Введение понятий функция и квадратичная функция в школьном курсе математики | Боровец Антон Аедреевич. Работа №213255

УДК 372.851

Введение понятий функция и квадратичная функция в школьном курсе математики

Боровец Антон Андреевич

Педагогический институт Тихоокеанского государственного университета

студент

Ключников Анатолий Егорович

Педагогический институт Тихоокеанского государственного университета

старший преподаватель

Аннотация

Рассмотрение обратной пропорциональности и квадратичной функции для школьного курса математики. В статье приведены примеры заданий, которые необходимо применять на практике при введении понятия функция. Рассмотрены методики введения общего понятия функции в школьном курсе математики.

Ключевые слова: квадратичная функция, методика изучения в школе, обратная пропорциональность, введению понятия функции.

Introduction of the concepts of function and quadratic function in the school course of mathematics.

Borovets Anton Andreevich

Pedagogical Institute of Pacific national University

Student

Kliuchnikov Anatoly Yegorovich

Pedagogical Institute of Pacific national University

Senior lecturer

Abstract

Consideration of inverse proportionality and quadratic function for the school course of mathematics. The article provides examples of tasks that must be applied in practice when introducing the concept of a function. The methods of introducing the general concept of function in a school course of mathematics are considered.

Keywords:
quadratic function, methods of studying in school, inverse proportionality, the introduction of the concept of a function.

Сегодня в России образование переживает период адаптации перехода на ФГОС. Этот стандарт предъявляет повышенные требования к математической и методической подготовке учителя математики. Перед педагогом стоит большой выбор новых школьных учебников по алгебре. Несмотря на большое количество учебного материала, методические рекомендации по изучению функциональной линии к большинству учебников не разработаны.

В школе учащиеся не просто знакомятся с понятием функция и ее графиками, а так же учатся применять полученные знания о функциях к изучению разнообразных процессов и явлений.

Основное понятие и соответствующая терминология, которая используется в определении функции, в первую очередь должны быть понятны ученикам и не требовали предварительных громоздких рассмотрений на данном этапе изучения.

Та информация, которая содержится в определении, должна быть не только научной, но и отвечать возрастным особенностям учащихся. К примеру в учебнике Ю. Н. Макарычева 7-й класс эти возрастные особенности учащихся при трактовке понятия функции нарушались..

Учителю необходимо самому внимательно вчитаться в формулировку определения функции, а затем организовывать деятельность учащихся по усвоению опорных понятий, а затем и общего понятия функции. Важно обращать внимание на общий смысл математических терминов, происхождение и перевод с различных языков.

Остановимся на методике введения общего понятия функции по учебнику алгебры 7-го класса Ю. Н. Макарычева. В учебнике понятие «функция» трактуется как особого рода зависимость одной переменной от другой. Целесообразно избирать метод беседы при введении понятия функции.

После подготовительной работы можно вводить термины «аргумент», «область определения функции», «значения аргумента и функции». Важно обратить внимание на то, что термин «функция» в учебнике употребляется как особого рода зависимость между двумя переменными, так и сама зависимая переменная. Для школьников должны быть привычными такие фразы как «площадь квадрата является функцией длины его стороны», «зависимость площади квадрата от длины его стороны является функциональной» и т. п.

Необходимо дать учащимся представления о различных способах задания функции, а после сформулировать определение графика функции как множества всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Учащиеся учатся находить значение функции по значению аргумента и решать обратную задачу, осуществлять переход от одного способа задания функции к другому.

На практике важно не допускать в речи учащихся такие фразы: «функция y = 2x + 5», нужно говорить- «функция, заданная формулой y = 2x + 5». Учитель должен постоянно подчеркивать различие между этими понятиями. Стоит обращать внимание учащихся на то, что при задании функции формулой необходимо указывать область определения – множество значений независимой переменной. На этом этапе изучение темы будет строится по формированию умения читать и создавать графики реальных зависимостей и доказывать. В качестве примера можно обсудить вопрос о том, почему зависимость пути от времени при равномерном движении ‒ функция.

Объяснить это можно следующим образом: зависимость пути от времени при равномерном движении является функцией в том смысле, что в один и тот же момент времени путь, пройденный телом, не может иметь двух значений.

Подобный подход к раннему введению понятия функции принят и в учебниках алгебры 7-го класса Ш. А. Алимова и др.; К. С. Муравина и др. как одной из пары переменных функция x – y(x).

Буквенные выражения, с помощью которых задаются функции, не всегда имеют смысл, именно поэтому значение функции по К. С. Муравину включены слова «допустимое значение» для переменной x.

В других учебниках федерального списка формально-логическое определение функции дается в 8 или 9 классах. До 9 класса учащиеся уже познакомились со множеством действительных чисел и поэтому с ними можно без опасений говорить об области определения функции, а так же строить графики в виде непрерывной линии.

В учебниках алгебры 9-го класса авторы подводят учащихся к появлению у них потребности в формальном определении функции, графика и свойств функции, обращаясь к истории развития математики. Здесь функция рассматривается на некотором числовом множестве, которое объявляется областью определения функции. А. Г. Мордкович в отличие от других авторов переменную –y- не называет функцией; из его определения следует, что функция обозначается y = f(x), где x ϵ X (X – область определения), акцент сделан на заданную, а не на естественную область определения функции (область допустимых значений выражения f(x)).

Учащиеся должны подчеркнуть, что функция не зависит от выбора обозначений для аргумента и способа описания правила для вычисления ее значений. В учебнике А. Г. Мордковича говорится, что в математике имеется достаточно много способов задания функции. Кроме наиболее популярных (аналитический, графический, табличный) он знакомит учащихся со словесным (описательным) способом задания функции, когда правило соответствия описывается словами родного языка.

Говоря об изучении квадратичной функции, то это понятие расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Во время объяснения темы учитель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию таких понятий как прямая и обратная пропорциональная зависимость.

При изучении темы «Квадратичная функция» можно выделить следующие этапы изучения: 

I этап – «Повторение известных функций из курса 7-8 классов, их свойств, нахождение значений функции по значению аргумента и наоборот». 
II этап – «Определения: функции, область определения, область значений». 
III этап - «Разложение квадратного трехчлена на множители».
IV этап – «Введение функций y=ax2, ее график и свойства, функции y=ax2+n и y=a(x-m)2
V этап – «построение графика квадратичной функции y=ax2+bx+c»

К изучению этой темы учащиеся 9 класса приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических функций, их свойств, умением построения графиков функций (линейная функция, гипербола, кубическая парабола, квадратичная парабола, заданная формулой у=х2). Основная цель –научить распознавать функциональную зависимость, находить область определения, область значений, выявлять элементарные свойства функций, строить график функции у=ах2+bx+c, где «а» не равно 0 с помощью параллельного переноса, определять возрастание, убывание, промежутки знакопостоянства, формулировать и доказывать теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, применять ее при построении квадратичной функции. 
В изучение этой темы включены:
1. Основные понятия (Функция, область определения функции, область значений функции, возрастание и убывание функции);
2. Обзор функций известных из курса 7-8 классов;

3. Квадратный трехчлен;

4. Формула корней квадратного уравнения ;

5. Разложение квадратного трехчлена на множители;

6. Формула для нахождения вершины параболы, ее ось симметрии;

7. Простейшие преобразования графиков функции параллельным переносом вдоль осей.

Весь курс по теме строится в систематическом порядке. Причем система эта определяется как принятыми математическими трактовками функциональных понятий, так и развертыванием последующих определений и доказательством теорем. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным описанием свойств функций, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.

Учителю важно использовать при введении понятия функции специальные упражнения, требующие выяснения является ли данная зависимость функцией. В качестве примера рассмотрим соотношение между переменными x и y в виде уравнения 3x – 5y = 7 является неявным заданием функции, т. к. оно не разрешено относительно y. Такие упражнения используют знания учащихся по различным школьным дисциплинам: физика, химия, история, биология, география.

Если рассматривать постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению на различных уровнях, то поначалу изучаются простейшие функции (линейная, обратная пропорциональность, квадратичная и пр.)- это материал 7-8 классов, следует отказаться от формального определения функции и ограничиться описанием, не требующим заучивания. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В программе это предусмотрено в начале 9 класса.

Перечислим те свойства функций, которые в 9 классе изучаются в школьном курсе: область определения функций, область значений функции, монотонность, промежутки закопостоянства, нули функции, наибольшее, наименьшее значение. Значительное место занимает программа развития речи поэтому полезно употребление школьниками начиная с 7 класса, таких терминов, как функция, наибольшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий и только в курсе алгебры 9 класса, после накопления соответствующего опыта, ввести понятия с четким определением.

В результате освоения предметного содержания курса математики, у учащихся формируются общие учебные умения и способы познавательной деятельности. Обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию. 

Главное условие при усвоении понятия функции учащимися это приведение собственных примеров зависимостей, которые являются и не являются функциями. Само понятие функции сложное и успешно овладеть им учащиеся смогут только в результате длительного накопления конкретных представлений и фактов в курсе алгебры основной, а затем и старшей школы.

Библиографический список

Алгебра 7 класса, авторов Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова. Издательство: Просвещение. 2016 год

Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 – 9 класс: методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, М. Мнемозина, 2000. С. 8 – 35,

47 – 55, 69 – 74, 110 – 119. ISBN 5-87441-170-4.

Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия: учебно-методическое пособие / В. П. Покровский; Владимирский гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых – Владимир: Изд-во ВлГУ, 201

4. – 143 с.

Методика преподавания математики в средней школе: частные методики: учебное пособие для студентов физ.-мат. факультета педагогических институтов / Ю. М. Колягин [и др.] М. : Просвещение, 1977. С.111 – 145, 285 – 369.