Решение текстовых задач с помощью систем уравнений. | Буланова Светлана Вячеславовна. Работа №346010

ПОИСК ПУТЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ НА ПРИМЕРЕ УРОКА В 9-ОМ КЛАССЕ «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»

Уроки на подобные темы играют системообразующую роль в развитии математического мышления: учат строить математическую модель в виде системы уравнений по вербальному тексту. В сущности, это сложно, так как надо словесную формулировку зависимостей представить в виде формальной математической формулы, совершив выбор обозначений с учетом их соотношений. Учащиеся должны проявить способность к простейшей творческой работе, дабы получить возможность перейти к алгоритмическому этапу решения.

Конспект задачи играет роль зрительной наглядной схемы для более быстрого совершения формализации текста задания.

Цель урока: закрепление навыков решения систем уравнений, применение знаний о системах уравнений к решению текстовых задач, разбор нестандартных ситуаций.

Технические средства: заготовки для конспекта.

Ход урока.

Первая часть урока посвящена повторению методов решения систем уравнений. Предлагаются две системы:

Первая – это система линейных уравнений. Обращаю внимание учеников на то, что данную систему легче решить способом сложения. Вторая система уравнений содержит однородное уравнение второй степени. В ходе урока ученикам будет предложена задача, при решении которой мы получим подобное уравнение. Именно поэтому в начале урока важно повторить методы решения систем однородных уравнений.

Далее переходим непосредственно к разбору задач. Каждый ученик получает конспекты, которые в ходе урока должны быть полностью заполнены.

Задача 1.

Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер; при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если они плывут против течения, то пароход идет от В до А в два раза быстрее (по времени, а не по скорости), чем катер. Найти скорости парохода и катера в стоячей воде.

При решении задач от учеников требуется объяснение того, как были выбраны неизвестные, составлены уравнения, решены полученные системы уравнений и неравенств. Это занимает достаточно много времени урока. Решить данную проблему помогают таблицы, которые на небольшой площади воспроизводят определенный объем информации в систематизированном виде. Подобные таблицы приведены в конспекте. Они предназначены для составления системы уравнений. В ходе беседы с учащимися таблицы заполняются и с их помощью уже не составляет труда записать уравнения. В первой задаче имеем систему:

Здесь x км/ч – скорость парохода, y км/ч – скорость катера, z км/ч – скорость течения, S км – расстояние от A до B. Решая эту систему, получим: x=20, y=12. Итак, скорость парохода – 20 км/ч. Скорость катера – 12 км/ч.

Задача 2.

Из пункта А в пункт В выходит автомобиль, и одновременно из В в А с меньшей скоростью выходит мотоцикл. Через некоторое время они вcтречаются, и в этот момент из В в А выходит второй мотоцикл, который встречается с автомобилем в точке, отстоящей от точи встречи автомобиля с первым мотоциклом на расстоянии, равном 2/9 пути от А до В. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то расстояние между точками встречи равнялось бы 72 км, и первая встреча произошла бы через 3 часа после выезда автомобиля из пункта А.

При решении второй задачи ученикам предлагается заполнить таблицу № 2. Обращаю внимание учеников на то, что таблица разделена на две части. В первой части записываются результаты, которые получаются при скорости автомобиля x км/ч. Во второй части таблицы неизвестные величины те же, но значения их будут другие, так как скорость автомобиля, время до первой встречи и расстояние между точками встречи изменились.

Задача сложная, но после заполнения таблицы, когда информация приведена в систему, составить уравнения , необходимые для решения задачи, не составляет труда. Получим систему уравнений:

После упрощения имеем следующую систему:

Второе уравнение системы есть однородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Решая его, найдем отношение x:y. Получим: y=2x, y=x. По условию задачи xy, поэтому y=x. Подставляя это значение y в третье уравнение, находим, что x=80 или x = 12. По условию задачи x20. Поэтому x=80. Тогда s=300. Расстояние АВ равно 300 км.

При решении вышеуказанной системы уравнений необходимо правильно отобрать значения переменных, которые не противоречат условию задачи. Именно поэтому задача интересна как учителю, так и ученику.

Приложения.

Конспект для решения задачи 1.

x км/ч – скорость парохода, x 0;

y км/ч – скорость катера, y 0;

z км/ч – скорость течения, z 0;

s км – расстояние от А до В, 0;

Скорость по течению

Время по течению

Скорость против течения

Время против течения

Пароход

Катер

Составим систему уравнений:

ОТВЕТ:

Конспект для решения задачи 2.

x км/ч – скорость автомобиля, x 0;

у км/ч – скорость мотоцикла, y 0;

s км – расстояние от А до В;

t часов – время до первой встречи;

.------------------------------------.-------------.----------------.

А С Д В

С – точка первой встречи;

Д – точка второй встречи;

АС

ВС

СД

ВД

Время до второй встречи

Скорость

АС

ВС

СД

ВД

Время до второй встречи

Автомобиль

xt

x-20

3(x-20)

72

Перв. мотоц

yt

y

3y

Втор. мотоц

t-

y

3y-72