Решение рациональных (дробно-рациональных) уравнений | Валиева Альбина Жикписбаевна. Работа №318455

Решение рациональных (дробно-рациональных) уравнений

Валиева А.Ж.

В настоящей статье автор рассматривает методические приемы, используемые им на практике, для обучения школьников решению рациональных уравнений. Приемы подкреплены примерами. Статья адресована учителям математики, особенно может быть полезна молодым и малоопытным учителям.

Проблемы, связанные с обучением школьников решению задач, была и остается актуальной. Заметим, всякое уравнение есть задача. Записью этой задачи является равенство. Уравнение – это такая задача, в которой требуется найти значения этой переменной (или переменных). Искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче-уравнении, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в уравнении, они обращали его в истинное высказывание, то есть верное равенство. Эти значения переменной (переменных), удовлетворяющие уравнению, называются решениями уравнения. В случае уравнения с одной переменной решения называют корнями. Напомним, что слово «решение» обозначает также и процесс отыскания решения. Так что каждый раз следует понимать, о каком смысле слова «решение» идет речь.

Не секрет, что обучающиеся, весьма успешные в освоении математики, нередко испытывают значительные затруднения, когда сталкиваются с задачами. Эти затруднения носят различный характер и могут быть объяснимы различными причинами. В данной статье хотелось бы остановиться на отдельных педагогических приемах формирования у школьников умений решать уравнения.

Сведение уравнения к уравнениям простейшего вида производится с помощью правил равносильности уравнений. Как вы знаете, равносильными уравнениями считаются такие два уравнения множество решений которых совпадают в множестве чисел, на котором рассматривается решение уравнений. Это значит, что всякое решение первого уравнения удовлетворяет и второму уравнению и, обратно, всякое решение второго уравнения удовлетворяет и первому.

При решении уравнений используются еще понятие следствие уравнения, а именно, если известно лишь, что все решения первого уравнения удовлетворяют второму уравнению (а обратное неизвестно), то второе уравнение называется следствием первого.

В математике установлены правила (теоремы), позволяющие преобразовывать данное уравнение в ему равносильное.

Напомним некоторые правила. Для преобразований уравнений используются правила.

Замена любого выражения, входящего

в уравнение

, ему тождественно равным.

Если

к обеим частям уравнения прибавить ил

и отнять одно и то же выражение, имеющее

смысл в области определения уравнения

, то получим уравнение, равносильное данному.

Ес

ли обе части уравнения умножить или разд

елить на одно и то же выражение, имеющее

смысл в области определения данного уравнения и в

этой

области не

равное нулю

,

то получим уравнен

ие,

равносильно

е

исходному

.

Если

левая ч

асть уравнения есть произведение нескольких выражений, а правая нуль, то совокупность,

объединение уравнений

, левая часть которых есть со

множители произведения

, а правая нуль, являе

т

ся следствием данного уравнения.

Если

обе части уравнения в

озвысить в одну и ту же степень, то получим уравнение,

являющееся следствием данного

. Заметим,

что если обе части данного уравнения сохраняют в области его определения неотрицательное значение

, то,

возв

ыш

ая обе части уравнения в одну и ту же степень

,

получим уравнение

,

равносильное данному

.

Пользуясь этими правилами, можно решить любое уравнение. При этом когда мы пользуемся лишь правилами, в результате применения которых получаются равносильные уравнения, то никакой особой проверки решения уравнения не требуется. Если же использовалось какое-либо правило, применение которого дает лишь следствие данного уравнения, то проверка решения необходима. За этим очень важно следить, ибо забвение этого приводит либо к приобретению посторонних корней, либо к потере корней, то есть к неверному ответу

Основными рациональными уравнениями с одной переменной являются линейные и квадратные уравнения. Их решение вам хорошо знакомо.

Все остальные рациональные уравнения приводятся с помощью различных преобразований к этим основным уравнениям, то есть к линейным и квадратным. Этими преобразованиями являются следующие:

если уравнение дробное, то сна

чала приводя

т его к целому виду, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей при этом нужно

помнить,

что согласно

правилу,

мы получим лишь следствие исходного уравнения

.

ес

ли уравнение целое

,

то используют

два

способа

преобразований:

а) замену переменных (введение новых переменных);

б) разложение левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю.

Решение дробно рациональных уравнений.

Уравнение вида , где p(x) и q(x) - целые выражения, называется дробно-рациональным. Уравнения, приводимые посредством тождественных преобразований к уравнениям вида , также называют дробно-рациональными.

Дробно-рациональные уравнения решают либо с использованием равносильного перехода и условия равенства дроби нулю, либо с использованием неравносильного перехода к уравнению-следствию и обязательной проверкой корней.

1 способ: уравнение умножают на общий знаменатель всех дробей, решают полученное целое уравнение и проверяют, не обращают ли найденные корни знаменатель в нуль.

2 способ: сначала все слагаемые переносят в одну часть, приводят дроби к общему знаменателю и представляют уравнение стандартном виде , после чего отдельно решают первое уравнение и второе неравенство. Иногда вместо решения второго неравенства выполняют проверку корней первого уравнения, подставляя их во второе неравенство.

Покажем на примерах использование этих преобразований.

Решить уравнение

Решение. Данное уравнение дробное. Чтобы привести его к целому виду, умножим обе части на общий знаменатель всех дробей: ,так как =(x-1)(x+2). Будем помнить, что получим лишь следствие исходного уравнения:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов в каждой части уравнения получим: .

Перенесем теперь все члены в левую сторону и сделаем приведение подобных членов, получим .

Разложим левую часть уравнения на множители: .

Получим совокупность двух линейных уравнений. Отсюда , .

Так как в процессе решения мы использовали преобразования, приводящие к следствиям уравнения, то необходима проверка. Подстановка в исходное уравнение показывает, что является посторонним корнем, так как нуль не входит в область определения уравнения, а удовлетворяет уравнению.

Ответ: .

Решим уравнение с использованием равносильного перехода и условия равенства дроби нулю.

Сначала все слагаемые перенесем в одну часть:

Затем приведем дроби к общему знаменателю и представим уравнение в стандартном виде:

Таким образом:

После раскрытия скобок в числителе уравнения получим:

Приведем подобные слагаемые:

Осуществим равносильный переход к системе:

После чего отдельно решаем первое уравнение и второе неравенство.

Разложим левую часть уравнения на множители: .

Получим совокупность двух линейных уравнений. Отсюда , .

Отсюда, .

Решением системы будет .

Ответ: .

Библиографический список

Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. как научиться решать задачи: пособие для учащихся. – 2-е изд., перераб. И доп. – М.: Просвещение, 1984.- 175 с., ил.

Мордкович А.Г., Суходский А.М. Справочник школьника по математике 7-9 класса. Арифметика, тригонометрия, алгебра. – М.: Аквариум, 1997. – 256 с.

Новейшие методы повышения эффективности обучения математике в

школе. Составитель Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – 240 с.

Онищук В.А. Урок в современной школе. Пособие для учителей. – М.:

Просвещение, 1981. – 191 с.

Зотов Ю.Б. Организация современного урока: Книга для учителя / Под

редакцией П.И. Пидкасистого. – М.: Просвещение, 1984. – 144 с.

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для

учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.:

Просвещение, 1995. – 176 с.

Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение

курса алгебры и математического анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1986.