Методический материал по решению дробно-рациональных уравнений | Авдеева Людмила Николаевна. Работа №317865

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ПРИМОРСКИЙ КРАЕВОЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ"

(ГАУ ДПО ПК ИРО)

 

 

 

 

 

ИТОГОВАЯ РАБОТА

 

 

слушателя программы повышения квалификации «Методика преподавания математики в основной школе: содержание, современные методы и формы обучения»

 

(96 часов)

 

 

 

 

Авдеева Л.Н., МКОУ СОШ с. Новицкое

 

 

 

 

 

 

 

Оценка ___________

2023 г

 

Введение

Изучение уравнений и методов их решения занимает главное место в системе математического образования школьников. Эта тема тесно переплетается с понятием моделирования, которое широко используется при решении различных текстовых задач. В курсе алгебры 8, 9 классов изучение уравнений представляет собой одну из важнейших задач. Учащиеся овладевают умением решать два основных вида уравнений – квадратные и дробно - рациональные. Основное отличие подхода ФГОС ООО от традиционного образования заключается в самостоятельном добывании новых знаний учащимися, в ориентации на практическую и проектную деятельность. В связи с этим возникает необходимость тщательной проработки содержания, методов решения дробно – рациональных уравнений, в соответствии с новыми подходами к практике обучения. Учебный материал по изучению уравнений в 8, 9 классах, является основополагающей частью линии уравнений, поскольку на данном этапе рассматриваются основные виды уравнений, к которым сводятся более сложные уравнения, изучаемые в старшей школе, такие как показательные, логарифмические, тригонометрические. К этим видам и относятся дробно - рациональные уравнения. Поэтому тема "Дробно – рациональные уравнения", является актуальной.

Тип разработки: Практико-ориентированный. Комплексное применение знаний, умений и навыков.

 

Цель: Повышение квалификации и профессионализма учителя, то есть его профессиональной компетентности. Осуществление своей деятельности на достаточном уровне, достижение стабильно высоких результатов в обучении и воспитании.

Задачи:

1.Разработать уравнения, подобрать соответствующие методы решения, разработать подзадач (закрепление, углубление и применение теоретических знаний при решении конкретных уравнений с целью повышения качества знаний за счёт развития познавательной активности) .

2. Систематизировать уравнения, алгоритм их решения.

3.Привлечь учащихся 8-9 кл к апробации.

4.Разработать презентацию для оказания помощи при решении дробно-рациональных уравнений;

 

 

 

 

 

 

 

 

Основная цель применения банка заданий - развитие личности ученика, его способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации, контролировать и оценивать свои достижения, иначе говоря – формирование умения учиться.

Задачи:

Обучающая:

формировать понятия дробно -

рационального уравнения;

рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;

обучить решению дробных раци

ональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;

развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

развитие критического мышления;

развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

 

Что такое дробно-рациональные уравнения 

Определение 

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

 

при  и  в виде выражений, содержащих переменную.

 

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

Пример

Дробно-рациональные уравнения:

 

 

 

 

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

 

 

Способы решения дробно-рациональных уравнений

Приведение дробей к общему знаменателю.

Умножение дробей на общий знаменатель всех дробей.

Введение новой переменной.

Выделение новой переменной.

Метод группировки.

Графический.

 

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

Выписать и определить область допустимых значений

.

Найти общий знаменатель для дробей.

Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.

Записать уравнение со скобками.

Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.

Найти корни полученного уравнения.

Выполним пров

ерку корней в соответствии с областью допустимых значений

.

Записать ответ.

Пример

 

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

 

 

Начать следует с области допустимых значений:

 

 

 

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

 

В результате общим знаменателем дробей является:

 

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

 

 

 

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

 

 

 

Осталось решить квадратное уравнение:

 

 

 

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

 

 

Примеры задач с ответами для 9 класса

Задача 1

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

 

Решение

Проанализируем выражение:

 

 

Определим область допустимых значений:

 

 

 

 

Квадратный трехчлен  следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

 

 

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: . Умножим на этот знаменатель уравнение:

 

 

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

 

 

 

 

 

 

Потребуется решить квадратное уравнение:

5

 

 

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Ответ: 

 

Задача 2

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

 

Решение кнопка подсказка

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

 

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль.

Такие значения необходимо удалить из области допустимых значений

 

 

 

 

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

 

 

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

 

 

 

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Ответ: 5; 6

 

Задача 3

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

 

Решение

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

 

 

 

 

 

 

 

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

Корни квадратного уравнения:

 

 

 

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Ответ: -4

 

 

Задача 4

Найти корни уравнения:

 

Решение

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

 

 

 

 

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

 

Получим уравнение:

 

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной  в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для  в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ:  - любое число, за исключением 3.

 

 

Задача 5

 

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

 

Решение

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

 

 

 

 

Данные значения переменной являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Числитель равен нулю:

 

 

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

 

Задача 6

 

Нужно найти корни уравнения:

 

Решение

Начнем с определения ОДЗ:

 

 

 

 

 

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

 

 

 

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

 

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

 

 

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Ответ: -2.

 

Более сложные уравнения:

Решить уравнение:

 

Решение.

Выпишем ОДЗ:

 

Решим каждое из этих неравенств:

 

Можем объединить эти неравенства в одно:

 

 

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

 

Выполним сложение дробей- для этого разложим знаменатели на множители:

 

 

 

Приведем все дроби к общему знаменателю :

 

Тогда:

 

Дробь равна 0, если числитель равен 0:

 

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

 

Найдем корни квадратного уравнения:

 

Корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 3

Отметим, что для решения дробно- рациональных уравнений можно использовать разные способы.

Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решим первые два примера с дробно - рациональными выражениями.

Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который Вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про ОДЗ.

 

Задание 8 .Решить уравнение:

Решение:

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная   присутствует в уравнении в похожих конструкциях ,которые являются взаимнообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

Тогда:

Исходное уравнение будет иметь вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на  t, при этом t, поскольку :

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

Вернемся к замене:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1;

 

9.Решить уравнение:

Решение:

Выпишем ОДЗ:

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить  через  t , произведем следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Вернемся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на  и получить квадратные уравнения:

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет вещественных корней.

Ответ: 0,5 ; 2

 

10. Решить уравнение 

Сначала в обеих частях уравнения выделим целую часть. Для этого в числителе каждой дроби выделим квадрат знаменателя и выполним почленное деление.

   

Дальнейшие преобразования состоят в получении в каждой части дроби с одинаковыми числителями. Для этого запишем уравнение в виде 

 или 

 Используем свойство пропорции и получим:

х(х2 + 3х + 2) = х(х2 + 7х + 12)

или 0 = х(4х + 10).

Корни этого неполного квадратного уравнения x1 = 0 и х2 = -2,5 являются также решениями и данного уравнения.

Достаточно часто встречаются рациональные уравнения, содержащие модули.

11. Решить уравнение 

Раскроем знаки модулей, рассмотрев три случая.

а) Если х ≤ 0, получаем уравнение  или -х - 3 = -х + 1. Это уравнение корней не имеет.

б) Если 0 < х < 2, получаем уравнение  или  (при этом х ≠ 1), или х - 3 = 1 - х. Корень этого уравнения х = 2 не входит в рассматриваемый промежуток и не является решением данного уравнения.

в) Если х ≥ 2, получаем уравнение  или  (при этом х ≠ 3). Имеем тождество. Поэтому решением этого уравнения являются промежутки

х ∈ [2; 3)U(3; +∞).

Метод группировки

Область допустимых значений :

Сгруппируем первое выражение с последним, второе с третьим.

 

 

 

 

 

Ответ: 0;

12.Графический способ 3/х = 3х

 

Строим отдельно график и у = 3х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания предназначены для систематизации знаний учащихся при подготовке к ГИА.

 

Применение презентации позволяет создавать комфортную образовательную среду на уроках.

Апробация осуществлялась в ходе выступлений на школьных методических объединениях учителей математики и информатики. Разработан комплект заданий повышенного (высокого) уровня сложности для подготовки к ОГЭ по теме "Дробно – рациональные уравнения". Описан поиск решения этих задач (через систему подзадач):

- Учащиеся выполняют практические задачи под руководством учителя (чаще применяется фронтальный метод организации деятельности).

-Учащиеся самостоятельно осуществляют учебные действия по намеченному плану (применяется групповой, индивидуальный методы).

- Учитель осуществляет контроль за выполнением учащимися практической работы.

- Учащиеся осуществляют контроль (применяются формы самоконтроля, взаимоконтроля) .

- Учитель в ходе выполнения и по итогам выполненной работы учащимися осуществляет коррекцию.

- Учащиеся формулируют затруднения и осуществляют коррекцию самостоятельно.

Практическая значимость работы: представленные материалы могут использоваться начинающими учителями математики.

Требования к результатам обучения и освоению содержания темы: личностные (ответственное отношение к учению, сотрудничество со сверстниками, грамотное изложение мысли в устной и письменной форме, критичность мышления, активность при решении заданий),

 метапредметные (умение строить логические рассуждения, преобразовывать знаково-символические средства, умение работать в группе, умение находить информацию для решения математической проблемы, умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач),

предметные (умение работать с математическим текстом, умение выражать свои мысли в устной и письменной формах, владение символьным языком алгебры, умение выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, умение пользоваться математическими формулами, решать дробно – рациональные уравнения и др).

Во время апробации наблюдалось как ученики  реагируют, когда сталкиваются с новыми идеями, данными. И, конечно же, как они реагируют на тупиковые ситуации и затруднения?

О чём думают ученики в тот момент, когда они видят что-то новое?

Учитель ученикам - Наверное, вы обратили внимание, что есть условие, при котором дробно - рациональные уравнения становятся более знакомыми. Дайте друг другу совет: как быстро и без ошибки решить дробно - рациональное уравнение. Какой из методов решения уравнений показался вам наиболее простым и почему (можем вернуться к презентации)? Назовите этап, на котором вы испытывали трудности. Почему? И т.д

Выявлено, что задания доступны для учащихся. Методы решения понятны. Через подзадачи уравнения решаются легко (ответили сильные учащиеся), почти без ошибок.

 

Учитель ученикам «Самая большая ошибка в том, что мы быстро сдаёмся.

Иногда, чтобы получить желаемое надо просто

Попробовать ещё один раз»

Томас Эдисон

 

Продукт

1. Методический материал.

2. Презентация

Применение презентации позволяет

- создавать комфортную образовательную среду на уроках;

-повышение уровня знаний, умений и навыков учащихся, а также самоанализа, самоконтроля;

- успешная сдача ГИА в формате ОГЭ.

 

В процессе работы над проектом повысилась профессиональная компетентность.

 

«Достижения нужно измерять препятствиями, которые вам пришлось преодолеть, чтобы достичь своих целей».

Букер Т. Вашингтон (Booker Taliaferro Washington)

Ресурсное обеспечение

1.Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы под редакцией Т.А.Бурмистрова Москва «Просвещение»2010

2.Алгебра 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений под ред. С.А.Теляковского-16-е изд.-М.Просвещение,2013.

3.CD Алгебра поурочные планы 9 класс по учебнику Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк и др. Издательство «Учитель».

4. УМК авторов А.. Мордкович и др

5.Дидактические материалы 9 класс Москва «Просвещение»2013

6. Компьютер, мультимедийный проектор.

7. Презентация «Дробные рациональные уравнения».

8. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Сдам ГИА. Решу ОГЭ.[Электронный ресурс]. – URL: https://math-ege.sdamgia.ru/