Треугольник Паскаля: его свойства и приложения | Иван Витальевич Гончаров. Работа №331778

Шевцова Мария Витальевна

к.ф.-м.н., доцент кафедры математики

Белгородский государственный университет

Белгород

Shevtsova Maria Vitalievna

Belgorod University

shevtsova_m@bsu.edu.ru

Гончаров Иван Витальевич

студент

Белгородский государственный университет

Белгород

Goncharov Ivan Vitalievich

Belgorod University

v4nyagonchar04@yandex.ru

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ: ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЛОЖЕНИЯ

PASCAL'S TRIANGLE: ITS PROPERTIES AND APPLICATIONS

Аннотация: С самого раннего детства каждый из нас знаком с такой простой и понятной фигурой, как треугольник. Однако, не все знают о том, что существует еще один, который совершенно не похож на все другие — треугольник Паскаля. В данной статье мы подробно рассматриваем определение треугольника Паскаля, краткую история его описания и открытия; подробно рассмотрены его основные свойства и приложения в комбинаторике.

Abstract:  From early childhood, each of us is familiar with such a simple and understandable figure as a triangle. However, not everyone knows that there is another one that is completely different from all the others - Pascal's triangle. In this article we examine in detail the definition of Pascal's triangle, a brief history of its description and discovery; Its main properties and applications in combinatorics are discussed in detail.

Ключевые слова: треугольник Паскаля, комбинаторика, биномиальный коэффициент, рекурсивность

Keywords: Pascal's triangle, combinatorics, binomial coefficient, recursiveness

Треугольник Паскаля — это числовая схема, которая представляет собой треугольник, составленный из чисел. Он является одним из самых известных компонентов комбинаторики и алгебры, и имеет множество интересных свойств и приложений. Треугольник Паскаля был назван так в честь великого французского математика и философа Блеза Паскаля, впервые описавшего его в 1653 году в своем научном «Трактате об арифметическом треугольнике».

Исторические сведения о треугольнике Паскаля

Треугольник Паскаля появился в изданном уже после смерти автора сочинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике». Там он описывается как простая бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел. Таким образом, современный равнобедренный треугольник Паскаля отличается от «треугольника», изучаемого самим Паскалем, только поворотом на 45°.

Еще за столетие до выхода в свет трактата Паскаля в «Общем трактате о числе и мере» (1556-1560), написанном выдающимся итальянским математиком Николой Тарталья, была опубликована аналогичная таблица, только в «прямоугольной» форме. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике». Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном астрономом из Ингольтштадского университета Петром Апианом в начале XVI века. В книге «Математические новеллы» Мартин Гарднер пишет: «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Свойства треугольника Паскаля

Рекурсивная структура

Рекурсивная структура треугольника Паскаля представляет собой числа, которые образуют треугольник в виде таблицы, где каждое число находится на позиции, заданной своими координатами (номер строки и номер столбца).

Треугольник Паскаля можно определить следующим образом: в первой строке треугольника находится число 1, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, находящихся над ним (слева и справа).

Приведём начало треугольника Паскаля:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Каждое число в треугольнике Паскаля можно вычислить с помощью рекурсии, используя следующее определение:

Если номер строки или номер столбца равны 0 или равны номеру строки, то число равно 1.

Иначе, число равно сумме двух чисел: число в позиции (строка-1, столбец) и число в позиции (строка-1, столбец-1).

Например, чтобы вычислить число в позиции (3, 2), нужно сложить числа в позициях (2, 1) и (2, 2). С помощью рекурсивной функции можно вычислить любое число в треугольнике Паскаля. Однако, для больших чисел рекурсия может быть неэффективной из-за повторных вычислений. Существуют и другие способы вычисления элементов треугольника Паскаля, например, с помощью использования динамического программирования или математических формул.

Симметричность

Симметричность треугольника Паскаля проявляется в том, что если развернуть его по вертикали, то числа в каждой строке будут симметричными относительно оси симметрии, которая проходит через центральное число. Например, в треугольнике Паскаля первая строка [1] является симметричной, вторая строка [1, 1] также является симметричной, третья строка [1, 2, 1] является симметричной, и так далее.

Биномиальные коэффициенты

Как мы уже сказали ранее, в треугольнике Паскаля каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке, начиная с единицы. Таким образом, каждое число в треугольнике Паскаля является биномиальным коэффициентом.

Приведём начало треугольника Паскаля:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Первая строка содержит только число 1. Вторая строка содержит две 1. Третья строка содержит числа 1, 2, 1 и так далее.

Биномиальные коэффициенты можно вычислить по формуле:

где — биномиальный коэффициент, n — общее количество элементов,
k — количество элементов, выбранных из подмножества.

В треугольнике Паскаля, биномиальный коэффициент равен числу, расположенному в строке n и столбце k.

Например,

= 1
= 1, = 1

= 1, = 2, = 1

= 1, = 3, = 3, = 1 и так далее

Применимость и приложения треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля используется для решения задач комбинаторики, таких как нахождение числа сочетаний или перестановок и «классическая задача» по распределению шаров по ящикам. При всём при этом имеет ряд полезных свойств и применений в этой области

К примеру, биномиальные коэффициенты, о которых мы говорили ранее, и, соответственно, раскрытие биномиальных степеней: коэффициенты в треугольнике соответствуют коэффициентам в разложении. Разложение биномиального выражения (a + b)n может быть записано в виде:
(a + b)n = anb0 + a(n-1)b1 + a(n-2)b2 + ... + a0bn

где - коэффициент при слагаемом (akbn-k) и вычисляется из треугольника Паскаля.

Пример разложения биномиального выражения (a + b)3:
(a + b)3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3 =
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Треугольник Паскаля также используется для вычисления вероятностей в биномиальном распределении, где каждый элемент треугольника представляет вероятность определенного числа успехов в заданном количестве испытаний.

Ещё одно приложение — сумма каждой строки, которая всегда равна степени двойки. Например, сумма первой строки треугольника равна 20 = 1, сумма второй строки равна 21 = 2, сумма третьей строки равна 22 = 4 и т.д.

Заключение

Треугольник Паскаля является мощным и универсальным инструментом в комбинаторике, алгебре и других областях математики. Его свойства и приложения делают его важным инструментом для решения различных задач, связанных с числами и комбинаторикой. Треугольник Паскаля так же прост, изящен и велик, как и все гениальное: каждое число его равно сумме двух чисел, которые расположены над ним. Нетрудно догадаться, что данный треугольник может быть каким угодно большим — его можно продолжать бесконечно. Треугольник Паскаля является не только интересным числовым треугольником, но также имеет и другие важные области применения в математике.

Список литературы

Бухштаб

, А.А. Теория чисел [Электронный ресурс

] :

учебное пособие / А.А.

Бухштаб

. — Электронные текстовые данные. — Санкт-

Петербург :

Лань, 2015. — 384 с. — Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/65053. —

Загл

. с экрана.

Майстров

Л.Е. История математики с древнейших времен до начала

XIX

столетия

/

А.П.

Юшкевич,

И.Г. Башмакова, Л.Е.

Майстров

,

Б.А.

Розенфельд.

М.: Наука, 1970.

Т.2.

300

с.

Макарычев Ю.Н.,

Миндюк

Н.Г.

Элементы

статистики

и

теории

вероятностей.

Алгебра

7-9

классы/Ю.Н. Макарычев,

Н.Г.

Миндюк

.

М.:

Просвещение,

2009.

78

Сизый, С.В. Лекции по теории чисел [Электронный ресурс

] :

учебное пособие / С.В. Сизый. — Электронные текстовые данные. —

Москва :

Физматлит

, 2008. — 192 с. — Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/2319. —

Загл

. с экрана. (3)

Успенский В. А. Треугольник Паскаля /

В.А. Успенский. – Москва:

1979.