Разработка банка заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ЕГЭ по теме «Решение рациональных уравнений» | Карпюк Ольга Григорьевна. Работа №364633

Разработка банка заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ЕГЭ по теме «Решение рациональных уравнений»

Рациональное уравнение – важнейшее базовое понятие математики. Прочное его освоение создаёт условия для осознанного понимания изложения теории и решения разнообразных задач путём отбора оптимального метода решения.

Цель: создать удобный банк задач для решения рациональных уравнений, который поможет выпускникам школ успешно сдать ЕГЭ по математике.

В кодификаторе проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы СОО и элементов содержания для проведения ЕГЭ по математике сформулированы требования к уровню подготовки выпускников основной школы, в разделе 2.1 прописано, что учащиеся должны уметь решать рациональные уравнения, неравенства и их системы».

Умение решать уравнения различных видов позволяет обеспечить подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры. Также это связано с обилием различных типов алгебраических задач и с многообразием приемов и методов их решения. Чаще всего, трудности при решении рациональных уравнений возникают по следующим причинам:

материал по теме либо был плохо усвоен в основной школе, либо уже забылся учащимися;

для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются при изучении основного курса алгебры, либо не отрабатываются.

Чтобы изменить сложившуюся ситуацию, необходимо провести систематизацию знаний, полученных учениками в основной школе.

Основные понятия в теории рациональных уравнений. Классификация рациональных уравнений.

Определение 1: Рациональное выражение с одной переменной – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Определение 2: Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения. При этом если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называют целым. Целое рациональное уравнение может быть записано в виде, где – некоторые числа. К простейшим целым рациональным уравнениям относятся линейные и квадратные уравнения.

Рациональные уравнения делятся на две большие группы: целые и дробные.

Определение 3: Рациональное уравнение будет являться целым в том случае, если в записи левой и правой его частей содержатся целые рациональные выражения.

Определение 4: Рациональное уравнение будет являться дробным в том случае, если одна или обе его части содержат дробь

Для решения такого уравнения нужно:

перенести все члены уравнения в одну часть;

найти общий знаменатель всех имеющихся дробей и преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби

, где

Р(х)

и

Q

(х)

– многочлены;

заменить уравнение целым, умножив обе части на общий знаменатель;

решить полученное целое уравнение;

исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Банк заданий по теме «Рациональные уравнения»

№1 а) Решите уравнение х2 – 12 +  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  

Решение. 

а) Раскроем скобки х2 – 12 +

Пусть  , тогда х2 – 12 + = t2.

Получаю уравнение t2 + t = 0, откуда t = -1 или t = 0. Т.к. х ≠ 0 получаю:

б) Заметим, что – 3 < - 2,5 < - < 2 < . Получаю, что - и

2  

Ответ: а)

№2. Решите уравнение: (х + 3)4 + (х + 5)4 = 16.

Решение. 

Преобразуем уравнение: ((х + 4) - 1)4 + ((х + 4) + 1)4 = 16.

Пусть х + 4 = у, тогда (у - 1)4 + (у + 1)4 = 16

(у4 – 4у3 + 6у2 – 4у +1) + (у4 + 4у3 + 6у2 + 4у +1) = 16;

2у4 + 12у2 – 14 =0;

у4 + 6у2 – 7 =0.

Пусть у2 = а, где а > 0.

а2 + 6а – 14 =0, корни уравнения: а1=-7, а2=1

а = - 7 не подходит по условию а > 0.

Возвращаемся к переменной у:

у2 =1, у = ±1.

Возвращаемся к переменной х:

х + 4 = -1 х + 4 = 1

х = -5 х = - 3

Ответ: -5; -3.

№3. а) Решите уравнение <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-2;2].

Решение. Условие: х-2<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>0; х<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>2.

Введу замену переменной: t=<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>.

Тогда <Object: word/embeddings/oleObject5.bin><Object: word/embeddings/oleObject6.bin>

<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>.

Значит, исходное уравнение можно переписать в виде:

<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>

Вернусь к исходной переменной x.

1) Если t=4, то <Object: word/embeddings/oleObject9.bin> Решу получившееся дробно-рациональное уравнение при условии, что х<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>2.

<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>

2) Если t=<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>, то <Object: word/embeddings/oleObject13.bin> Решу получившееся дробно-рациональное уравнение при условии, что х<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>2.

б) Выберу из получившихся корней те, которые принадлежат отрезку [-2;2].

х=<Object: word/embeddings/oleObject15.bin> х=<Object: word/embeddings/oleObject16.bin> х=4<Object: word/embeddings/oleObject17.bin> х= -1<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>.

Ответ: а)<Object: word/embeddings/oleObject19.bin>. б) <Object: word/embeddings/oleObject20.bin>

В ходе решения рациональных уравнений у учеников возникает необходимость:

а) в решении квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным;

б) в решении простых дробных рациональных уравнений;

в) в умении решать уравнения методом введении новой переменной;

г) в отработке применений формул сокращенного умножения;

д) в решении биквадратных уравнений.

е) в умении, при отборе корней, оценивать выражения, содержащих квадратные корни.

Для отработки этих подзадач предлагаю ученикам соответствующего рода задания.

№1. Решите квадратное уравнения:

1) -3х2 + 75 = 0 Ответ: -5 ; 5 .

2) 4х2 + 12х = 0 Ответ: 0; - 3.

3) 4х2 + 8 = 0 Ответ: нет корней

Ответ: 2;7

Ответ: -1

Ответ: 1,5; 4

№2. Найди корни уравнения:

1)    Ответ: 6

2)   Ответ: −0,4

3)    Ответ: 1

№3. Решите уравнения методом введения новой переменной:

1) х4 -13х2 + 12 = 0 Ответ: -2 ; -1; 1; 2 .

2) х4 -5х2 + 4 = 0 Ответ: -2; -1; 1; 2.

3) х4 + 40х2 - 41 = 0 Ответ: -1; 1

4) (2х – 21)2 - 5(2х – 21) + 4 = 0 Ответ: 11; 12,5

5) (х + 3)2 - 4(х + 3) = 21 Ответ: -10; 4

6) (5х + 3)2 = 3(5х + 3) - 2 Ответ: -0,2; -0,4

№3. Оцени значение выражения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ответы:

№4. Решить рациональные уравнения повышенного (высокого) уровня сложности:

1. а) Решите уравнение <Object: word/embeddings/oleObject21.bin>

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку [-6;-4].

Ответ: а)<Object: word/embeddings/oleObject22.bin>. б) <Object: word/embeddings/oleObject23.bin>

2. а) Решите уравнение +  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  

Ответ: -1; 4; 6±

3. а) Решите уравнение +  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  

Ответ: -1; 5; 7±

4.Решите уравнение: (х - 2)4 + (х - 3)4 = 1.

Ответ: 2; 3.

5 Решите уравнение: (х - 2)6 + (х - 4)6 = 64.

Ответ: 2; 4.

Используемая литература

Аверьянов

Д.И.и

др. Большой справочник для школьников и поступающих в ВУЗы. Математика. Изд. Дрофа

Алгебра, авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г.

Миндюк

, К. И.

Нешков

, С. Б. Суворова / под ред.

С.А.Теляковского

,у

чебник

для общеобразовательных учреждений, изд. Просвещение.

ЕГЭ по математике — Профиль 2023. Открытый банк заданий с ответами. — matdiv00.ru

Открытый банк заданий ЕГЭ (fipi.ru)