Особенности методов решения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики | Артебякин Степан Александрович. Работа №223857

Особенности методов решения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики
В настоящее время развивающая функция обучения стала приоритетной в школьном образовании. То есть на первом месте стоит задача сформировать интеллектуально развитую личность в процессе учебно-познавательной деятельности. И, бесспорно, математика является одним из главных предметов школьного курса, который помогает в воспитании мыслящей личности.
Математика имеет множество разделов, с каждым из которых связаны свои трудности и сложности. Однако в этой статье я хотел бы рассмотреть такой раздел математики, как тригонометрия.
Уже давно можно сказать, что тригонометрия не существует как отдельная дисциплина школьного курса. Она входит как в геометрию и алгебру, так и в алгебру и начала анализа.
Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.
В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:
1. Решение уравнений и неравенств;
2. Решение систем уравнений и неравенств;
3. Доказательство неравенств.
Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что большое внимание уделяется первому и второму направлениям.
Существует множество различных методов решения тригонометрических уравнений и неравенств. Познакомимся для начала со способами решения тригонометрических уравнений. Существует семь основных видов решения данных уравнений.
Алгебраический метод или метод замены переменной
Разложение на множители
Приведение к однородному уравнению Уравнение называется однородным относительно sinх и cosх, если все его члены одной и той же степени относительно sinх и cosх одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить наcosх ( или sinх ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tgx .
Переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Преобразования произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы
Универсальная подстановка
Кроме того, стоит отметить графический метод (решение путем построения графика), функциональный метод (в решении используются некоторые теоремы), а также метод функциональной подстановки, который является частным случаем функционального метода. Отдельным случаем функциональной подстановки идет метод тригонометрической подстановки.
При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре (замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии.
Любое тригонометрическое неравенство, каким бы большим и запутанным оно не казалось вначале, можно с помощью тождественных преобразований свести к простейшему (нескольким простейшим) тригонометрическим неравенствам. Затем мы можем решить их либо используя тригонометрический круг, либо сам график полученной функции. В действительности, в школьном курсе нет жесткой регламентации, каким из указанных двух способов пользоваться при решении тригонометрических неравенств, но тригонометрический круг все же нагляднее.
С помощью тригонометрических тождеств, приводим неравенство к простейшему виду, а затем решаем его, используя тригонометрический круг или график. Для решения также необходимо знать некоторые формулы косинуса, синуса, тангенса, котангенса.
Бесспорно, в настоящее время возросла необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.
Следует отметить, что для успешного решения тригонометрических уравнений и неравенств требуется систематизация знаний учащихся по всем разделам тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.). Кроме того, устанавливаются связи и с изученным материалом по алгебре и геометрии.
Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.
Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что тригонометрические уравнения и неравенства разделяются на несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.
Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.
Другая особенность – в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, - в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.
Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математике и развитии личности в целом.