Решение тригонометрических задач с помощью тригонометрии | Кравченко Анна Михайловна. Работа №336176

Решение тригонометрических задач с помощью тригонометрии
Курсовая работа по дисциплине:
Методика обучения и воспитания (математика)
ОГЛАВЛЕНИЕ
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc524725603" HYPER14ВВЕДЕНИЕHYPER13 PAGEREF _Toc524725603 \h HYPER143HYPER15
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИИHYPER13 PAGEREF _Toc524725604 \h HYPER145HYPER15
1.1. Решение прямоугольных треугольниковHYPER13 PAGEREF _Toc524725605 \h HYPER145HYPER15
1.2. Решение косоугольных треугольниковHYPER13 PAGEREF _Toc524725606 \h HYPER146HYPER15
1.3. Задачи на тригонометрические преобразованияHYPER13 PAGEREF _Toc524725607 \h HYPER1410HYPER15
ГЛАВА 2 РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ЕГЭHYPER13 PAGEREF _Toc524725608 \h HYPER1414HYPER15
2.1. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень АHYPER13 PAGEREF _Toc524725609 \h HYPER1414HYPER15
2.2. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень ВHYPER13 PAGEREF _Toc524725610 \h HYPER1414HYPER15
2.3. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень СHYPER13 PAGEREF _Toc524725611 \h HYPER1416HYPER15
ЗАКЛЮЧЕНИЕHYPER13 PAGEREF _Toc524725612 \h HYPER1419HYPER15
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОКHYPER13 PAGEREF _Toc524725613 \h HYPER1421HYPER15
HYPER15ВВЕДЕНИЕ
Математика, уже давно стала языком науки и техники, и в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется, казалось бы, в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась со стремительным развитием компьютеров. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления. В частности, важным аспектом является изучение тригонометрии. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине. Учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, необходимо обеспечить высокой математической подготовкой.
Тригонометрия – составная часть школьного курса математики. Хорошие знания и прочные навыки по тригонометрии являются свидетельством достаточного уровня математической культуры, непременным условием успешного изучения в вузе математики, физики, ряда технических дисциплин. Однако значительная часть выпускников школ обнаруживает из года в год весьма слабую подготовку по этому важному разделу математики, о чём свидетельствуют результаты прошлых лет, так как анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что ученики допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания.
А ведь еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия – царица математики, а тригонометрия – царица геометрии. Поэтому, не оспаривая древних греков, следует считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, как и всей математической науки в целом.
Физика и геометрия не обходятся без тригонометрии. Не обходится без тригонометрии и Единый государственный экзамен. Только в части В вопросы по тригонометрии встречаются почти в трети видов заданий. Это и решение простейших тригонометрических уравнений в задании В5, и работа с тригонометрическими выражениями в задании В7, и исследование тригонометрических функций в задании В14, а так же задания В12, в которых имеются формулы, описывающие физические явления и содержащие тригонометрические функции. Нельзя не отметить и геометрические задания, в решении которых используются и определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, и основные тригонометрические тождества. И это – только часть В. А ведь ещё есть и любимые тригонометрические уравнения с отбором корней С1, и не очень любимые геометрические задания С2 и С4.
Рассматривая подготовку учащихся по этим темам, следует отметить, что способов можно предложить большое количество, но самое главное, чтобы у учащихся не возникало чувство страха и ненужного волнения, в связи с огромным разнообразием различных заданий и формул. А для этого необходимо создания позитивного настроения при решении этих заданий.
Цель работы: раскрыть специфику решения тригонометрических задач с помощью тригонометрии в рамках подготовки к ЕГЭ.
Задачи:
- раскрыть теоретические решения основы тригонометрических задач с помощью тригонометрии;
- рассмотреть решение тригонометрических задач по ЕГЭ.
Объект исследования: тригонометрические задачи.
Предмет исследования: решение тригонометрических задач в рамках ЕГЭ.
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИИ
1.1. Решение прямоугольных треугольников
Рассмотрим решение прямоугольных треугольников по двум сторонам
Если заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора. Острые углы могут быть определены по одной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты a и b, то угол A определяется по формуле:
(1)
Пример. Катет a = 0,324, гипотенуза c = 0,544. Найти второй катет b и углы A и B.
Решение
Катет b равен:
Определим углы
, что соответствует
Следовательно,
Пример. Даны два катета: a = 7,2 см, b = 6,4 см. Найти гипотенузу и углы A и B.
Решение. Гипотенуза c равна:
Определим углы
, что соответствует
Следовательно,
Рассмотрим решение прямоугольных треугольников по стороне и острому углу.
Если задан один острый угол A, то другой острый угол B находится из равенства:
B = 90 - A(2)
Стороны находятся по формулам тригонометрических функций, переписанных в виде:
a = c sin A, b = c cos A, a = b tan A(3)
b = c sin B, a = c cos B, b = a tan B(4)
Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону.
Пример. Дано: гипотенуза c = 13,65 м и острый угол A = 5417’.
Найти другой острый угол B и катеты a и b.
Решение
Угол
Определяем катеты
Таким образом, техника решения подобных задач несложна, она требует памяти на формулы и сравнительно простых вычислений.
1.2. Решение косоугольных треугольников
Решение косоугольных треугольников несколько сложней, по сравнению с решением прямоугольных треугольников. При этом целесообразно рассмотреть различные случаи, ввиду разнообразия исходных данных рассматриваемых задач.
Случай 1. Заданы три стороны a, b, c. Найти углы A, B, C.
Алгоритм решения следующий.
1. По теореме косинусов находим один из углов:
(5)
2. Второй угол находим по теореме синусов:
(6)
3. Третий угол находится по формуле:
(7)
Пример. Заданы три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4.
Найти его углы.
Решение
, тогда
Случай 2. Дано: две стороны a и b и угол C между ними. Найти сторону c и углы A и B.
В данном случае вначале по теореме косинусов находим сторону c:
(8)
Далее по теореме синусов определяем угол А:
(9)
Здесь необходимо подчеркнуть, что A – острый угол, если b / a > cos C, и тупой угол, если b / a < cos C. Третий угол определяется по формуле (7).
Случай 3. Заданы любые два угла и сторона. Найти третий угол и две другие стороны.
Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле:
(10)
Используя далее теорему синусов, определяются две другие стороны.
Случай 4. Даны две стороны a и b и угол B, противоположный одной из них. Найти сторону c и углы A и C.
Сначала по теореме синусов найдём угол A:
(11)
Здесь возможны следующие случаи:
1) a > b; a sin B > b – здесь решения нет;
2) a > b; a sin B = b – здесь одно решение, A – прямой угол;
3) a > b; a sin B < b < a – здесь два решения: A может быть либо острым, либо тупым углом;
4) a b – здесь одно решение, A – острый угол.
После нахождения угла A определяется третий угол по формуле (7).
Если A может иметь два значения, то и C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону:
(12)
Если угол C имеет два значения, то и сторона c имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника
Пример. Дано: a = 5, b = 3, B = 30. Найти сторону c и углы A и C.
Решение
Здесь: a > b и a sin B < b. Тогда, согласно случаю 3, здесь возможны два решения:
Отсюда первое значение: , а второе:
Получаем два соответствующих значения угла С.
Первое , второе:
Сторона С вычисляется следующим образом.
Первое решение.
Второе решение.
Таким образом, решение косоугольных треугольников требует памяти, внимания и кропотливости, однако, с технической точки зрения, особых сложностей перед учащимися, в случае владения ими основами тригонометрии, не ставит.
1.3. Задачи на тригонометрические преобразования
Задачи на тригонометрические преобразования представляют собой многочисленный класс разнообразных по характеру задач. Сюда включаются такие задачи, как задачи на доказательство тождеств, задачи на проверку равенств, задачи на упрощение выражений, вычислительные задачи и другие.
Рассмотрим конкретные примеры подобных задач.
1. Задачи на доказательство тождеств
Пример. Доказать тождество
Решение
Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем ее.
Тождество доказано
Пример. Доказать тождество
Решение
Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем ее.
Тождество доказано
Пример. Доказать тождество
Решение
Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем ее.
Тождество доказано
2. Задачи на проверку равенств
Пример. Проверить равенство
Решение
Так как , то необходимо проверить равенство
Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем ее.
Таким образом, заданное равенство верно
3. Задачи на упрощение выражений
Пример. Упростить выражение
Решение
Проводим преобразования
Пример. Доказать, что равенство справедливо при любых a и b.
Решение
Очевидно, что заданное равенство равносильно следующему:
Ввиду этого докажем последнее равенство. Преобразуем его левую часть
Таким образом, равенство справедливо для любых a и b, что и требовалось доказать.
ГЛАВА 2 РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ЕГЭ
2.1. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень А
2.2. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень В
2.3. Решение тригонометрических по ЕГЭ, уровень С
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе была поставлена цель: раскрыть специфику решения тригонометрических задач с помощью тригонометрии в рамках подготовки к ЕГЭ.
В рамках решения первой задачи были раскрыты теоретические решения основы тригонометрических задач с помощью тригонометрии.
В результате можно сформулировать следующие выводы.
Решение прямоугольных треугольников является весьма распространенной задачей в школе, при этом техника решения подобных задач несложна, она требует памяти на формулы и сравнительно простых вычислений.
Задачи на решение косоугольных треугольников требует памяти, внимания и кропотливости, однако, с технической точки зрения, особых сложностей перед учащимися, в случае владения ими основами тригонометрии, не ставит.
Задачи на тригонометрические преобразования не только разнообразны, но и требуют памяти на формулы, а также внимательности.
Решение тригонометрических задач по ЕГЭ в рамках подготовки к сдаче ЕГЭ предполагает анализ решений задач уровней А, В и С, поскольку указанная классификация соответствует классификации ЕГЭ по уровню сложности. Тригонометрические задачи уровня А сравнительно простые, они не требуют значительных усилий при решении. Как правило, при сдаче ЕГЭ по таким задачам наиболее высокий процент успешных решений. Тригонометрические задачи уровня В уже сложнее, по сравнению с предыдущим уровнем. Здесь необходима не только память и внимательность, но и сообразительность. Однако, если учащиеся имеют сформированные навыки решения таких задач, то могут решать их вполне успешно.
Тригонометрические задачи уровня С – самые трудные в решении, Зачастую требуются нетривиальные подходы к решению таких задач, поскольку правильное решение можно получить различными путями и способами, однако оптимальные, наиболее короткие пути решения не всегда представляются очевидными. Именно такие задачи представляют наибольшие сложности при решении ЕГЭ. Тем не менее, и эти задачи можно решать вполне успешно и правильно, если обрести соответствующие навыки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Алимов, А. Ш. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник / А. Ш. Алимов, Ю.М. Колягин и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.
Гельфанд, И. М. Тригонометрия / И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом 5-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2014. – 200 с.
Макарычев, Ю.Н. Тригонометрические неравенства и их преобразование / Под ред. С.А. Теляковского. 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.
Медынский, М. М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 7 / М. М. Медынский - М.: Эдитус, 2015. – 553 с.
Шапкина, Н. Е. Пособие по математике для 10-11 классов подготовительных курсов. Тригонометрия / Н. Е. Шапкина, И. Е. Могилевский - М.: Физический ф-т МГУ, 2014. – 89 с
Ларин, А.А. Математика. [Электронный ресурс] / Репетитор/URL:
http://alexlarin.net/ege15.html
7.Теория и методика обучения математике: общая методика : учеб. пособие / Е. А. Суховиенко, З. П. Самигуллина, С. А. Севостьянова, Е. Н. Эрентраут. − Челябинск: Изд-во Образование, 2010. − 65 с.
8.ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике К. Л. Самаров, С. С. Самарова 2012
http://www.fipi.ru
http://www.edu.ru
HYPER13PAGE HYPER15
18