Решение тригонометрических уравнений | Малышева Оксана Леонидовна. Работа №310735. Номер работы: №310735

Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Цель: познакомить обучающихся с общей схемой решения тригонометрических уравнений различных типов. Научить решать уравнения, приводимые к квадратным, однородные уравнения 1-ой и 2-ой степени, а так же объяснить метод введения дополнительного угла.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II.Проверка домашнего задания

Наличие письменного задания проверяют дежурные

III. Актуализация ЗУН.

1.Решить уравнение:

a) ; б) ; в)

2. Вопросы к обучающимся:

1)Какие два уравнения получились в случае «а»?

2) Какой показатель степени имеет (-1) в случае «б»?

3) Какие шаги приводят нас к нахождению значения угла х в случае «в»?

IV. Изучение нового материала.

- Вы уже научились решать простейшие тригонометрические уравнения, но на практике тригонометрические уравнения в таком удобном виде встречаются редко. Чтобы получить такие уравнения часто надо выполнить ряд тождественных преобразований. Рассмотрим некоторые типы тригонометрических уравнений.

1.Уравнения a sin2x+b sin x + c=0; a сos2x+b сos x+ c=0, приводятся к квадратным, относительно новой переменной t , где t= sin x или t= cos

Обратите внимание: уравнение желательно привести к одной функции и одному аргументу.

П р и м е р .   Решить уравнение: 2 сos2x +5 sin x = 5.

Образец рассуждений:

Выражаем: сos2x = 1- sin2x

и подставляем в уравнение: 2(1- sin2x) +5 sin x − 5= 0.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем: 2 sin2x -5 sin x +3 = 0. Пусть t = sin x, │ t │≤ 1, тогда

2 t 2 -5 t +3 = 0.

Корни полученного квадратного уравнения: = 3/2; = 1

Обратная замена: cos x = 3/2 нет решений; cos x = 1

x = +2πn, n є Z.

Ответ: +2πn, n є Z.

2. Однородное тригонометрическое уравнение первой степени — это уравнение вида a sin x + b cos x = 0

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени имеют общий вид: a sin2x+b сos х sin x + c;

Прием решения таких уравнений: разделить на «старшую» степень. Т.е. почленно делим в первом случае на cos x ≠ 0 или sin x≠ 0, во втором – на сos2x ≠ 0 или sin2x ≠ 0.

Такое преобразование правомерно, потому что если cos x = 0, то в силу уравнения имеем также sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2x + сos2x = 1, согласно которому синус и косинус не могут обращаться в нуль одновременно. Значит, для любого решения такого уравнения выполнено неравенство cos x ≠ 0, потому обе части уравнения можно разделить на сos2x (аналогично с sin x)

П р и м е р.  Решить уравнение: sin2x − 3 sin x cos x − 4 сos2x = 0.

Разделив обе части данного уравнения на сos2x ≠ 0, приходим к квадратному уравнению относительно тангенса: tg2x − 3 tg x − 4 = 0.

Решая это уравнение, получаем: tg x = −1 ⇔ x = − π /4 + πn , где n є Z;

tg x = 4 ⇔ x = arctg 4 + πn n є Z.

Ответ: − π/ 4 + πn; arctg 4 + πn, n є Z.

3.Уравнения a sin x + b cos x = 0 (а ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0) можно представить в виде sin(x +φ)= ,где φ- вспомогательный угол, такой, что

sin φ , сos φ .

П р и м е р. Решить уравнение:   сos х- sin х=2

Образец рассуждений:

1) Разделим почленно обе части уравнения на 2, получим:

сos х - sin x=1

2) Введем вспомогательный угол φ, имеем:

= сos φ; = sin φ , отсюда φ= , тогда

сos сos х - sin sin x =1,

сos (+ х)=1

Далее предлагаю вам решить самостоятельно.

Ответ: - + 2 πn, n є Z.

V. Закрепление новых знаний и умений.

Обучающиеся под руководством учителя решают упражнения на доске, а аналогичные - самостоятельно. Для самопроверки один обучающийся работает на закрытой доске.
а) <Object: word/embeddings/oleObject1.bin>

б) 5 cos2x + 6 sinx - 6 = 0.

в) cos2x − 3cosx + 2 = 0.

г) <Object: word/embeddings/oleObject2.bin> 

 д) <Object: word/embeddings/oleObject3.bin>   

е) сos х- sin х=2

ж) сos х+ sin х=

V. Итог урока

Учитель отвечает на вопросы обучающихся. Еще раз напоминает способы и шаги решения данных тригонометрических уравнений и задает домашнее задание.