Поразрядное представление числа – метод решения задач на цифровую запись числа | Гридина Надежда Викторовна. Работа №346212

МуниципальнАЯ БЮДЖЕТНАЯ общеобразовательнАЯ

ОРГАНИЗАЦИЯ «ЛИЦЕЙ»

ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА Б. Н. ЕРЯШЕВА

ГОРОДСКОГО ОКРУГА ФРЯЗИНО МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОРАЗРЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА –

МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЦИФРОВУЮ ЗАПИСЬ ЧИСЛА

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

учитель математики

МБОО «Лицей»

имени Героя Советского Союза Б. Н. Еряшева

г. о. Фрязино Московской области

ГРИДИНА НАДЕЖДА ВИКТОРОВНА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2024 г.

ВВЕДЕНИЕ

 

«Если запастись терпением и проявить старание,

то посеянные семена – знания

непременно дадут добрые всходы.

Ученья корень горек, да плод сладок»

Леонардо да Винчи

 

Актуальность выбора темы методической разработки «Поразрядное представление числа – метод решения задач на цифровую запись числа» обусловлена тем, что в школьных учебниках по алгебре можно встретить данного типа задачи, однако их недостаточно и в них отсутствует чёткое, компактное изложение соответствующей теории.

Цели создания методической разработки направлены на:

формирование у

обучающихся

устойчивого интереса к познавательному процессу при изучении математики;

обеспечение прочного и сознательного овладения

обучающимися

системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества;

осознание степени интереса обучающихся к предмету «математика» и оценка возможности овладения предметом с точки зрения дальнейшей перспективы;

формирование качества мышления, характерного для математической деятельности;

выявление и развитие математических способностей учащихся, ориентация на выбор профиля дальнейшего обучения, на выбор профессии, существенным образом связанной с математикой;

рассмотрение универсальных алгоритмов

при решении

задач на цифровую запись числа

.

 

Задачи на цифровую запись числа рассматриваются как средство обобщения и систематизации знаний обучающихся на повышенном уровне разделов курса математики: уравнения, системы уравнений, делимость, зависимость между величинами.

Основная задача при обучении решению задач на цифровую запись числа – повысить математические знания обучающихся в рамках школьной программы по математике углубленного уровня и дать возможность применять эти знания при решении заданий ВПР, РДР, ЕГЭ.

При решении задач данного вида обучающиеся овладевают приёмами аналитико – синтетической деятельности, повышается роль дедукции.

При обучении решению применяются современные педагогические технологии обучения: сотрудничества, дифференцированного обучения, личностно – ориентированного обучения, проблемного обучении, цифровые, информационно – коммуникативные технологии.

В основе реализации обновленных ФГОС ООО лежит системно – деятельностный подход, который обеспечивает:

формирование готовности к саморазвитию и непрерывному образованию; проектирование и конструирование социальной среды развития

обучающихся

в системе образования;

активную

учебно

– познавательную деятельность

обучающихся

;

построение образовательного процесса с учетом индивидуальных возрастных психологических и физиологических особенностей обучающихся.

В процессе обучения решению задач на цифровую запись числа формируются умения, связанные с усвоением (открытием, преобразованием и применением) учебной информации по данной теме и с планируемыми результатами.

В ходе учебно – познавательной деятельности при обучении решению задач на цифровую запись есть возможность у обучающихся формировать универсальные учебные действия (регулятивные, познавательные, коммуникативные):

регулятивные УУД.

умение самостоятельно ставить цели, обнаруживать учебную проблему;

выдвигать версии (гипотезы) решения проблемы, осознавать (и интерпретировать в случае необходимости) конечный результат, выбирать средства достижения цели

из

предложенных, а так же искать их самостоятельно;

работая по плану, сверять свои действия с целью и при необходимости исправлять ошибки самостоятельно (в том числе и корректировать план);

способности адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;

умению устанавливать причинно-следственные связи;

строить

логические рассуждения

, умозаключения (индуктив

ные, дедуктивные и по аналогии) и делать выводы;

выполнять учебные действия в устной и письменной речи;

планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;

проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

обобщение теоретического материала.

обобщение способов и методов решения задач на данную тематику;

коммуникативные УУД.

использовать простые речевые средства для передачи своего мнения;

понимать содержание вопросов и воспроизводить вопросы;

развитие способности организовывать учебное сотруд

ничество и совместную деятельность со сверстни

ками: определять цели, распределять функции и роли участников, взаимодействовать и находить общие способы работы;

умения работать в группе: находить общее решение, договариваться друг с другом;

слушать партнёра; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;

воспитание уверенности в себе, активности, умения работать в коллективе, стремление достигать поставленной цели.

познавательные УУД.

умение находить в различных источниках (ресурсы библиотек и Интернета) информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения текстовых задач в зависимости от конкретных условий;

анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;

умение понимать и использовать математические средства наглядности (таблицы) для иллюстрации, интерпретации, аргументации:

в сотрудничестве с учителем проводить классификацию изучаемых объектов.

§ 1. Теория для решения задач на десятичную запись числа

методом поразрядного представления числа

 

Запись чисел называется десятичной так как числа в ней написаны в десятичной системе исчисления. Эта система составлена всего из 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При решении задач на цифровую запись числа необходимо акцентировать внимание на преимущество позиционной системы записи чисел.

Рассмотрим поразрядное представлении чисел в десятичной системе счисления.

Например, <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>.

Введём обозначение <Object: word/embeddings/oleObject2.bin> - данное числа, эта запись означает число, в котором а сотен, b десятков, с единиц.

Это число можно представить в виде многочлена

<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>, где a+b+c – сумма цифр.

Может показаться, что черта над этой записью — излишний атрибут, но это нет так.

Если убрать черту, то получится выражение abc, которым принято обозначать произведение переменных. Поразрядное представление числа — достаточно распространённый метод решения задач. 

 

§ 2. Задачи на десятичную запись

и алгоритмы решений с помощью уравнений

 

Найдите все двузначные числа, которые в 2 раза больше суммы своих цифр.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject5.bin>>(a+b) в 2 раза, тогда получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>;

10a + b = 2(a + b);

10a + b = 2a + 2b;

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>

Так как а и <Object: word/embeddings/oleObject8.bin> это цифры двузначного числа, то b делится на 8 без остатка, но есть только две цифры, которые делятся на 8, а именно 0 и 8.

Если <Object: word/embeddings/oleObject9.bin>= 0, то а = 0, не удовлетворяет условию задачи;

если <Object: word/embeddings/oleObject10.bin>= 8, то а = 1, получаем число 18.

Ответ: 18.

Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject12.bin>>(a+b) в 4 раза, тогда получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>;

10a + b = 4(a + b);

10a + b = 4a + 4b;

<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>

Так как а и <Object: word/embeddings/oleObject15.bin> это цифры двузначного числа, то b делится на 2 без остатка, то есть цифры, которые делятся на 2, это 2, 4, 6, 8.

Если <Object: word/embeddings/oleObject16.bin>= 2, то а = 1, получаем число 12.

если <Object: word/embeddings/oleObject17.bin>= 4, то а = 2, получаем число 24;

если <Object: word/embeddings/oleObject18.bin>= 6, то а = 3, получаем число 36;

если <Object: word/embeddings/oleObject19.bin>= 8, то а = 4, получаем число 48.

Ответ: 12, 24, 36, 48.

Найдите в

се двузначные числа, которые в 6

раза больше суммы своих цифр.

Решение.

Первый способ. Метод поразрядного разложения числа.

<Object: word/embeddings/oleObject20.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject21.bin>>(a+b) в 6 раз, тогда получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject22.bin>;

10a + b = 6(a + b);

10a + b = 6a + 6b;

<Object: word/embeddings/oleObject23.bin>

Так как а и <Object: word/embeddings/oleObject24.bin> это цифры двузначного числа, то b делиться на 4 без остатка, но есть только три цифры, которые делятся на 4 без остатка, а именно 0, 4 и 8.

Если <Object: word/embeddings/oleObject25.bin>= 0, то а = 0, не удовлетворяет условию задачи;

если <Object: word/embeddings/oleObject26.bin>= 4, то а = 5, получаем число 54;

если <Object: word/embeddings/oleObject27.bin>= 8, то а = 10, удовлетворяет, так как а это цифра числа.

Ответ: 54.

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject28.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject29.bin>> (ab) в 2 раза, тогда получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject30.bin>;

<Object: word/embeddings/oleObject31.bin>

Правая часть данного равенства чётная, так как делится на 2, то равенство выполняется при чётном b > 0.

Пусть b = 2c, тогда получим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject32.bin>

Так как  b < 10,  то  c < 5, то (2a – 1) делится на 5. Значит, c = 3,  b = 6, то a = 3, значит, данное число 36.  Ответ: 36.

Найдите двузначное число, которое в

6

раз больше

произведения своих

цифр.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject33.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject34.bin>> (ab) в 6раз, тогда получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject35.bin>;

<Object: word/embeddings/oleObject36.bin>

Правая часть данного равенства чётная, так как делится на 2, то равенство выполняется при чётном b > 0.

Пусть b = 2c, тогда получим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject37.bin>

Так как  b < 10,  то  c < 5, то (6a – 1) делится на 5.

Значит, c = 1,  b = 2, то a = 1, значит, данное число 12. 

Ответ: 12..

В двузначном числе, не превосходящем 

50,

первую цифру увеличили на 

4.

Получившееся число оказалось в три раза больше исходного. Найдите первоначальное число.

Решение. 

<Object: word/embeddings/oleObject38.bin> - данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject39.bin>, если первую цифру увеличили на 4, то число примет вид <Object: word/embeddings/oleObject40.bin>.

Зная, что <Object: word/embeddings/oleObject41.bin>><Object: word/embeddings/oleObject42.bin> в 3 раза, получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject43.bin>

Ответ: 20.

Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Найдите все числа, обладающие таким свойством.

(

Демоверсия ВПР по математике 7 класс, задание 17, 2025 г.)

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject44.bin> - задуманное трёхзначное число где с <Object: word/embeddings/oleObject45.bin>0.

<Object: word/embeddings/oleObject46.bin>- полученное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject47.bin> - <Object: word/embeddings/oleObject48.bin> = 792. получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject49.bin>

Если с = 1, то а = 9, получаем число <Object: word/embeddings/oleObject50.bin>, следовательно числа, обладающие таким свойством: 901, 911, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.

Ответ: 901, 911, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.

Критерий оценивания данного задания на ВПР.

Обоснованно получен верный ответ

2 балла

Дан верный ответ, но решение недостаточно обоснованно

ИЛИ

Ход решения верный, но допущена арифметическая ошибка.

1 балл

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

0 баллов

Максимальный балл

2 балла

 

Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переставить в начало числа, то новое число будет больше утроенного первоначального числа на 1. Найти исходное число.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject51.bin> - задуманное трёхзначное число.

<Object: word/embeddings/oleObject52.bin>- полученное число, если эту цифру переставить в начало числа,

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject53.bin> > 3<Object: word/embeddings/oleObject54.bin>на 1, составим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject55.bin>

Значит, а = 1, b = 0, то задуманное трёхзначное число 103.

Ответ: 103.

Четырёхзначное число начинается с цифры 7. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 2997 меньше исходного. Найдите исходное число.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject56.bin>- данное число. <Object: word/embeddings/oleObject57.bin>.

<Object: word/embeddings/oleObject58.bin>- полученное число. <Object: word/embeddings/oleObject59.bin>

Зная, что <Object: word/embeddings/oleObject60.bin>< <Object: word/embeddings/oleObject61.bin>на 2997, получим и решим уравнение:

<Object: word/embeddings/oleObject62.bin>= <Object: word/embeddings/oleObject63.bin> + 2997.

<Object: word/embeddings/oleObject64.bin>

Ответ: 444.

 

 

 

 

Упражнения

 

Тр

ё

хзначное число сложили с числом

,

записанным теми же цифрами

,

но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите цифру десятков исходного трехзначного числа

.

Ответ: 9. 

Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано? (учебник алгебры

№ 763

стр. 158).

Ответ: 13.

Если к данному числу приписать цифру 9

и к полученному числу приба

в

ить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число

.

(

у

чебник алгебры № 76

4

стр. 15

9

).

Ответ 52.

К трёхзначному числу справ приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число

.

(

у

чебник алгебры № 765 стр. 159).

Ответ 246.

Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру

переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число

.

(

у

чебник алгебры № 766 стр. 159).

Ответ 417.

Трёхзначное число оканчивается цифрой 2. Если эту цифру переставить в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найдите это число.

Ответ 202.

 

§ 3. Задачи на десятичную запись

и алгоритмы решений с помощью систем уравнений

 

Сумма цифр искомого двузначного числа равна 8. Если цифры числа переставить, то получится число, которое меньше на 18. Как велико искомое число?

Решение. 

<Object: word/embeddings/oleObject65.bin> - данное двузначное число. По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject66.bin><Object: word/embeddings/oleObject67.bin><<Object: word/embeddings/oleObject68.bin>на 18, то составим и решим систему уравнений:

<Object: word/embeddings/oleObject69.bin>

Ответ: 53.

Если к двузначному числу прибавить 9, то получится число, записанное в обратном порядке теми же цифрами. Найти искомое число, если ещё известно, что сумма цифр этого числа равна 15.

Решение.

<Object: word/embeddings/oleObject70.bin>- данное двузначное число.

По условию задачи <Object: word/embeddings/oleObject71.bin><Object: word/embeddings/oleObject72.bin>, тогда получим и решим систему уравнений:

<Object: word/embeddings/oleObject73.bin>;

Ответ 78.

Упражнения

 

Если задуманное число разделить на сумму его цифр

, то в частном получится

4 и в остатке 3. Если же из задуманного числа вычесть

удвоенную сумму его

цифр, то получится 25.

Какое число задумано?

Ответ: 47.

Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на 4 меньше числа его десятков, а произведение искомого числа и суммы

его цифр

равно 1330.

Ответ: 95.

После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7 и в остатке 6.

После деления этого же числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11.

Найдите это двузначное число.

Ответ: 83.

Сумма квадратов цифр двузначного числа

равна 10. Если от искомого числа отнять 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Ответ: 31.

Сумма кубов цифр двузначного числа меньше разности кубов цифр этого же числа на 2. Найдите исходное число.

Ответ. 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.

Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 6 раз больше произведения

с

воих

ц

ифр

.

Ответ: 12

У пятизначного числа первая и последняя цифра половина десяти. Сумма 1,

2,

3 цифр меньше на 4 произведения 3,

4 цифр. А сумма всех цифр больше на 4 произведения 3 и 4 цифр. Найдите исходное число.

Ответ. 57835.

 

Источники

 

Кострикина

Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение.1991.

Математика.

Алгебра

:

7

-й

класс

: базовый уровень : учебник / Ю.Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк

, К. И.

Нешков

, С. Б. Суворова : под. Ред. С. А.

Теляковского

. 16-е изд., стер. – Москва

:

Просвещение, 2024.

З

адач

и

по теме с решениями

на 

сайте

problems.ru

.

Демоверсия ВПР математика 7 класс 2025 г.