Новый более точный алгоритм вычисления площадей кольца и круга | Зудин Василий Павлович. Работа №339631

DOI:

В. П. Зудин

Областной многопрофильный техникум Нижегородской области;

р. п. Ардатов, Россия

НОВЫЙ, БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ КРУГА С ПОМОЩЬЮ КОЛЕЦ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ И РАЗВИТИЯ КРЕАТИВНОГО МЫШЛЕНИЯ

Аннотация

В статье доказывается недостаточная точность алгоритма вычисления площади круга в учебной литературе в настоящее время с помощью интегральной суммы площадей колец. Затем создаётся более точный алгоритм для новой формулы площади круга. Алгоритм площади кольца данной статьи для формулы площади круга подтверждает, что формула площади круга Sкруга=πR2k из журнала Информатика в школе №8, 2018 года автора Зудина Василия Павловича даёт более точное её значение при сравнении с формулой в учебных пособиях настоящего времени Sкруга=πR2. Алгоритм площади кольца круга в этой статье используется для определения ширины кольца или разности его радиусов, при которой интегральная сумма площадей колец будет равна площади этого круга. В предложенной информации данной статьи, идёт поиск и создание более точного алгоритма определения площади круга с применением новых цифровых технологий. Более близкое значение к истине формулы площади круга данной статьи при её использовании на практике, в науке будет давать возможность быстрее и точнее достигать цели, иметь экономический эффект при расчётах движения в пространстве, что может повысить благосостояние и развитие общества. У обучающихся, при обнаружении неточной информации в учебных пособиях, повышается мотивация к получению новых знаний, к креативному мышлению для исправления, данных неточностей, что активизирует их при разработке и изучении нового материала данной статьи.

Ключевые слова: Площадь колец, площадь круга, интегральная сумма площадей колец, интеграл новой формулы площади круга, формула площади круга данной статьи, программа на языке VBA, результат программы, анализ полученных результатов.

Контактная информация Зудин Василий Павлович, преподаватель информатики ИКТ высшей категории, ГБПОУ Областной многопрофильный техникум Нижегородской области, р. п. Ардатов. Адрес: 607130, Нижегородская область, р. п. Ардатов, ул. Садовая, д. 9; телефон: (83179) 5-31-34; 89870849486; e-mail: vpz@mts-nn.ru

V. P. Zudin

Regional Multidisciplinary Technical School of the Nizhny Novgorod Region;

r. p. Ardatov, Russia

A NEW, MORE ACCURATE ALGORITHM FOR DETERMINING THE AREA OF A CIRCLE USING RINGS FOR PRACTICAL APPLICATION AND DEVELOPMENT OF CREATIVE THINKING

Abstract

The article proves the insufficient accuracy of the algorithm for calculating the area of ​​a circle in educational literature at present using the integral sum of the areas of the rings. Then a more accurate algorithm is created for a new formula for the area of ​​a circle. The algorithm for the area of ​​a ring of this article for the formula for the area of ​​a circle confirms that the formula for the area of ​​a circle S circle = πR2k from the journal Informatics at school №8, 2018 by Vasily Pavlovich Zudin gives a more accurate value when compared with the formula in current textbooks S circle = πR2. The algorithm for the area of ​​a circle ring in this article is used to determine the width of a ring or the difference in its radii, at which the integral sum of the areas of the rings will be equal to the area of ​​this circle. In the information provided in this article, a more accurate algorithm for determining the area of ​​a circle is searched for and created using new digital technologies. A closer value to the truth of the formula of the area of ​​a circle of this article when used in practice, in science will give the opportunity to achieve the goal faster and more accurately, have an economic effect when calculating movement in space, which can increase the welfare and development of society. In students, when inaccurate information is detected in textbooks, the motivation to obtain new knowledge increases, to creative thinking to correct these inaccuracies, which activates them in the development and study of new material of this article.

Keywords: Area of ​​​​rings, area of ​​​​a circle, integral sum of the areas of the rings, integral of the new formula for the area of ​​​​a circle, formula for the area of ​​​​a circle of this article, a program in the VBA language, program result, analysis of the results obtained. Contact information

Zudin Vasily Pavlovich, teacher of computer science ICT of the highest category, GBPOU Regional Multidisciplinary Technical School of the Nizhny Novgorod Region, Ardatov. Address: 607130, Nizhny Novgorod Region, Ardatov, Sadovaya St., 9; phone: (83179) 5-31-34; 89870849486; e-mail: vpz@mts-nn.ru

Введение

Применение на уроках нового материала, которого нет в учебниках, интернете и других источниках информации создаёт проблемную ситуацию обучающимся, повышает их мотивацию к получению знаний, к творчеству, развивает их креативное мышление для решения данной проблемы. Такие уроки автор проводил в выпускных классах школы №2 р. п. Ардатова, Нижегородской области, и видел повышение работоспособности учеников, горящие их глаза, стремление к получению новой информации. На уроке возникает вопрос, как можно найти существующие проблемы в науке, производстве, учёбе, и решении их для приближения к истине, повышения жизненного уровня людей. Обучающиеся в этом случае сами стремятся к дополнительным занятиям, и когда им не хватает времени для освоения материала урока, идут к директору школы с просьбой продлить данный урок, чтобы успешно освоить его материал.

В данной статье создаётся проблема для обучающихся при создании более точного алгоритма определения площади круга с помощью интегральной суммы площадей колец, метод его решения, которого нет в настоящее время в учебной литературе. В такой ситуации у обучающихся появляется истинное, не поддельное, рабочее, творческое настроение. Ученики стремятся достичь цели урока, создать свой алгоритм определения площади кольца круга, а затем и площади круга. У них появляется творческое, радостное, настроение, в их поведении просматривается активный поиск необходимой информации, разработке собственных идей. Обучающиеся с большей пользой используют опыт и знания преподавателя для решения данной проблемы методом проверки своих идей, находят необходимую информацию в учебниках, Интернете. Преподавателю приходится корректировать пути решения обучающихся данной проблемы и совместно искать методы приближения к цели.

2. Rtt1t-t1=∆txy0Рис.1Создание нового алгоритм для более точной формулы площади круга

В настоящий период для определения площади круга применяется алгоритм из суммы площадей колец, которые заполняют круг. Смотри рис.1 [12]. На рис. 1 площадь кольца определяется как произведение длины окружности 2πt на бесконечно малую разность радиусов ∆t=t-t1. S1кольца= 2πt ∙∆t=2πt∙(t-t1), то есть площадь фигуры кольца заменяется площадью

фигуры прямоугольника. [5;10;13]. Суммируют эти площади с помощью определённого интеграла с пределами интегрирования от 0 до R, и получается результат

<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>

Рис. 1. Кольцо круга.

Более точное значение площади кольца необходимо определять, как разность площадей кругов S(t) и S(t1). Этот метод даёт другой, более точный результат. <Object: word/embeddings/oleObject2.bin> [5; 10; 13; 4]
S2 кольца=π(t –t1)(t +t1). Рассмотрим отношение площадей колец S1 к S2, откуда получим <Object: word/embeddings/oleObject3.bin>. Из этого отношения видно, что S1 будет не равна S2, где S 1> S2 и интегральная сумма S1 завышает площадь круга на некоторую малую величину. В данном алгоритме S1 будет равна S 2 только при равных радиусах кольца t= t1, но при таком условии фигура кольца исчезнет, и не будет существовать его площадь.

2πt2πt1t – t1= ΔthОбучающимся предлагается создать новый, аналогичный, более точный алгоритм площади круга с помощью площадей колец. После этого предложения начинается креативная, творческая работа участников урока. Более креативные обучающиеся дают свои

Рис. 2. Трапеция.

решения данной проблемы, которые близки к истине. С помощью совершенствования их решений рассматриваем согласно рисунка 1 преобразование окружностей кольца в отрезки, что даст фигуру не прямоугольник, как в данный период даётся в учебных пособиях, а трапецию. Смотри рисунок 2. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на
длину её высоты h.[5; 10; 13]. Длины оснований трапеции на рис. 2 равны 2πt и 2πt1, а её высота равна Δt=(t – t1). Отсюда площадь трапеции, равная площади кольца на рисунке 2, будет определяться формулой
<Object: word/embeddings/oleObject4.bin> (1)
Результат формулы (1) показывает, что принятый нами алгоритм определения площади кольца с помощью формулы трапеции даёт более точное его вычисление, то есть из площади, ограниченной окружностью с большим радиусом кольца, вычисляется площадь, ограниченная окружностью с меньшим радиусом кольца. [4]

<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>

Величину радиуса t1 из информации рисунка 1 можно записать формулой t1=t– Δt, отсюда площадь кольца будет вычисляться по формуле с одной переменной t, что будем использовать для вычисления площади кольца с помощью интегральной суммы.

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin> . (2)

Приведённый выше алгоритм вычисления площади круга с помощью колец, имеющих площадь <Object: word/embeddings/oleObject7.bin>[12], который даётся в настоящий период в учебных пособиях, имеет меньшую точность, где площадь кольца определялась по формуле прямоугольника. Неточность того алгоритма доказана выше, поэтому вычисляемая в настоящий период площадь круга по формуле Sкруга =πR2 завышена [5; 10; 13]. Новый, более точный алгоритм определения площади кольца по формуле Sкольца=2·π·t·Δt– π·Δt·Δt (2) уменьшает его площадь при сравнении с площадью кольца в интегральной сумме в учебных пособиях настоящего времени [12] на величину π·Δt·Δt.

3. Анализ нового алгоритма площади кольца

Новый более точный алгоритм определения площади кольца по формуле <Object: word/embeddings/oleObject8.bin>, также не является абсолютно точным. В этом алгоритме есть числа π. [6] Число π иррационально, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби. В ходе создания данного алгоритма делали абстрактное преобразование кольца в трапецию, где окружности приравнивались к отрезкам, что, конечно, дало другую форму кольца и незначительное изменение его площади. Площадь круга более точно вычисляется по формуле, которая дана в журнале «Информатика в школе № 8, 2018 год».

Sкруга =πR2k [7]

Обучающимся предлагается поработать над совершенствованием данного алгоритма или найти его неточности. С этой целью даётся информация о связи периметров фигур и их площадей. Так при одинаковом периметре, равном 36 метров, площадь круга примерно равна 103,13 м. кв., площадь квадрата будет 81 м. кв., и площадь прямоугольника со сторонами 15 м. и 3 м. будет наименьшей из этих фигур, равной 45 м. кв. Такой результат показывает, что изменение формы фигуры, при равном периметре, значительно влияет на её площадь и, конечно, изменение периметра фигуры при сохранении её формы, также повлечёт к увеличению её площади при увеличении периметра или уменьшению при уменьшении её периметра. Такая информация будет полезна обучающимся при нахождении неточности нового алгоритма площади кольца.

4. Определение площади круга с помощью интегральной суммы его колец

Для нахождения площади круга на рисунке 1 необходимо создать множество колец, имеющих ширину равную Δt, и заполняющих полностью без промежутков и перекрытий своими величинами площадь пространства круга от центра O до границы R. Более точный алгоритм определения площади кольца для данного случая, что доказали выше, определяется формулой

Sкольца =2·π·t·Δt – π·Δt·Δt (2)

В данной формуле (2), чтобы найти площадь круга, величину радиуса t колец будем изменять от 0 до R. Значение Δt - высоты трапеции или разности величин радиусов кольца
t – t1 должно быть такое, при котором сумма большого количества площадей внутренних колец круга будут совпадать с его площадью. Величину Δt для всех колец при данном радиусе круга принимаем равной между собой, и стремящейся к нулю, при которой сумма площадей колец будет равна площади круга. При таких условиях получается предел интегральной суммы площадей колец, величина которого будет равна площади круга. [1; 2; 8; 11].

<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>

Для вычисления, полученного предела интегральной суммы, и определения величины Δt в этой интегральной сумме, производим следующие преобразования в членах разности предела. У уменьшаемого заменяем Δt на dt, так как dt=t´·Δt=Δt (дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной). У вычитаемого второй множитель приращение независимой переменной Δt заменяем пока неизвестным нам числом Δt = const, а третий множитель Δt принимаем равным dt, так как дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. После этих преобразований получим следующие определённые интегралы и результат.
<Object: word/embeddings/oleObject10.bin> (3) [1; 2; 8; 11]

Полученная формула площади круга показывает, что в настоящий период в учебных пособиях площади кругов завышаются на величину π·Δt·R. Величина Δt в этой формуле (3) не известна. В журнале «Информатика в школе №8», 2018 года на 16 странице автором статьи Зудиным Василием Павловичем даётся новая, более точная формула площади круга

Sкруга=πR2·k, где k=0,999999999999989457037657632 [7].

Сравниваем значения этих формул для площадей кругов, и находим значение величины Δt.

Sкруга=πR2k=πR2–π·Δt·R, откуда
<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>(4)

Данный результат показывает, что высота трапеции или разность радиусов окружностей кольца будет изменяться при изменении радиуса круга, в котором суммируются площади колец. Высота трапеции или разность радиусов окружностей кольца в данной интегральной сумме будет иметь свою величину у каждого круга со своим отличным радиусом. С увеличением радиуса круга будет увеличиваться и высота трапеции или разность радиусов окружностей кольца. При радиусе круга 1000000000000 высота трапеции или разность радиусов кольца будет равна 0,0105429623423673, что найдено ниже в программе на языке Visual Basic For Application программы Word.

При сравнении значения формулы площади круга, данной статьи, со значением формулы площади круга школьной программы, получим следующий результат.
Sкруга= πR2=πR2–π·Δt·R, откуда <Object: word/embeddings/oleObject12.bin>

Результат сравнения формул показывает, что школьная формула площади круга не учитывает, вычитаемую малую величину π·Δt·R более точной формулы площади круга данной статьи, то есть она имеет меньшую точность.

5. Программа вычисления площади круга на языке VBA

Составим программу на языке Visual Basic For Application программы Word для

определения величины площадей кругов по существующей формуле Sкруга=πR2, по формуле из журнала «Информатика в школе №8», 2018 года автора Зудина Василия Павловича [7]

Sкруга =πR2k, и по формуле данной статьи Sкруга=πR2–πΔtR, где Δt =R(1-k). После преобразований формула площади круга данной статьи примет вид Sкруга=πR2k, но для лучшего анализа и проверки точности вычисления площадей кругов по новым формулам в программу на языке VBA будем вводить формулу площади круга данной статьи в виде Sкруга=πR2–πΔtR.

Код программы на языке VBA, который дан ниже, будет вычислять величины с точностью до 29 знаков, то есть применяется десятичный тип числа (decimal), для чего используется функция конвертирования CDec(). [3; 9; 14; 15; 16]. Данный код является доступным для обучающихся, так как он выполняет алгоритмы, данные выше. Даём краткое описание данного кода на языке Visual Basic For Application программы Microsoft Word. Первая строка название программы, вторая и третья строки задают вид величин в данном коде. Четвёртая, пятая и шестая строки задают до 29 знаков коэффициент k площади круга по формуле Зудина В. П. из журнала Информатика в школе №8, 2018 года [7]. Седьмая, восьмая и девятая строки вносят в программу число π до 29 знаков. Десятая строка создаёт окно для ввода в программу величину радиуса круга с клавиатуры в м. (рисунок 3). Одиннадцатая строка конвертирует число радиуса круга, введённого с клавиатуры, в десятичный тип числа. Двенадцатая строка вычисляет площадь круга по школьной формуле. Тринадцатая строка определяет площадь круга по формуле из журнала «Информатика в школе №8», 2018 года [7] статьи Зудина Василия Павловича. Четырнадцатая строка вычисляет величину разности радиусов кольца (ширину кольца). Пятнадцатая строка определяет площадь круга по формуле данной статьи. Шестнадцатая строка определяет ошибку вычисления площади круга по формуле школьных учебников. Семнадцатая строка переводит результат работы программы в конец рабочего поля Microsoft Word. Восемнадцатая – двадцать вторая строки выводят необходимый нам результат программы в рабочее поле Word. Двадцать третья строка показывает конец программы. Номера строк листинга ниже даны для лучшего ориентирования, в module программы VBA они не вводятся, смотри рисунок 4.
1. Public Sub plkruga()

2. Dim k, k1, k2, S, Sшкола, Sзудин As Variant

3. Dim Дельтаt, SkДельтаt, Razn, R, pi1, pi2, pi As Variant

4. k1 = CDec(0.999999999999989)

5. k2 = CDec(4.570376576327E-16)

6. k = CDec(k1 + k2)

7. pi1 = CDec(3.14159265358979)

8. pi2 = CDec(3.23846264338327E-15)

9. pi = CDec(pi1 + pi2)

10. R = Val(InputBox("Введите радиус круга в м."))

11. R = CDec(R)

12. Sшкола = CDec(pi * R ^ 2)

13. Sзудин = CDec(pi * R ^ 2 * k)

14. Дельтаt = CDec(R * (1 - k))

15. SkДельтаt = CDec(pi * R ^ 2 - pi * R * Дельтаt)

16. Razn = CDec(Sшкола - Sзудин)

17. Selection.EndKey Unit:=wdStory

18. Selection.Text = "Площадь круга по формуле Pi*R^2 в м. кв.=" & Sшкола & Chr(13) _

19. & "Площадь круга по формуле Pi*R^2*k в м. кв.=" & Sзудин & Chr(13) _

20. & "Площадь круга по формуле Pi*R^2-Pi*R*Дельтаt в м. кв.=" & SkДельтаt & Chr(13) _

21. & "Высота трапеции или разность радиусов кольца в м.=" & Дельтаt & Chr(13) _

22. & " Ошибка формулы площади круга из школьных учебников в м. кв.=" & Razn
23. End Sub

После введения кода программы в окне проекта языка программирования VBA программы Microsoft Word в Module1, как показано на рис. 4, и нажатии клавиши F5, когда курсор мышки находится в коде программы, появится окно ввода радиуса круга. Смотри рисунок 3.

Рис. 3. Окно ввода данных VBA

Рис. 4. Окно проекта языка VBA

Предлагаем ввести радиус круга пространства нашей галактики величиной1000000000000 (один триллион метров) и кликнуть по кнопке ОК.

При вводе радиусе круга 1000000000000 м. в рабочем поле программы Word появится следующий результат.

Площадь круга по формуле Pi*R^2 в м. кв.=3141592653589793238462643,3833

Площадь круга по формуле Pi*R^2*k в м. кв.=3141592653589760116769601,5284

Площадь круга по формуле Pi*R^2-Pi*R*Дельтаt в м. кв.=3141592653589760116769601,5284

Высота трапеции или разность радиусов кольца в м.=0,0105429623423673

Ошибка формулы площади круга из школьных учебников в м. кв.=33121693041,8549

Результат вычисления программы показывает, что площадь круга, вычисленная по более точной формуле данной статьи, и формуле статьи журнала «Информатика в школе №8», 2018 года Зудина Василия Павловича совпали. [7] При радиусе круга R=1000000000000 м. его площадь по новым формулам равна 3141592653589760116769601,5284 м. кв.

Такое совпадение говорит о большей точности новых алгоритмов определения площади круга, поэтому предлагаем данные алгоритмы внедрять в учебный процесс, и печатать их в учебниках. Новая формула площади круга Sкруга=πR2k при решении теоретических и практических задач будет давать более точные результаты, что даст экономический эффект.

Площадь круга, данного выше задания, при вычислении по традиционным алгоритмам, формуле нашего времени при радиусе круга 1000000000000 м., имеет величину 3141592653589793238462643,3833 м. кв., что показывает значительную ошибку этой формулы, равную 33121693041,8549 м. кв.

Высота трапеции или разность радиусов колец при радиусе круга R, равном 1000000000000 м., имеет величину 0,0105429623423673 м.

6. Результаты разработки, изучения и применения новых алгоритмов площади кольца и площади круга

Применение нового алгоритма определения площади кольца и использование его для определения площади круга повысили мотивацию обучающихся при получении знаний, подтвердили большую точность новой формулы площади круга Sкруга=πR2k [7].

Новая формула площади кольца на основании данной статьи будет иметь вид

Sкольца= π·k·(R2 – R12), где R – радиус большей окружности кольца и R1 – радиуса меньшей окружности кольца, величины π и k обозначены в данном исследовании выше. У обучающихся появился интерес к креативному мышлению, решению задач, составлению алгоритмов и программ. Студенты интуитивно увидели, что новая формула площади круга может дать экономический эффект, и приближает решения задач ближе к истине.

На определение площади кольца обучающимся была дано следующее задание.

Задача

У планеты Сатурн нашей Cолнечной системы есть несколько колец, которые состоят из водяного льда с примесями силикатной пыли и органических соединений. Кольца находятся в экваториальной плоскости планеты Сатурн и вращаются в этой плоскости.

Кольцо Сатурна с названием E имеет радиус большей окружности 480000000 м. и радиус меньшей окружности 180000000 м.

Составьте алгоритм и программу на языке VBA для вычисления площади кольца E Сатурна с одной стороны между окружностями с большим и меньшим радиусами до 29 знаков по формулам данного исследования и формулам школьных учебников [4], найдите разность вычислений данных алгоритмов.

Ответ:

Площадь кольца Сатурна E по новой формуле=622035345410772503,1203811026 м. кв.

Площадь кольца Сатурна E по школьной формуле=622035345410779061,21560338987м. кв.

Завышение площади кольца Сатурна E по школьной формуле =6558,09522228727м. кв.

Студенты нашего техникума выполняли, данную задачу, с творческим настроением и высоким результатом. В кабинете информатики 12 рабочих мест, на которых выполнили задание на 5 (отлично) 82% и на 4 (хорошо) 18% обучающихся.

Список использованных источников

Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Алгебра и начала анализа: Москва: «Просвещение»; 2003 с. 383.

ISBN

5-09-011828-0

Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И.

Алгебра и начала анализа: Москва: «Просвещение»; 1985 с. 303.

Босова Л. Л., Босова А. Ю.

Информатика 11 класс. Базовый уровень: учебник. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016 с.256

.

ISBN

978-5-9963-3142-0.

Википедия–свободная энциклопедия.

Кольцо (геометрия).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцо_(геометрия)

Глейзер Г.

Д.

Геометрия. Москва: «Просвещение»; 1981 с. 319.

Зудин В. П.

Развитие креативного мышления обучающихся с помощью

нестандартных

методов вычисления числа пи // И

нформатика и образование. 2017 год, № 10; С. 3

6–37.

ISSN

0234-0453

Зудин В. П.

Нестандартный алгоритм определения площади круга с помощью цифровых технологий для развития креативного мышления обучающихся и практического

применения.

//

Информатика в школе. 2018; 8: 16 – 24.

DOI

: 10.

32517/2221-1993-2018-17-8-16-24.

Игнатьева А. В., Краснощекова Т. И., Смирнов В. Ф.

Курс высшей математики: Москва: Издательство «Высшая школа»; 1964 с. 683.

Каммингс Стив.

VBA

для «Чайников».

Москва, Санкт-Петербург, Киев

«Диалектика», 2000 с.377

.

Колмогоров А.

Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С.

Геометрия. Москва: «Просвещение»; 1982 с. 383.

Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е., Шабунин М. И.

Алгебра и начала математического анализа: Москва: «Просвещение»; 2013 с.336.

ISBN

978-5-09-024936-2.

Материал из Википедии

–

свободной энциклопедии

. Площадь круга.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Площадь_круга

Погорелов А.В.

Геометрия. Москва: «Просвещение»; 1998 с.383.

ISBN 5-09-008049-6.

Угринович Н. Д.

Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 с. 187.

ISBN

978-5-9963-0244-4.

Угринович Н. Д.

Информатика и ИКТ. Базовый уровень: Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010 с. 2

12

.

ISBN

978-5-9963-0243-7

.

Угринович Н. Д.

Информатика и информационные технологии: Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005

с

.

511.

ISBN

5-9477

4

-189-

X

.