Название работы:

Виды уравнений и способы их решения . Автор: Боровинская Софья Алексеевна. Работа №371590

Дата публикации:

29.11.2022

Автор:

Боровинская Софья Алексеевна

Номинация:

Детские исследовательские и научные работы, проекты

Описание:

Мне стало очень интересно много ли способов решения уравнений

Работа:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение Бурейская средняя общеобразовательная школа

Индивидуальный исследовательский проект

«Виды уравнений и способы их решения»

Автор:

Боровинская Софья Алексеевна

Ученица 9 класса

МОБУ Бурейская СОШ

Руководитель исследовательской работы:

Пациора Ирина Александровна

МОБУ Бурейская СОШ

пгт. Бурея

2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………….......3

ГЛАВА1. Виды уравнений и способы их решения … …….......................……...……...5

1.1. Основные понятия и свойства уравнений …………………………………………..5

1.2. Классификация уравнений ………………….…………………………………..…...7

1.3. Стандартные методы решения уравнений ……………..……..………………..…..8

1.4. Нестандартные методы решения уравнений ……….…………………..………….14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………..13

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………………………..…...14

Введение

Мне приходится делить своё время между

политикой и уравнением. Однако уравнение,

по-моему, гораздо важнее, потому что политика

существует только для данного момента,

а уравнение будет существовать вечно.

Альберт Эйнштейн

Практически всё, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением уравнений. Многие обучающиеся, сдающие ОГЭ по математике, мечтают набрать высший балл. Для этого надо уметь решать уравнения, так как умение решать уравнения встречается в нескольких заданиях в КИМ ОГЭ. Поэтому каждому выпускнику важно научиться решать уравнения, выбирая и применяя рациональный способ решения.

Цель работы: изучить виды уравнений и различные способы их решения, научиться применять их при решении.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

- представить классификацию уравнений;

- рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений;

- научиться решать уравнения различными способами;

Объект исследования: уравнения.

Предмет исследования: способы решения уравнений.

Вид проекта: информационно-исследовательский.

ГЛАВА 1. ВИДЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

1.1. Основные понятия и свойства уравнений

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения. Остановимся на основных понятиях.

Тождество - это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв.

Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: a, b, c...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: х, у). В общем виде уравнение может быть записано так: F (х1, х2, …) = 0. В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.

Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.

Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

С алгебраическими выражениями, входящими в уравнения, можно выполнять операции, которые не меняют его корней, в частности:

- к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;

- обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;

- в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному.

1.2. Классификация уравнений

Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.

В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:

- целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

- дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

- иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня;

- с модулем - алгебраические выражения здесь находятся под знаком модуля.

Дробные, иррациональные и с модулем уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого, различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные - второй, а кубические, соответственно, третьей.

1.3.Стандартные методы решения уравнений

Можно выделить следующие общие методы решения уравнений: по формулам, разложение на множители (вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, с помощью формул сокращенного умножения), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

1. Линейные уравнения – это уравнения вида: ах + b = 0, где a и b – некоторые постоянные.

- Если а не равно нулю, то уравнение имеет один единственный корень: х = - b: а ( ах + b; ах = - b; х = - b : а. ).

Например: решить линейное уравнение: 4х + 12 = 0.

Решение: т. к а = 4, а b = 12, то х = - 12 : 4; х = - 3.

Проверка: 4 ( - 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Т. к. 0 = 0, то -3 является корнем исходного уравнения.

Ответ: х = -3

- Если а равно нулю, и b равно нулю, то корнем уравнения ах + b = 0 является любое число.

Например: 0х + 0 = 0;

0 = 0. т. к 0 равно 0, то корнем уравнения 0х + 0 = 0 является любое число.

- Если а равно нулю, а b не равно нулю, то уравнение ах + b = 0 не имеет корней.

Например:0х – 6 = 0;

0 = 6. т. к 0 не равно 6, то 0х – 6 = 0 не имеет корней.

2.Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравне= ние вида ax²+bx+c=0 , где x – переменная, a, b и c – некоторые числа,

причем a≠0.

- Решение квадратных уравнений по формулам:

Например: 4х2 - 16х + 15 = 0.

Решение: а = 4, b = - 16, с = 15, D = b2 - 4ac = (-16)2 - 4·4·15= 16, D> 0, уравнение имеет два различных корня;

Ответ:1,5; 2,5.

- Решение квадратных уравнений со вторым четным коэффициентом по формулам:

- Решение квадратных уравнений по теореме Виета:

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

где старший коэффициент равен единице.

Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по следующей формуле: .

Запомнить эту формулу можно заучив следующий стишок.

P со знаком взяв обратным

На 2 мы его разделим,

И от корня аккуратно знаком отделим,

А под корнем очень кстати

Половина p в квадрате,

Минус q и вот решение небольшого уравнения.

Чтобы квадратное уравнение a привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a, тогда

Если обозначить , , то мы получим уравнение вида

Таким образом: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней.

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента:

- если р< 0, то оба корня положительные;

- если р> 0, то оба корня отрицательные.

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q<0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0 , или отрицателен, если p> 0 .

Например: Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.

Решение. Перейдем к приведенному квадратному уравнению:

х2 – 4х + 3,75 = 0,

q=3,75 > 0 ,имеет два одинаковых по знаку корня

p=-4< 0, оба корня положительные: х1 + х2 = 4, х1 · х2 = 3,75; то х1= 1,5, х2= 2,5

Ответ:1,5; 2,5.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
В числителе b, в знаменателе а.

- Решение квадратных уравнений с помощью свойств коэффициентов:

Пусть дано квадратное уравнение ах2+ bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1= 1, х2 = с/а.

2) Если a – b + c=0, то х1 =-1, х2 = -с/а

Например: х2 - 16х + 15 = 0.

Решение: а+ b+ с = 0  1 + (-16) + 15 = 0, то х1= 1, х2 = 15.

Например: 2х2+ 3х +1= 0. Так как 2 - 3+1=0, значит х1 = -1, х2 =-с/а= -1/2

- Решение неполных квадратных уравнений:

Например:

а) -3x²+15=0 -3x²=-15 x²=5 x₁=√5 x2=-√5

б) 4x²+9x=0 x(4x+9)=0 x=0 или 4x+9=0

4x=-9

x= -2¼

в) 4x²+3=0 4x²=-3 x²=-¾ - нет корней, а значит и 4x²+3=0 –не имеет корней.

3.Биквадратное уравнение (или уравнением четвёртой степени) называется уравнение вида a+bc=0 , где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Решение биквадратного уравнения сводится к обычному квадратному уравнению, вводится замена =t (или другой переменной)

4. Дробно-рациональные уравнения. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, зависящие от переменной x.

Дробно- рациональное уравнение – это уравнение вида f(x)/g(x)=0. Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда она возникает. ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f(x)/g(x)=0 ОДЗ: g(x)≠0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Например: =

ОДЗ:

То есть x≠ - 3;0;3.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения.

Для того чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю.

Затем приравниваем числитель дроби к 0.

x=6

В ОДЗ входят любые значения переменной, кроме -3;0;3. Значит, число 6 является корнем исходного уравнения.

5. Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Чтобы решить иррациональное уравнение, надо просто возвести в нужную степень обе части уравнения, а потом решать его как простое рациональное уравнение. Но не забывать про ОДЗ, подкоренное выражение обязано быть неотрицательным.

Например:

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x2 - 3 = 1;
x2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x1 = -2 - верно:
При x2 = 2 - верно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

6.Уравнение с модулем называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком модуля.

Простейшее уравнение с модулем │f(x)│= a равносильно совокупности

f(x)= a или f(x) = -a, если а больше 0 , если же а меньше 0, то уравнение решений не имеет.

Для решения уравнений с модулем чаще всего используют такие методы:

1.раскрытие модуля по определению;

2.возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3.метод интервалов.

Например:

Решение:

x=-5

x=1

или

D=16-20=-4

D – уравнение корней не имеет

1.4.Нестандартные методы решения уравнений

1) Метод подбора. Это самый простейший способ. Он заключается в том, что подбирают все допустимые значения неизвестного путём перечисления.

Например:

Решить уравнение.

2х + 2 = 6.

Решение.

Пусть х = 1. Тогда

2 · 1 + 2 = 6;

4 = 6. Т. к 4 не равно 6, то наше предположение, что х = 1 было неверным.

Пусть х = 2. Тогда

2 · 2 + 2 = 6;

6 = 6. Т. к 6 равно 6, то наше предположение, что х = 2 было верным. Ответ: х = 2.

2) Графический способ.

Он заключается в том, что строится график функций данного уравнения. Т. к в линейном уравнение у = 0, то график будет параллелен оси ординат. Точка пересечения графика с осью абсцисс будет решением данного уравнения.

Например:

Решить уравнение.

2х + 3 = 7.

Решение.

Пусть у = 7. Тогда у = 2х + 3.

Построим график функций обоих уравнений

3) Разложение левой части уравнения на множители

Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.

Решение. Разложим левую часть на множители:

4х2 - 16х + 15 = 4х2 - 10х - 6х +15 = 2х(2х -5) - 3(2х - 5) = (2х - 5)(2х -3).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(2х - 5)(2х - 3) = 0

Произведение множителей равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. 2х - 5= 0 или 2х -3=0

х=2,5 х=1,5

Ответ: 1,5; 2,5.

4) Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0,где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх +ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда у2 + by + ас= 0.

Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно:

и .

При этом способе коэффициент умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 4х2 - 16х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 4 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 16у + 60 = 0.

Согласно теореме Виета: у1=6, х1 = 6/4, x1 = 1,5

у2 =10; x2 = 10/4; x2 = 2,5.

Ответ:1,5; 2,5.

5) Графическое решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение можно решать и графическим способом. Используя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами. Решим графически уравнение ах2+ bх + с = 0. Оно равносильно уравнению ах2 = - (bх + с). Постоим графики функций y = ах2 и y = - bх - с в одной системе координат (рис.1). В точках х1 и х2 значения обеих функций равна. Следовательно, х1 и х2 являются корнями уравнения ах2 = - (bх + с) и равносильного ему уравнения ах2 + bх + с = 0. Если парабола и прямая пересекаются, то квадратное уравнение имеет два равных корня. Если же парабола и прямая не пересекаются и не касаются, то квадратное уравнение не имеет корней. Уравнение ах2 + bх + с = 0 можно решить иначе, построив параболу y = ах2 + bх + с = 0 и, найдя точки ее пересечения с осью Ох, если D≥0 (рис. 2).

(рис.1). (рис. 2).

6) Разложение на множители способом группировки. При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример: 3+4x-7=0

3+7x-3x-7=0,

x(3x+7)-(3x+7)=0,

(3x+7)(x-1)=0, x=

Заключение

На основании всего выше изложенного можно сделать вывод, что уравнения необходимы в современном мире не только для решения практических задач, но и в качестве научного инструмента. Поэтому так много ученых изучали этот вопрос и продолжают изучать.

Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание всё более полным и совершенным. В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по теме.

Выполненная работа показывает, что использование различных способов при решении уравнений является важным звеном в изучении математики, развивает внимание и сообразительность. Также не менее важно умение правильно выбирать рациональный способ решения конкретно для каждого уравнения.