В данной статье идет речь о применении формул сокращенного умножения при решении уравнений.
Учащиеся чаще всего умеют применять формулу квадрата суммы или разности, если нужно возвести в квадрат сумму или разность двух выражений. Или представить трёхчлен в виде квадрата суммы или разности. Затрудняются применять формулу с права налево, когда нужно представить трехчлен в виде квадрата. В данной статье рассмотрим примеры, когда нужно выразить сумму квадратов из формул квадрата суммы или квадрата разности.
Уравнения с использованием формул квадрата суммы или разности.
Учащиеся чаще всего умеют применять формулу квадрата суммы или разности, если нужно возвести в квадрат сумму или разность двух выражений. Или представить трёхчлен в виде квадрата суммы или разности. Рассмотрим примеры, когда нужно применить формулу в виде a2+ b2 =(ab)22ab.
а
)
Р
ешить уравнение
+
=7
(
-
) +10;
б) Найти корни, принадлежащие промежутку -2; 2].
Решение
При решении уравнения такого вида мы используем формулу квадрата разности:
(a-b)2 = a2 -2ab +b2. Применяя эту формулу, возведем в квадрат скобку, стоящую в правой части уравнения.
( - )2= -2 ∙ + , легко заметить, что в удвоенном произведении множители сокращаются.
( - )2= -3 + ,
+ = ( - )2 +3.
Заметим, что в левой части уравнения можно вынести за скобку 2, получим
2( + )= 7 ( - ) +10;
2(( - )2 +3)= 7 ( - ) +10;
Обозначим - =t, получим уравнение
2(t2+3) =7t +10; 2t2 -7t -4=0; D=81, t=- , t=4.
Вернемся к замене переменного, получим уравнение - =- или - =4.
Решим первое уравнение, обозначим х-2=k, получим уравнение
- = -:
=0;
=0, при 2k 0 k1= -3, k2 =2.
Вернемся к замене переменного, получим x=-1, x=4
Решим второе уравнение, воспользуемся этой же заменой переменного.
- =4,
=0;
Решив данное уравнение, получим k= 4- , k= 4+
x=6- , x=6+ .
б) промежутку -2; 2] принадлежат -1 и 6- .
Ответ: а) -1; 4, б) -1; 6- .
а) Решить уравнение
х
2
-12 +
+2(
-
) = 0
б) Найти корни, принадлежащие промежутку
[-2,
5; 2]
.
Решение
Возведем в квадрат ( -) получим ( - )2= -2 ∙ + , ( - )2= -2 +
+ =( - )2 +2
х2 -12 + +2( -) = 0, в левой части уравнения вынесем за скобку 4 получим
4( - )2 -12 +2( -) = 0,
Обозначим - =t, получим уравнение
4t2+2t -12=0, разделим обе части уравнения на 2
2t2+t -6=0,
t1=-2, t2=.
Вернемся к замене переменного, получим уравнения - =-2, - =.
Корнями первого уравнения являются числа -2- и -2+, второго уравнения и .
б) промежутку [-2,5; 2] принадлежит -2+
Ответ: а) -2- ; -2+; ; , б) -2+.
