событий, будет внутренним пространством черной дыры. Все, что попадает внутрь этого горизонта, для внешнего наблюдателя пропадает навсегда. Космонавт, наш Петя, подлетев к черной дыре, безо всяких проблем пересечет ее, ничего не заметив. Из-за чудовищной гравитации горизонт событий является идеально гладкой, математической фикцией, не обладающей твердой коркой, на которой можно было бы стоять.

Исследование внутреннего пространства черной дыры в настоящее время представляется невозможным, поэтому судить о том, что там происходит, физики вынуждены по ее поверхности. Для этого Р.Пенроуз предложил голографический принцип - внутренняя структура черной дыры полностью отражается ее горизонтом событий. Горизонт событий обладает особым свойством. Сквозь него из пустоты во внутреннюю область могут проникать материальные тела и излучение, а вылететь наружу уже не могут. Можно сказать, что горизонт событий является односторонней мембраной. Поверхность черной дыры — горизонт — должна быть голограммой, двумерным снимком всей трехмерной материи внутри черной дыры. 

Приступим потихоньку к вычислениям. Сразу отметим, все величины, приводимы далее, легко проверяются из размерных соображений. Если кто захочет получить их из размерных соображений, то не споткнитесь на безразмерную величину – отношение массы черной дыры на планковскую единицу массы, составленную из фундаментальных постоянных (или отношение радиуса черной дыры на планковскую единицу длины).

Краткость есть сестра таланта,

Нетерпима болтовня!

Уверял нас литератор

Этой истине полдня!

Роберт Бернс.

Основы квантовой механики – принципы неопределенности и туннелирование

В классической механике измерение можно провести мгновенно, т.е. за ничтожно малое время. В квантовой же механике (движение атомных и еще меньших частиц в маленьких участках пространства) необходимо проведение набора измерений, в результате которых и появляются динамические переменные - энергия, импульс, и остальные другие. Поэтому здесь невозможно мгновенно провести измерение. Только за конечное время и можно провести идентификацию таких динамических переменных. При наборе измерений некоторые динамические переменные всегда имеют неточности своих значений. Так, энергия из-за конечного промежутка времени всегда имеет свою неопределенность , причем Нильс Бор постулировал, что произведение неопределенности энергии и времени измерения не может быть меньше перечеркнутой постоянной Планка . Таким образом, одним из законов квантовой механики гласит, что

. (4)

В классической механике полное описание движения тела, его траекторию, означает одновременное измерение его координат и скорости. Однако требование конечности времени измерения означает, что положение тела и ее скорость за время измерения изменятся. Проведя набор измерений, приходим к положению, что одновременное измерение положения (обозначим его как z) и скорости всегда содержат неточности и . Причем все это Вернер Гейзенберг постулировал в виде еще одного закона квантовой механики, что произведение массы частицы и этих неточностей также не может быть меньше, чем перечеркнутая постоянная Планка:

. (5)

Это знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга.

В классической механике мячик не может пробить стенку – барьер. Однако квантовая механика позволяет с некоторой вероятностью небольшому телу не преодолеть барьер, а просочится сквозь него! Оказывается, если энергия тела меньше потенциальной энергии барьера на участке длиной от a до b, то вероятность просочиться (туннелировать) сквозь этот барьер равна

. (6)

Причем интегрирование производится как раз на участке от a до b.

За небольшим исключением (о чем ниже), теперь у нас есть все, чтобы самостоятельно вычислить основные физические характеристики, описывающие черные дыры.

Излагаемое ниже будет ГИМНОМ ТРИУМФУ квазиклассического приближения принципов неопределенности и квантовому туннелированию!

Объясняй, не объясняй,

как об стенку горох.

 

Растянутый горизонт. Формула Хокинга для температуры черной дыры

Возле горизонта событий действует чудовищное тяготение. Там вакуум не пустое пространство, а арена, на которой ежемгновенно рождаются и аннигилируют всевозможные частицы. Одни падают на горизонт событий и “проваливаются” внутрь черной дыры, навсегда исчезая для внешнего наблюдателя. Другие остаются возле поверхности, и образуют своеобразную атмосферу, как бы визуально увеличивая площадь самой поверхности. Если радиус черной дыры равен R, то атмосфера будет описываться размером . Такую ситуацию называют “растянутым горизонтом”. Если посмотреть на раскаленную плиту, то заметим, как горячий воздух вблизи поверхности плиты находится в конвективном движении - “дышит”. Так и растянутая атмосфера вблизи горизонта событий находится в постоянном движении. То есть, растянутый горизонт описывается координатой z, и имеет импульс . Соответственно этому, растянутый горизонт имеет энергию . Согласно голографическому принципу, этой же энергией обладает и вся черная дыра, т.е.

. (7)

Теперь радиус черной дыры можно еще раз получить следующим образом. Наблюдаемая издалека масса M черной дыры называют ньютоновской, поскольку она входит в закон тяготения Ньютона. Если умножить ее на квадрат скорости света <Object: word/embeddings/oleObject2.bin>, то получим внутреннюю энергию черной дыры (7) <Object: word/embeddings/oleObject3.bin> [3]. Она складывается из суммы потенциальных энергий взаимодействий составляющих черную дыру массу, и равна . Множитель 4 возникает из-за того, что Мир все же 4-мерный, и описывается криволинейными 4-координатами. Двойка в знаменателе возникла из-за того, что энергия взаимодействия двух тел считается дважды. Приравнивая

,

находим, что шарообразная черная дыра массой M будет иметь радиус (2).

Атмосфера, составляющая растянутый горизонт, состоит из снующих туда-сюда микроскопических тел. Сталкиваясь между собой, тела разогреваются. Так что атмосфера представляет собой кипящую, или очень горячую массу. Значит, поверхность горизонта событий раскалена, и имеет температуру (постоянная Больцмана положена равной единице, так что температура измеряется в энергетических единицах [4]). Возле печной плиты мы всегда ощущаем тепло, так и от раскаленной поверхности черной дыры в окружающее пространство постоянно происходит излучение, которое называют излучением Хокинга (в силу квантового туннелирования, это излучение часто называют квантовым испарением). Значит растянутый горизонт, тепловая атмосфера, и вообще, черная дыра имеют температуру T. Из размерных соображений, прибавляя к фундаментальным постоянным массу M (напомню – поосторожней с безразмерной комбинацией всех величин), можно получить

T <Object: word/embeddings/oleObject4.bin>. (8)

Если масса черной дыры порядка звездной, то величина температуры будет порядка  и еще меньше градусов Кельвина. Это очень низкая температура - в природе нет ничего холоднее. Чем больше масса черной дыры, тем сама черная дыра холоднее. В обратном случае, например, черная дыра с массой Луны разогрелась бы уже до 1 градуса Кельвина. Таким образом, покоящемуся относительно черной дыры наблюдателю, издалека черная дыра будет представляться горячей печкой, которая постоянно выделяет тепло в виде частиц и излучения. Т.е. пространство вблизи горизонта событий является тепловой атмосферой [Сасскинд]. В силу термодинамического равновесия температурой тепловой атмосферы будет обладать и черная дыра, это рассуждение является одним из обоснований голографического принципа. Квантовое туннелирование является редким событием, поэтому тепловая атмосфера и сама BH являются черным телом в термодинамическом смысле, как наше Солнце. Поверхность Солнца испускает огромное количество света, но она ничего не отражает. Это делает его для физика черным телом. Черное тело, как и черная дыра, поглощают все излучение, поэтому они обладают одинаковой температурой.

Стивен Хокинг, применяя методы вторичного квантования, для излучения получил формулу Планка (другой способ см. [5,6]), откуда следует, что его излучение происходит при температуре

<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>. (9)

Этим самым, Хокинг не только подтвердил формулу (8), но и установил численный коэффициент. Получение результата (9) – это триумф теоретической физики! Вывод, предложенный Иосифом Хрипловичем, дадим в Приложении.

Если черную дыру представить 3D (т.е. трехмерным) идеальным газом, то флуктуация внутренней энергии <Object: word/embeddings/oleObject6.bin> и температура T тепловой атмосферы будут связаны как <Object: word/embeddings/oleObject7.bin> (напомним, температуру измеряем в энергетических единицах). В рассматриваемом квазиклассическом случае можно заключить, что флуктуация внутренней энергии и температура будут пропорциональны друг другу:

<Object: word/embeddings/oleObject8.bin> T. (10)

В квазиклассическом случае координата частицы и ее скорость в тепловой атмосфере пропорциональны их неопределенностям. Поэтому время измерения в квазиклассическом случае будет равно отношению положения частицы к ее скорости: . И принцип неопределенности (4) примет следующий вид:

. (11)

А используя формулу (10), приходим к следующему принципу неопределенности в тепловой атмосфере:

. (12)

Здесь необходимо сделаем следующее замечание. Как известно, принцип неопределенности надо писать правильно как <Object: word/embeddings/oleObject9.bin> . В таком виде соотношение указывает, в каком направлении может идти физический процесс. Или в эквивалентном виде - произведение <Object: word/embeddings/oleObject10.bin> не может быть меньше, чем величина . Это означает, что если скорость растет, то при фиксированной температуре T увеличивается и удаление z частицы от горизонта событий, или: горизонт событий растягивается. Можно сказать и по-другому. Физический смысл соотношения (9) заключается в том, что если тепловая атмосфера вблизи внешней стороны горизонта событий имеет температуру T, то положение частицы z и ее скорость не могут быть меньше, чем даваемые соотношением (12).

Температуру тепловой атмосферы или черная дыра можно найти следующим образом. Вблизи горизонта событий, последнюю можно считать локально плоской. Поскольку рассматриваем квазиклассический случай, то для энергия E частицы массой m с внешней стороны черной дыры вблизи ее поверхности (растянутого горизонта) будем иметь

. (13)

Здесь g – ускорение свободного падения вблизи горизонта событий: . Или, используя (2) , ускорение свободного падения вблизи горизонта событий:

g <Object: word/embeddings/oleObject11.bin>. (14)

Для черной дыры звездной массы это будет примерно (это ну очень большое ускорение). При удалении от поверхности горизонта событий ускорение свободного падения будет уменьшаться, т.е. g зависит от координаты z. Однако учет этой зависимости в выражении (14) будет превышением точности, принятой для квазиклассического случая.

Выражая из (12) <Object: word/embeddings/oleObject12.bin> скорость через z и T, по порядку величин получаем

E <Object: word/embeddings/oleObject13.bin>.

Из условия E = min находим неопределенность положения частицы:

z <Object: word/embeddings/oleObject14.bin>. (15)

Отсюда следует в некотором роде парадоксальное утверждение: чтобы частицы имели строго определенное положение на горизонте событий, температура тепловой атмосферы должна быть бесконечной (только супер горячая черная дыра имеет идеально гладкую поверхность горизонта событий). Конечно же, это верно в квазиклассическом случае, пока можно пренебречь пространственной зависимостью ускорения свободного падения вблизи горизонта событий.

Уменьшая температуру, можно добиться того, что неопределенность положения частиц станет сравнимой с размером черной дыры. Такие частицы уже могут покинуть тепловую атмосферу. Полагая в (15) z R, находим следующее условие: чтобы черная дыра могла светиться, ее температура <Object: word/embeddings/oleObject15.bin> должна быть не больше, чем даваемое следующим выражением:

. (16)

Используя соотношения (14) и (2) , это выражение перепишем в следующем виде:

T <Object: word/embeddings/oleObject16.bin>.

Мы вычислили (8) – температуру черной дыры! Оно содержит только температуру и массу черной дыры. Отсюда видно, что гигантские черные дыры являются весьма холодными объектами. Даже для объекта с солнечной массой температура настолько мала, что испарением массивных частиц можно вообще пренебречь. Да и испарение в виде теплового излучения из печки будет очень редким событием; такая печка будет остывать миллиарды и миллиарды лет.

Приравнивая температуру (8) энергии фотона , можно найти частоту излучения Хокинга:

. (17)

Для черной дыры солнечной массы, частота будет порядка десятков или сотен кГц.

Преподаватель жалуется –

объяснил студентам, объяснял.

Ничего не поняли.

Второй раз объяснил –

тот же результат.

На третий раз сам все понял!

А они опять ничего не поняли.

 

Энтропия черной дыры

Мерой порядка распределения вещества внутри черной дыры называется энтропией S. Вообще, все, что происходит внутри черной дыры, никто не знает. Хотя, вроде бы, все, что попадает на поверхность черной дыры, за конечное время, равное

<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>, (18)

попадает в сингулярность – специфическое место в черной дыре, где пространство и время поменялись местами (говорят, что там они разрушаются). По теореме Пенроуза сингулярность находится в центре черной дыры и является точкой. По-моему, сингулярность не является одной особой точкой внутри черной дыры, а занимает вполне конечный объем размером порядка половины радиуса черной дыры :

<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>. (19)

Там и сконцентрирована энтропия.

Согласно статистической физике, температура определяется как (эти расчеты обычно и приводятся в книгах)

.

Подставляя энергию (7) и температуру (9) <Object: word/embeddings/oleObject19.bin>, получаем дифференциальное уравнение

. (20)

Если вещества нет, то нет и энтропии. Т.е. . Интегрируя с таким условием уравнение (20), получаем

. (21)

Этим самым, энтропию выразили через массу черной дыры. Если массу выразить через размер черной дыры (2) , то энтропию можно выразить и через радиус черной дыры:

, (22)

Здесь удобно ввести площадь горизонта событий (3) . Тогда, энтропия оказывается пропорциональной площади этой поверхности:

<Object: word/embeddings/oleObject20.bin>. (23)

Согласно голографическому принципу, этой же энтропией обладает сама черная дыра, поверхность черной дыры, и его тепловая атмосфера.

Бекенштейн предположил, что , а Хокинг вычислил, что в планковских единицах, когда все фундаментальные величины положены равными единице, . Энтропия величина аддитивная, и при любых физических процессах растет. Поскольку она пропорциональна площади поверхности черной дыры, то при слиянии двух черных дыр, общая площадь новой черной дыры будет больше или равна сумме площадей первоначальных черных дыр. Открытие Бекенштейном энтропии черных дыр привело Стивена Хокинга к величайшему озарению: черные дыры обладают не только энтропией (23), но у них также есть и температура (9). Поэтому формулу (23) часто называют формулой Бекенштейна-Хокинга.

Дадим другой вывод для энтропии. В квазиклассическом приближении вероятность D удалиться из некоторой области, через классически недоступную, дается следующим выражением (5) . Пределы интегрирования определяются областью, из которой, имея импульс , необходимо удалиться. Используя (5), и помня, что в тепловой атмосфере неопределенности величин пропорциональны самим этим величинам, импульс можно переписать в следующем виде: <Object: word/embeddings/oleObject21.bin>. Подставляя полученный импульс в (6), и интегрируя от 0 до z, получаем

<Object: word/embeddings/oleObject22.bin>. (24)

Здесь <Object: word/embeddings/oleObject23.bin> - численный множитель, как обычно, порядка единицы.

Выражением (24) дается вероятность частице вырваться из “лап” чудовищной гравитации черной дыры. Если переопределить некоторые величины, заменив <Object: word/embeddings/oleObject24.bin> и <Object: word/embeddings/oleObject25.bin>, то найдем вероятность того, что все вещество черной дыры разбежится:

<Object: word/embeddings/oleObject26.bin>.

или, используя соотношения (2) и (8),

. (25)

Мы получили одну из многочисленных результатов Хокинга. Отсюда теперь можно найти энтропию, которая имеется в черной дыре, и которая может высветиться во внешнее пространство:

.

Если для температуры использовать соотношение (8), то получим все выше приведенные выражения.

Применимость квазиклассического приближения

В физике из фундаментальных постоянных можно составить величину с размерностью длины. Впервые это сделал Планк, поэтому эту длину называют планковской длиной:

. (26)

Считается, что это размер Вселенной, которая за время образовалась в момент Большого Взрыва. Также Планк ввел и планковскую массу

.

(Можете потренироваться в получении такой планковской величины, как температура, и еще чего). Поскольку планковская масса составлена из таких же постоянных, как и планковская длина, то их можно выразить друг через друга:

. (27)

Также и энтропию (23) можно выразить через планковскую длину:

.

Но черная дыра явно макроскопический объект, поэтому ее площадь поверхности будет много больше квадрата планковской длины, отсюда следует, что

S 1. (28)

И если энтропию выразить через массу черной дыры, то условие (28) будет означать, что

, - массы Планка. (29)

Таким образом, квазиклассическое приближение применимо для черных дыр, масса которых заметно больше массы Планка. Поскольку более легкие черные дыры к настоящему времени все испарились (как увидим ниже), то ограничение (29) применимы практически ко всем современным черным дырам! В частности, понятие планковской массы позволяет вероятности черной дыре испариться, записать, как

. (30)

Это очень маленькая величина.

В настоящее время поставлен интересный вопрос. Представим себе, что черная дыра состоит из одинаковых частиц. Тогда сколько их, которые (а) слишком малы, чтобы их увидеть, и (б) могут комбинироваться множеством разных способов без изменения общего вида системы., и какой массы? Число частиц такая же аддитивная величина, как и энтропия (23), поэтому можно сказать, что черная дыра состоит из общего количества частиц

. (31)

Этот результат я встретил в работе [7], который получен там очень сложным способом для микроскопических черных дыр. Оказывается, число составляющих черную дыру частиц линейно растет с увеличением поверхности самой черной дыры.

Поскольку общая масса черной дыры , то масса каждой частицы, из которых состоит черная дыра:

. (32)

Что это за частицы, внутри звездной черной дыры, массой , пока неизвестно. (Заметим, что она меньше массы электронного нейтрино, массой ). Но вполне возможно, эта формула относится не к черной дыре, а к какой-то другой звезде. Привлечем принцип неопределенности Гейзенберга (5) . Исключая, отсюда скорость, с использованием квазиклассической неопределенности (12) <Object: word/embeddings/oleObject27.bin> , получаем:

. (33)

Соотношение означает, что черная дыра массой M в среднем будет испускать частицы с энергией каждый. Заменяя , приходим к соотношению (17) для частоты электромагнитного излучения.

Разговор немого с глухим.

Светимость черной дыры и число частиц в ней

Любая поверхность единичной площади, имея температуру T (напомним, мы измеряем ее в Дж), излучает во внешнюю область за единицу времени энергию , где постоянная Стефана-Больцмана . Умножив на площадь черной дыры , можно найти светимость черной дыры L. Эту светимость можно найти из следующих соображений.

Чтобы удалится на расстояние z, фотону требуется время <Object: word/embeddings/oleObject28.bin>. Тогда светимость

.

Вслед за Леонардом Сасскиндом, будем считать, что когда неопределенность положения частицы в тепловой атмосфере сравняется с радиусом черной дыры, то частицу можно считать покинувшим черную дыру. Приравнивая расстояние z размером самой черной дыры, т.е. <Object: word/embeddings/oleObject29.bin>, для светимости получаем

<Object: word/embeddings/oleObject30.bin>. (34)

Подставляя вместо массы частицы m ее значение из (32) , получаем

<Object: word/embeddings/oleObject31.bin>. (35)

Полученную светимость можно выразить через массу черной дыры. Заменяя <Object: word/embeddings/oleObject32.bin>, согласно (2), на <Object: word/embeddings/oleObject33.bin>, получаем известное выражение для светимости черной дыры:

<Object: word/embeddings/oleObject34.bin>. (36)

Если здесь заменить квадрат гравитационного радиуса через площадь горизонта, а площадь, согласно (23), через энтропию S <Object: word/embeddings/oleObject35.bin>, то получаем, что для черной дыры произведение светимости и энтропии является величиной постоянной:

<Object: word/embeddings/oleObject36.bin>. (37)

Результат (36) позволяет ввести абсолютную светимость <Object: word/embeddings/oleObject37.bin> черной дыры. Сравнивая с (23), получаем, что реальная светимость черной дыры

<Object: word/embeddings/oleObject38.bin>. (38)

Здесь, по-видимому, можно поставить знак равенства.

Квантовое испарение (как и высыхание лужи) ведет к потере массы черной дыры. Используя (36), находим скорость ее испарения:

Квантовое испарение (как и высыхание лужи) ведет к потере массы черной дыры. Убыль энергии будет, согласно известному закону Стефана-Больцмана,

.

Подставляя известные величины, получим скорость испарения черной дыры:

. (39)

Конечно, это верно, если вся масса черной дыры “высвечивается”. Если масса будет теряться из-за испарения массивных частиц, то численный коэффициент будет другим. Обратим внимание на большой численный коэффициент в знаменателе. Из (39) следует, что черная дыра с массой в несколько Солнц высветится за уйму миллиардов и миллиардов лет (. Поэтому к настоящему времени во Вселенной остались только черные дыры, начиная от массы в несколько масс Солнца (буквально недавно нашли свободную, блуждающую по Вселенной черную дыру, тяжелее Солнца только в 7 раз).

Бит информации

Количество информации в битах определяется как логарифм (по основанию 2) числа возможных состояний. Так, один ящик может быть пуст, или что-нибудь содержать. Здесь налицо две возможности, поэтому информация об этом будет равна

,

т.е. одному биту. Эту же информацию несет и одиночный фотон, который может попасть внутрь черной дыры, или нет. Для термодинамической системы из N частиц информация о состоянии системы будет равна логарифму от факториала числа ее частиц. Поскольку число N очень большое, то факториал от нее можно заменить на это число в степени этого же числа. Тогда информация о термодинамической системе будет пропорционален

. (40)

Если ввести планковскую длину, то, согласно формуле (31) , число частиц в черной дыре будет

. (41)

Факториал от этого числа будет равно числу возможностей состояний внутри черной дыре. Поскольку это число очень большое, то информация, запасенная в ЧД, будет пропорциональна

. (42)

Это максимум того, что может “сообщить” черная дыра. Или – столько информации имеется в черной дыре.

Выражение можно переписать, используя массу черной дыры и планковскую массу:

. (43)

Соотношение неопределенности (12) <Object: word/embeddings/oleObject39.bin> можно применить и для фотона. Заменяя скорость на скорость света c (как мы делали ранее, приравнивая вторую космическую скорость скорости света), и определяя положение фотона радиусом черной дыры, далее выражая радиус черной дыры через ее массу, так же приходим к выражению (42). Поскольку температуру черной дыры ранее определили независимым способом, то из этих рассуждений следует, что неопределенность положения фотона определяется радиусом черной дыры, или размером горизонта событий. Только фотон с длиной волны с размера черной дыры, может нести один бит информации – поглотиться черной дырой или нет. Фотоны с более длинной волной будут отскакивать от черной дыры, а не захватываться ею. Бекенштейн отметил, что должно существовать квантовое ограничение: комптоновская длина волны должна быть ограничена радиусом черной дыры, и поэтому число внутренних микросостояний должно быть конечным, хотя и очень большим.

В своей книге Л.Сасскинд [2], предположил, что добавление одного бита информации увеличивает площадь горизонта любой черной дыры на одну планковскую единицу площади, или на одну квадратную планковскую единицу. И тут же после, хитроумных рассуждений, говорит, что 1бит информации увеличивает размер черной дыры на одну планковскую длину (с чем я согласен), т.е.

,

Самым простым предположением будет то, что то информация, запасенная в ЧД, будет пропорциональна

, (44)

в противоположность (65.13) . Тогда

.

Как и должно быть.

Приложение

Небольшое дрожание вокруг классической траектории означает, что на длине траектории R укладывается очень большое число длин волн <Object: word/embeddings/oleObject40.bin>. Это означает, что длина волны заметно меньше длины траектории, т.е.

<Object: word/embeddings/oleObject41.bin> R.

Это и есть условие квазиклассического описания движения частиц – применяем классическое описание, но учитываем волновые свойства движения. Для физики BH единственным характерной величиной с размерностью длины является радиус горизонта событий <Object: word/embeddings/oleObject42.bin>. Поэтому последнее неравенство принимает следующий вид:

<Object: word/embeddings/oleObject43.bin> <Object: word/embeddings/oleObject44.bin>,

или:

<Object: word/embeddings/oleObject45.bin> 1. (П.1)

Это есть квазиклассическое условие описания излучения Стивена Хокинга. Для этого длина волны излучаемого света должна быть заметна меньше размера BH. Большие длины волн привели бы к заметному испарению BH, чего, по-видимому, в природе не наблюдается. Приходим к положению, что для описания современных ЧД достаточно и квазиклассической теории.

Для применения квазиклассического принципа неопределенности необходимо ввести радиальную координату Z (для наглядности используем здесь заглавную букву), которую принимает в результате квантовых флуктуаций горизонт событий от своего классического равновесного значения. В результате таких флуктуаций горизонт событий всегда находится в движении, т.е. имеет скорость <Object: word/embeddings/oleObject46.bin>, а вмести с ней и импульс <Object: word/embeddings/oleObject47.bin>. Поскольку тепловая атмосфера кипит, тот она имеет разброс энергии, которая определяет температуру T (в энергетических единицах) самой тепловой атмосферы. Согласно квазиклассическому принципу неопределенности, введенные величины подчиняются следующему выражению:

<Object: word/embeddings/oleObject48.bin> <Object: word/embeddings/oleObject49.bin>. (П.2)

В классической области движение происходит по траекториям. Квантовая механика вносит существенную коррективу – частица между двумя точками распространяется сразу по нескольким траекториям. Классическая траектория начинает “дрожать”, размываться. Каждая траектория описывается амплитудой <Object: word/embeddings/oleObject50.bin> того, что частица распространяется именно по этой траектории. При своем распространении частица “набирает” фазу <Object: word/embeddings/oleObject51.bin>, определяемую как

<Object: word/embeddings/oleObject52.bin>, (П.3)

где m – масса частицы. Тогда амплитуда <Object: word/embeddings/oleObject53.bin> будет равна

<Object: word/embeddings/oleObject54.bin>. (П.4)

Причем непосредственно измеримая величина, например, энергия, будет пропорциональна квадрату модуля <Object: word/embeddings/oleObject55.bin>.

Амплитуду <Object: word/embeddings/oleObject56.bin> в выражении (П.4) записали без предэкспоненциального множителя. Этот множитель обычно определяется условием нормировки – частица куда-нибудь, да придет. Мы уверены, что излучение Хокинга существует, BH имеет температуру, поэтому не будем отвлекаться на этот множитель. Наша задача – найти частотную зависимость амплитуды, на что нормирующий множитель никак не влияет. Поэтому дальше не будем озадачиваться всеми множителями, не содержащие частоты. Мы рассматриваем распространение излучения, которое имеет нулевую массу. Для них фазу (П.3) надо переписать в другом виде. Сделаем это следующим образом.

Перепишем <Object: word/embeddings/oleObject57.bin>. Тогда (П.3) примет вид

<Object: word/embeddings/oleObject58.bin>.

Но <Object: word/embeddings/oleObject59.bin> есть удвоенная энергия частицы. А энергию частицы, согласно квантовой механике, запишем как <Object: word/embeddings/oleObject60.bin>. Таким образом, получаем

<Object: word/embeddings/oleObject61.bin>,

и амплитуда

<Object: word/embeddings/oleObject62.bin>. (П.5)

Далее, используя результаты для координаты и времени вблизи горизонта событий (П.2), преобразование Фурье, свойства Г-функции Эйлера. Для энергии излучения, как квадрата модуля амплитуды распространения этого излучения, получим формулу, которую сравним с формулой Планка для чернотельного излучения.

Излучение рождается с внешней стороны BH вблизи горизонта событий. Если удаленный наблюдатель измеряет свет с частотой <Object: word/embeddings/oleObject63.bin>, то вблизи ЧД свет рождается с частотой <Object: word/embeddings/oleObject64.bin>. Это следует из метрики Шварцшильда [Ландау, Лифшиц, Теория поля], согласно которому на горизонте событий частота света обращается в нуль. Эта та частота, которую надо будет подставить в (П.5).

Мы ввели координату Z, отсчитываемую от горизонта событий наружу ЧД. Введем ее и здесь, положив

<Object: word/embeddings/oleObject65.bin>.

Вблизи горизонта событий координат Z мала по сравнению с <Object: word/embeddings/oleObject66.bin>, поэтому приближенно можно записать

<Object: word/embeddings/oleObject67.bin>. (П.6)

С другой стороны, согласно [Теории поля],

<Object: word/embeddings/oleObject68.bin>, или

<Object: word/embeddings/oleObject69.bin>. (П.7)

Выражения (П.6) и (П.7) надо будет подставить в (П.5).

Как выше указывалось, квадрат модуля <Object: word/embeddings/oleObject70.bin> пропорционален числу частиц, которые распространяются по данной траектории. Здесь уточним – в данный момент времени. А удаленный наблюдатель обычно измеряет поток светового излучения в зависимости от частоты. Поэтому необходимо от временной зависимости <Object: word/embeddings/oleObject71.bin> перейти к частотной зависимости <Object: word/embeddings/oleObject72.bin>. Эта операция дается преобразованием Фурье:

<Object: word/embeddings/oleObject73.bin>. (П.8)

Сначала вычислим интеграл <Object: word/embeddings/oleObject74.bin>, для этого вместо <Object: word/embeddings/oleObject75.bin>, с учетом (П.6) и (П.7), подставляем:

<Object: word/embeddings/oleObject76.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject77.bin>.

Интегрируя по времени <Object: word/embeddings/oleObject78.bin>, находим фазу амплитуды:

<Object: word/embeddings/oleObject79.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject80.bin>.

Постоянное аддитивное слагаемое никакой роли в дальнейшем не играет, поэтому его и не выписываем. Собирая далее все формулы, в итоге находим:

<Object: word/embeddings/oleObject81.bin>. (П.9)

Теперь надо провести аккуратное интегрирование! Для этого необходимо будет использовать определение Г-функции Эйлера:

<Object: word/embeddings/oleObject82.bin>. (П.10)

и следующую формулу, справедливую для Г-функции:

<Object: word/embeddings/oleObject83.bin>. (П.11)

Чтобы вычислить интеграл (П.9), сделаем замену переменной:

<Object: word/embeddings/oleObject84.bin>.

Отсюда

<Object: word/embeddings/oleObject85.bin>, <Object: word/embeddings/oleObject86.bin>.

Тогда (П.9) примет вид:

<Object: word/embeddings/oleObject87.bin>. (П.12)

Здесь, в первом слагаемом, в экспоненте, надо “вытащить” из под логарифма мнимую единицу. Используя свойства логарифма, перепишем его в виде

<Object: word/embeddings/oleObject88.bin> + <Object: word/embeddings/oleObject89.bin>.

Здесь последнее слагаемое также перепишем:

<Object: word/embeddings/oleObject90.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject91.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject92.bin>.

Таким образом, выражение (П.12) принимает следующий вид:

<Object: word/embeddings/oleObject93.bin>.

Здесь одно из <Object: word/embeddings/oleObject94.bin> есть степень при переменной y и является хотя и комплексным, но все же числом, поэтому интеграл есть Г-функция с аргументом <Object: word/embeddings/oleObject95.bin>, т.е.

<Object: word/embeddings/oleObject96.bin>.

Таким образом,

<Object: word/embeddings/oleObject97.bin><Object: word/embeddings/oleObject98.bin>.

Принимаемое удаленным наблюдателем энергия Е испарения Хокинга пропорциональна квадрату модуля от амплитуды <Object: word/embeddings/oleObject99.bin>, т.е., опуская постоянный множитель <Object: word/embeddings/oleObject100.bin>, будем иметь

<Object: word/embeddings/oleObject101.bin> = <Object: word/embeddings/oleObject102.bin><Object: word/embeddings/oleObject103.bin>.

Теперь вспомним, что излучение Хокинга мы рассматриваем в квазиклассической области. В этой области, согласно (П.1),

<Object: word/embeddings/oleObject104.bin> 1.

(Напомним, что скорость света пока положена равной 1). Это позволяет Г-функцию <Object: word/embeddings/oleObject105.bin> переписать приближенно как <Object: word/embeddings/oleObject106.bin>, - небольшая добавка существенно функцию не меняет. Поэтому, приближенно

<Object: word/embeddings/oleObject107.bin><Object: word/embeddings/oleObject108.bin>.

И здесь уже, применяя формулу (П.11), получаем

<Object: word/embeddings/oleObject109.bin><Object: word/embeddings/oleObject110.bin>.

Поскольку <Object: word/embeddings/oleObject111.bin>, то (опуская постоянный множитель <Object: word/embeddings/oleObject112.bin>),

<Object: word/embeddings/oleObject113.bin><Object: word/embeddings/oleObject114.bin>,

или, после приведения экспонент,

<Object: word/embeddings/oleObject115.bin>. (П.13)

Мы получили формулу, которая очень похожа на формулу Планка для чернотельного излучения:

<Object: word/embeddings/oleObject116.bin>. (П.14)

Обе формулы вообще будут описывать одно и то же, если приравнять множители при экспонентах:

<Object: word/embeddings/oleObject117.bin>.

Здесь температуру измеряем в энергетических единицах, и явно учли скорость света. Отсюда находим температуру, при которой происходит излучение, т.е. температуру BH (9) на стр. 11.

 

Список литературы/ References

 

Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука. 1975.

Леонард

Сасскинд

. Битва при черной дыре. Питер

, 2013

;

Leonard Susskind, The Black Hole War: My Battle with Stephen Hawking to Make the World Safe for Quantum Mechanics,

Little, Brown and Company

, 2008.

Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. М

.:

Наука

, 1986

;

V.P.

Frolov

, I.D.

Novikov

, Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments,

Dordrecht, Boston, London:

Kluwer

Academic Publishers

, 1998.

Л.Д.

Ландау,

Е.М.

Лифшиц, Статистическая физика

.

М

.:

Наука

.

(

л

юбое

издание

)

;

L. D. Landau and E. M.

Lifshitz

, Statistical Physics, Pt. 1, 3rd Ed.,

Oxford:

Pergamon

Press

, 1980.

И.Б.

Хриплович

,

Общая теория относительности. И

.:

НИЦ

“

Регулярная

и

хаотическая

динамика

”, 2001

;

I.B.

Hriplovich

, General theory of relativity,

Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics",

2001.

Балханов

В.К. Введение в специальную и общую теории относительности. Космологию и физику черных дыр, дополненное некоторыми решениями уравнений Эйнштейна

/ О

тв. ред. Ю.Л.

Ломухин

. Москва: РУСАЙНС, 2020.

ISBN

978-5-4365-5463

-

1

.

Березин В.А. О квантовом гравитационном коллапсе и квантовых черных дырах//Физика элементарных частиц и атомного ядра. Т.34. Вып.7. 2003. С.49-111

.

Steven Weinberg

,

 

Gravitation and Cosmology, Principles and Applications of the General Theory of Relativity

,

Massachusetts Institute of Technology

, 1972.

References

Vasiliy

K.

Balkhanov

, A

pplication

of

Q

uasi

-C

lassical

A

pproximation to Describe Black Holes //

New Horizons in Mathematical Physics,

Vol. 1, No. 2, 46-48, September 2017,

 DOI:

10.22606/nhmp.2017.12002

,

http://www.isaacpub.org/Archive.aspx?ids=19

.

[in Russia] K.A.

Bronnikov

K. and S.G. Rubin, Lectures on Gravitation and cosmology,

Moscow, MIFI

, 2008

;

Бронников

К

.

А

.,

Рубин

С

.

Г

.

Лекции

по

гравитации

и

космологии

.

Учебное

пособие

. –

М

.:

МИФИ

,

2008.

Sam Lilly, Discovering Relativity for Yourself,

Cambridge University Press

, 1981;

Лилли

С

.

Теория

относительности

для

всех

.

М

.:

Мир

,

1984.

L. D. Landau and E. M.

Lifshitz

, The Classical Theory of Fields,

Oxford: Butterworth-Heinemann

, 2000

;

Ландау

Л

.

Д

.,

Лифшиц

Е

.

М

.

Теория

поля

(

любое

издание

)

.

L. D. Landau and E. M.

Lifshitz

,

Quontum

Mechunics

: Non-

relutivistic

Theory, 3rd Ed.,

Oxford:

Pergamon

Press

, 1977

;

Ландау

Л

.

Д

.,

Лифшиц

Е

.

М

.

Квантовая

механика

:

нерелятивисткая

теория

(

любое

издание

).

[in Russia] Albert Einstein and the theory of gravitation,

A

collection of articles to the 100-th anniversary,

Moscow, Mir

, 1979.