РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ. Автор: Куликова Светлана Алексеевна. Работа №328538

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «НЕКЛИНОВСКАЯ ШКОЛА - ИНТЕРНАТ С ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ЛЁТНОЙ ПОДГОТОВКОЙ ИМ. ЧЕТВЁРТОЙ КРАСНОЗНАМЁННОЙ ВОЗДУШНОЙ АРМИИ»

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОЕКТ НА ТЕМУ:

«РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил ученик: Комаров

Сергей Сергеевич

11"Г" класс

Руководитель: Куликова

Светлана Алексеевна

 

 

 

 

 

 

с. Николаевка

 

2022 г.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 3стр.

Глава 1.(теоретическая)

1.1 Историческая справка 4-5 стр.

1.2 Применение производной в физике 5-6 стр.

Глава 2.

2.1 Алгоритм решения задач 7стр.

2.2 Задачи ЕГЭ по физике с использованием производной 7-10стр.

Заключение 11 стр.

Список литературы 12 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

При подготовке к ЕГЭ по физике мы решаем очень много задач. Способов решения очень много. Задачи по кинематике мы можем решать несколькими: аналитический, математический и графический. Но и при решении математическим способом можно использовать различные методы. И один из таких методов: решение задач с помощью производной. Этот метод позволяет более рационально решать задачи по физике.

Цель работы

Цель работы — создать алгоритм и банк задач решения, которых проводятся методом производной.

Задачи

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. подбор задач, которые решаются с использованием производной

2. решение этих задач

3. составление алгоритма решения задач

 

Назначение проекта: разработать алгоритм решения задач. Создать сборник задач, которые можно использовать на уроках физики и математики.

Назначение работы:

Работа может представлять интерес для учащихся сдающих экзамен ЕГЭ по физике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1.

1.1. Историческая справка

Ряд задач дифференциального счисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, но само понятие производной функции возник только в 17 веке, которое ввел Ж.Лагранж, для решения задач по физике, механике и математике, в первую очередь: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле:

Свои результаты в этой области Ньютон изложил в трактате, названным им «Метод флюксий и бесконечных рядов», но его трактат был опубликован лишь посмертно в 1736 году.

В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. К своему изобретению он шел от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.

В 1675 году Лейбниц заканчивает свой вариант математического анализа, усердно продумывает символику и терминологию, отражающую существо дела.

В 1684 году опубликует первую печатную работу по дифференциальному исчислению, озаглавленную «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и рациональные количества, и особый для этого род исчисления»

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. В самом деле, для любой функции y=f (x) в системе координат, на ее области определения можно построить график. Если взять точку на оси абсцисс то, соответственно этой точки можно найти точку на графике функции. В этой точке может быть построена касательная, которая образует с положительным направлением оси абсцисс угол б.

Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались.

Задолго до этого Архимед (287 до н.э. - 212 до н. э) не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

 

Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика И. Тартальи (1499-1557).

В 17в. на основе учения Г. Галилея (1564-1642) активно развилась кинематическая концепция производной. Понятие производной встречается уже у Р. Декарта (1596-1650), французского математика Ж. Роберваля (1602-1675), английского учёного Д. Грегори (1638-1675), в работах И. Барроу (1630-1677).

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь (1661-1704), Бернулли (1744-1807), Лагранж (1736-1813), Гаусс (1777-1855), Коши (1789-1857). Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не дали четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

 

1.2.Применение производной в физике.

Применение производной в физике очень обширно. Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задачах.

Производная в механике

Механическое движение - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

V=s.'/t

Основной характеристикой механического движения служит скороcть.

 

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1. Найти производную s' = f ' (t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

 

Задание. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36 км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t2

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

 

 

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

I=q'(t)

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

E=-Ф'(t)

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Итак, существует связь различных физических величин через производную.

 

 

 

ГЛАВА 2.

2.1. Алгоритм решения задач методом производных

1.Читаем условие задачи

2.Анализируем задачу

3.Записваем дано

4.Решение задачи:

1. записываем исходное уравнение,

2.анализируя какую исходную величину нам надо найти,

3. берем производную уравнения и решаем его,

4 .записываем ответ.

2.2. Задачи ЕГЭ по физике с использованием производной

1.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t2-48t+17 (где х-расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах, измеренное с начала движения).

Найдите ее скорость (м/c) в момент времени t=9c.

Решение:

x(t)=6t2-48t+17 –берем производную x/(t)=v(t)

v(t)=x/(t)=12t-48.

v(9)=12*9-48=60

Ответ:60 м/с

2.Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t)=1/3t3-3t2+2t. Найдите ее скорость (м/с) в момент t=6c

 

3.Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t)=-t4+6t3+5t+23.Найдите ее скорость в (м/c) в момент времени t=3c

 

4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2-13t+23.

В какой момент времени(в секундах) ее скорость была равна 3м/c?

Решение.

x(t)=t2-13t+23.

v(t)=x’(t)=2t-13

3=2t-13

2t=16

t=8

Ответ:8с.

 

5.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/3t3-3t2-5t+3.

В какой момент времени(в секундах) ее скорость была равна 2м/c?

6.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/4t3-4t2+t.В какой момент времени ее скорость была 13м/с.

 

7.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t4+7t3+6t+16. Найдите ее скорость в момент времени t=5c.

 

8.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/4t3-4t2+t. Найдите ее скорость в момент времени t=12 c.

 

9.Закон прямолинейного движения материальной точки равен

x(t)=1/2t2+12t-15. Найдите скорость точки в момент времени t=7c.

 

10.Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

 

11.Тело массой 5кг, движется согласно уравнению x(t) = - 2+ 4t + 3t2 , чему равен импульс тела в момент времени 15с.

Дано: Решение:

m=5кг p=mv

t=15c v(t)=x’(t)=4+6t

x(t) = - 2+ 4t + 3t2 v=4+6*15

Найти: p-? v=94 м/с

p=94*5=470

Ответ:470 Н*с

12.Найти значение кинетическую энергию тела массой 80кг, движение которого описывается уравнением х(t)= 8-6t+0.5t2 , в момент времени 10с.

13.Зависимость координаты от времени для некоторого тела приведена в уравнении x=8t-t2 . В какой момент времени скорость тела будет равна нулю?

 

14. Точка движется по оси Х согласно уравнению х=5+4t-2t2 . Определить координату , в которой скорость точки равна нулю.

 

15.Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяются с течением времени в соответствии с уравнением: q=0,01cos(40пt).Запишите уравнения зависимости силы тока от времени.

 

16. Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура изменяются с течением времени в соответствии с уравнением: q=10 -6sin(10 4 пt).

Определить амплитуду колебаний силы тока в контуре.

Решение:

q=10 -6sin(10 4 пt).

I(t)=q’(t)=4*102 cos(104 t)

 

17.Колебания напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока описывается уравнением u=60sin(103t), где все величины выраженно в единицах СИ. Ёмкость конденсатора 2мкФ. Найти амплитуду силы.

 

18.Ёмкость конденсатора, включенного в цепь переменного тока, равна 6мкФ. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид:

u=40cos(103t), где все величины в СИ. Определить действующее значение силы тока.

Дано: Решение:

С=6*10-6 Ф q=C*U

u=40cos(103t) q=6*10-6 *40cos(103t)= 120*10-6 cos(103t)

Найти: I-? I(t)=q' =120*10-3 cos(103 t)

I= , где i- амплитудное значение тока

i=120*10-3 =0.12

I=0.12/

I=0.86 A

Ответ:0,86А.

19.Индуктивность катушки равна 0,5Гн. Уравнение силы тока проходящего через катушку имеет вид q=10 -6sin(10 4 пt).Найти значение ЭДС индукции в момент времени 0,05с.

 

20.Установите соответствие между зависимостью проекции скорости тела от времени ( все выражения выражены в СИ) и зависимостью координаты от времени(начальная координата равна 0)

 

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу цифры под соответствующими буквами.

 

 

Проекция скорости Координата

А. vx=-2 1. x=-2t

Б. vx=5-t. 2. x=-2t2

3. x=5t -0.5t2

4. x= 5t+0.5t2

 

А

Б

1

3

Ответ:

 

 

21. Установите соответствие между зависимостью проекции скорости тела от времен и зависимость перемещения этого тела от времени для одного и того же движения ( все выражения выражены в СИ).

 

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу цифры под соответствующими буквами.

 

Проекция скорости Координата

А. vx=3-2t 1. sx =5t+2t2

Б. vx=5+4t. 2. s x =5t+4t2

3. sx =3t -3t2

4. sx= 3t+t2

А

Б

 

 

Ответ:

 

 

22. Выражения А и Б определяют зависимость координат двух тел от времени. Установите соответствие между зависимостью координаты тела от времени и зависимостью проекции скорости от времени для этого же тела

(все выражения выражены в СИ).

 

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу цифры под соответствующими буквами.

 

Проекция скорости Координата

А. х =25-4t+3t2 1. vx=25-4t

Б. х=30-6t. 2. v x =6t-4

3. vx =-6

А

Б

 

 

4. vx= 6t

Ответ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В ходе работы над проектом по теме «Решение физических задач с помощью производной» я узнал об открытии производной. Так же повторил её математический смысл и формулы производной, и при решении каких физических задачах мы можем её использовать.

Сделанная подборка задач содержит прототипы задач, которые встречаются в вариантах ЕГЭ, поэтому она может быть использована при подготовке к ЕГЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1."Алгебра и начало математического анализа 10-11 класс": учебник Ш.A Алимов, изд.- M : Просвещение, 2019.

2.Физика "10-11 класс": учебник В.A Касьянов, изд.- M: Просвещение,2018

3.Сборник задач по физике Кирик С А изд.-М :Просвещение, 2016

4. сборники ЕГЭ по физике 2020-2022г.: Демидова , Лукашекова.