В данной статье рассмотрены проблемы реализации материала вычислительной математики в школе, во-первых, заметка посвящена приближенному решению уравнений. Проведен анализ ряда трудностей, почему вычислительная математика не нашла своего места в массовой школе. Главной задачей является выделение ряда условий, для эффективной реализации элементов вычислительной математики в учебном процессе, выполнение которых должно обеспечить усвоение данного материала. Основное внимание обращается на то, что материал приближенного решения уравнений можно организовать в экспериментальную серию уроков (с перспективой развёртывания до тематического раздела в случае, если эксперимент окажется удачным).
Ключевые слова темы: вычислительная математика, приближенное решение уравнений, численное интегрирование, система учебных заданий, наглядные модели решения уравнений численными методами, серия уроков по теме «Приближенное решение уравнений»
«Об условиях реализации материала вычислительной математики в школе»
Аннотация. В данной статье рассмотрены проблемы реализации материала вычислительной математики в школе, во-первых, заметка посвящена приближенному решению уравнений. Проведен анализ ряда трудностей, почему вычислительная математика не нашла своего места в массовой школе. Главной задачей является выделение ряда условий, для эффективной реализации элементов вычислительной математики в учебном процессе, выполнение которых должно обеспечить усвоение данного материала. Основное внимание обращается на то, что материал приближенного решения уравнений можно организовать в экспериментальную серию уроков (с перспективой развёртывания до тематического раздела в случае, если эксперимент окажется удачным).
Ключевые слова темы: вычислительная математика, приближенное решение уравнений, численное интегрирование, система учебных заданий, наглядные модели решения уравнений численными методами, серия уроков по теме «Приближенное решение уравнений»
Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением всех видов социальной активности, связанным с широким внедрением в практику информационных технологий, автоматизации проектирования и конструирования, что обуславливает изменения требований к выпускникам школ. Это должны быть люди, не только легко ориентирующиеся в проблемных ситуациях, но и умеющие прогнозировать изменения целей и средств деятельности, изменения условий их реализации. А для этого необходимым условием является владение новыми технологиями, базисом которых являются вычислительная математика, математическое моделирование и компьютерный эксперимент.
Что касается самой идеи реализации части материала вычислительной математики в школе, то она неоднократно высказывалась уже во второй половине двадцатого века. Это обсуждение развернулось тогда на фоне принципиальной смены бытовых вычислительных устройств, на которые должна ориентироваться программа школьного математического образования. Ещё в начале прошлого века и даже в середине его были распространены счёты и логарифмические линейки. Их постепенно вытеснял микрокалькулятор, а затем и программируемый микрокалькулятор (впрочем, не получивший широкого распространения и вскоре уступивший место разным формам персонального компьютера). О каком материале шла речь? Прежде всего, выделяются два сюжета вычислительной математики, реализация которых в школе хорошо обоснована.
Во-первых, это приближенное решение уравнений, которому и посвящена настоящая заметка. Решение уравнений численными методами могло бы помочь развить представления о корнях уравнений, дать дополнительный метод проверки правильности решений некоторых задач, способствовать осмыслению работы ряда программ, изучаемых на информатике. Во-вторых, привлекательным для реализации в школе выглядит численное интегрирование. Его изучение в школе прояснит понятие определенного интеграла, обеспечит условия для создания связи между определенным и неопределенным интегралом, которые на сегодняшний день слабо связаны лишь только формулой Ньютона-Лейбница.
Помимо обсуждения возможностей внесения материала вычислительной математики в школу, предпринимались, конечно, и попытки практической реализации этой идеи. Так, например, в учебниках для углубленного изучения алгебры и начал анализа конца двадцатого века, можно встретить метод итераций для решения уравнений с одним неизвестным (см., напр., [1,с.117-]). Обратим внимание на то, что материала совсем мало, выбран трудный для восприятия учащимися метод, отсутствует должное разнообразие учебных заданий по этому материалу. То есть включение приближенного решения уравнений в программу школьной математики носило явно экспериментальный характер. К тому же метод последовательных приближений внесен в программу 11 класса. Это конечно поздно и исключает формирование потенциально полезных внутрипредметных связей с понятием производной.
Попытки частичного изложения вычислительных методов в средней школе не имели большого успеха и к сегодняшнему дню оставили в практике школьного математического образования три заметных следа.
Сегодня оба обозначенных выше блока учебного материала частично реализуются на уроках информатики в старших классах средней школы (см., напр., [3,с.262] (чаще всего в профильных классах, но не только в них). При этом значение материала для развития математических представлений учителями информатики, конечно, учитывается не в первую очередь. В основном, задачи вычислительной математики используются для отработки умений программирования, использования электронных таблиц и так далее.
Вторым следом мы считаем наличие ряда программ элективных и факультативных курсов, построенных на материале вычислительной математики. Эти курсы имеют сходную компоновку и похожие системы учебных заданий. Здесь можно упомянуть, например курс «Вычислительная математика и программирование» [2]. Уже заголовок курса подчёркивает основную направленность – программирование. Снова видим недостаточное внимание к значимости материала для собственно математики как учебного предмета.
Впрочем, есть и третья форма, в которой вычислительная математика всё-таки закрепилась в школьном курсе. В ряде школ, имеющих развитые традиции углубления курса математики, вычислительная математика реализуется на протяжении целого учебного года (а иногда и двух) как самостоятельный учебный предмет по 0,5-1 часу в неделю. При таком подходе, разумеется, большинство возможностей материала реализуется, но этот опыт не может быть распространён на школы с базовой программой, где обучаются, в основном, школьники, не проявляющие особого интереса к математике.
Почему вычислительная математика не нашла своего места в массовой школе? Попытки внедрения материала в учебный процесс столкнулись с рядом трудностей. При изучении приближенного решения уравнений важны развитые представления учащихся о связи между элементами графика функции и ее свойствами, об округлении и приближенных значениях, а также о числовых последовательностях, так как большинство методов оперируют со сходящимися к точному решению уравнения числовыми последовательностями.
Эти три группы представлений должны формироваться, развиваться и актуализироваться перед изложением выбранных методов уточнения корней. Но с одной стороны для этого просто не хватает учебного времени, а с другой при небольших объемах материала такие усилия кажутся неоправданными. Есть и трудности другой природы. Материал вычислительной математики снабжался для школьников учебными заданиями, представляющими собой упрощенные вузовские задачи. Для школьников этот едва ли приемлемо: требуется большее количество простых задач, призванных формировать частные умения, из которых затем должно формироваться общее умение приближенного решения уравнений. Позиция в учебном процессе выбиралась не из соображений согласованности с традиционным материалом, а, по-видимому, просто в соответствии с возможностями организации обучения (на позднем этапе обучения, после завершения формирования большинства понятий школьного математического анализа и.т.п.).
А ведь материал приближенного решения уравнений выглядит особенно перспективным для реализации на уроках математики 10 класса. На этапе школьного математического образования весьма распространены задачи, решаемые при помощи графического способа решения уравнений. Часть этих задач впрямую требует графического решения, часть провоцирует его использование для нахождения некоторых или всех корней уравнения, анализа условий их наличия и особенностей расположения. Анализ графического метода решения уравнений в школе обнаруживает логическую связь между ним и методами приближённого решения уравнений, изучаемыми на более поздних этапах (в вузе). Это создаёт возможности связи и взаимной поддержки материала вычислительной математики и основ математического анализа в школе. В десятом классе сосредоточен материал по новым для учащихся элементарным функциям – логарифмической, показательной, тригонометрическим функциям. На основе этих функций конструируются уравнения, точное решение которых невозможно в принципе. Важно сформировать правильные представления о таких уравнениях и действиях, которые всё-таки можно с ними производить. Здесь, в десятом классе, элементы вычислительной математики были бы как нельзя более кстати. Список интересных возможностей и плюсов от реализации материала приближённого решения уравнений в десятом классе можно продолжить. Но есть ли возможность для этого, что можно сделать для нейтрализации тех трудностей, с которыми материал уже сталкивался в ходе предыдущих попыток внесения в школьный курс?
Чтобы избежать возникающих трудностей, для эффективной реализации материала элементов вычислительной математики в школе, мы выделяем ряд условий, выполнение которых должно обеспечить усвоение данного материала.
1. Поэтапное освоение методов численного решения уравнений.
В процессе приближенного отыскания корней уравнения обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня. В связи с этим можно организовать по крайней мере два этапа освоения учащимися методов численного решения уравнений. Более глубокий анализ учебного материала показывает, что можно выделить не два, а пять элементарных учебных действий, на которые можно составить простые учебные задания. Это построение эскиза графика функции вблизи корня, отделение корня, оценка погрешности приближения корня, уточнение корня методом уменьшения отрезка отделения, уточнение корня стандартным методом. Значит, система задач должна основываться на как минимум пяти типах простых учебных заданий, а сам процесс обучения приближенному решению уравнений должен строиться на последовательном освоении учащимися умений решения этих задач.
2. Организация лабораторного практикума.
Последний позволит формально описать изучаемые методы вычислительной математики. Это качественно повысит уровень понимания материала, исключит непонимание отдельных фрагментов метода, верифицирует в глазах учащихся эффективность методов вычислительной математики.
К числу заданий лабораторного практикума можно отнести следующие: предварительная изоляция корней с помощью построения графиков функций; создание анимированных презентаций, наглядно моделирующих методы вычислительной математики; написание программ, реализующих методы вычислительной математики.
Отдельного обсуждения требует вопрос выбора технических средств лабораторного практикума. Выбор программ и оборудования зависит от уровня подготовки учащихся особенностями их образования в области информатики, техническими возможностями учебного заведения. Если рассуждать об общем случае организации практикума, то проще всего выбрать в качестве основной программы MS Excel и весь лабораторный практикум выстроить на этой базе.
3. Обеспечение в представлениях учащихся устойчивой связи между свойствами функции и особенностями ее графика.
Отсутствие развитых представлений о корнях функции, связи функций и уравнений, приближенных вычислениях и погрешностях исключает понимание методов вычислительной математики. И это представляет собой опасность, так как учащиеся могут применять изучаемые методы и без понимания их логики. Так может получиться, что учебные задания решаются, а освоение материала почти не происходит. Поэтому, перед изложением основного материала следует организовать масштабную актуализацию представлений учащихся о свойствах функции и их отражении на графике.
4. Внятное обоснование каждого метода. Использование наглядных моделей методов.
Если строгого математического доказательства учащимся не предъявить, то, по крайней мере, необходимо ответить на вопрос, почему работает тот или иной метод.
Материал имеет явно выраженную математическую природу, требует обоснований доказательного математического характера, то есть должен быть реализован именно на уроках математики, а не становиться основой одного или нескольких разделов школьной информатики. Оптимальным временем реализации является 10 класс, в связи с появлением логарифмической и показательной функции, тригонометрических функций, вместе с которыми появляются и уравнения принципиально неразрешимые аналитическими методами.
Использование широкого спектра элементарных функций с разнообразными графиками поможет «зрительному» обоснованию методов. Здесь было бы полезно использовать динамично изменяющуюся наглядность, т.е. наглядно демонстрировать ход решения задач, показывать на экране каждый шаг метода, получаемые результаты и т.п. Иными словами, показывать обучающимся наглядные модели процесса решения или исследования. Это должно способствовать пониманию учащимися сути вычислительных методов (как и логико-математическое обоснование), но, в отличие от строгого обоснования, наглядное моделирование призвано задействовать образное восприятие материала. Оно направлено на ликвидацию отдельных аспектов того или иного вычислительного метода. Внедрение в практику школьного образования и других методик, основанных на наглядном моделировании, может качественно улучшить целый ряд параметров образовательного процесса и результатов обучения математике.
5. Организация материала в самостоятельную дидактическую единицу.
Описанные выше условия очерчивают контуры методического решения, похожего на реализацию тематического раздела – минимальной самостоятельной дидактической единицы. Выше мы видели, что необходимым является этап актуализации необходимых представлений и умений, важна систематизация учебных заданий и так далее. Остаётся лишь заметить, что нужна постановка самостоятельной учебной цели и организация контроля её достижения.
Ясно, что выделение материала в самостоятельную дидактическую единицу повысит качество его усвоения и позволит наиболее эффективно использовать его преимущества.
На сегодняшний день нами предлагается к реализации экспериментальная серия уроков (с перспективой развёртывания до тематического раздела в случае, если эксперимент окажется удачным). Нами было отобрано примерное содержание серии уроков по теме «Приближенное решение уравнений с одним неизвестным», которое хотелось бы включить в обучение школьной математике. Всего, на данную серию уроков мы отвели 6 ч, из них 1 ч самостоятельная работа по теме «Приближенное решение уравнений».
1. Актуализация о графике функции (1 час)
На данном уроке вырабатываются умения учащихся в работе с графиком функции, а также развивается представление о графике функции посредством решения различных учебных задач:
1. Графическое решение уравнений;
2. Описание свойств функции заданной графически;
3. Графическое решение неравенств и систем уравнений.
При этом организация урока зависит от уровня подготовки учащихся и характера учебного материала изученного непосредственно перед нашей серией уроков. Можно рекомендовать в качестве стандартной форму увеличенного домашнего задания с последующим обсуждением и разбором задач у доски.
2. Отделение корней на графике (1 час)
Для формирования устойчивых представлений учащихся об отделении корней уравнения мы считаем целесообразным использовать именно наглядное поэтапное моделирование в решении и изложении данного материала. На уроке учащимся необходимо наглядно показать каждый шаг решения задач на отделения корней и отделения отрезка изоляции корня. Для этого рассмотрены различные примеры нелинейных уравнений, соответствующие двум типам уравнений, которые необходимо рассмотреть на данном уроке.
Первый тип сводится к отысканию точек пересечения графика функции с осью оx. Второй тип сводится к отысканию точек пересечения графиков функций. При этом необходимо показать учащимся различные ситуации, когда уравнение не имеет корней, имеет один корень или более.
3. Метод половинного деления (2 часа)
В экспериментальной серии уроков мы предлагаем ограничиться изложением этого, наиболее легкого для понимания учащимися метода уточнения корней.
При этом мы исходим из того, что при организации самостоятельной дидактической единицы этот метод войдет в нее в любом случае. Умение применять этот метод даст и общие представления об идеологии уточнения корней.
4. Решение разных сложных задач (1 час)
На единственном уроке серии с усложнением учебных заданий мы планируем расширить спектр решаемых задач на приближенное решение уравнений и синтезировать простейшие умения в сложное умение поиска приближения корня уравнения.
5. Самостоятельная работа по теме «Приближенное решение уравнений» (1 час).
В настоящее время идет подготовка к экспериментальной реализации разрабатываемой серии в школе.
Литература
1. Виленкин Н.Я. И др. Алгебра и математический анализ для 11 класса [Текст]: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. Математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.– 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 288 с.
3. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии [Текст]: Учебник для 10-11 классов / Н.Д. Угринович. – 3-е изд. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 511 с.
