Решение задач на проценты, как средство развития положительной мотивации учения учащихся ☼

Содержание

I.   Введение………………………………………………………………………………………...3

П. Глава 1. Формирование положительной мотивации учения  у школьников…………………………………………………………………………..…….…..4

III. Глава 2. Методический подход к изучению темы «Проценты»……………………………5

2.1.    Усвоение понятия «Проценты» учащимися 5-6 классов…………………………...…..5

2.2.    Особенности развития навыков учащихся 7-9 классов

            при решении задач на проценты………………………………………………………..12

2.3.    Решение задач повышенной трудности на проценты              

              в 10-11 классах…………………………………………………………………..……...13

IV.  Заключение…………………………………………………………………………………..23

V. Список использованной литературы……………………………………….……………….24

I. Введение

Тема «Проценты»- одна из важных составляющих математического образования

В последнее время в связи с новыми подходами к организации и проведению итоговой аттестации выпускников 9-х классов, а также переходам на ЕГЭ, учащимся предлагаются в контрольно-измерительных материалах задачи на проценты, причем не среднего уровня, а достаточно сложные, чтобы решить их без специальной подготовки. Особенно необходимо иметь навыки решения задач на проценты школьникам, решившим поступать в вузы на экономические, финансовые и банковские специальности.

Поэтому перед учителем математики стоит непростая задача: научить обучающихся общим подходам в решении задач на проценты. Этого можно достигнуть только при систематической работе с учениками над этой темой с 5-го по 11-й класс. Так как тему «Проценты» нельзя отнести к легко усваиваемым, то на протяжении всего курса математики необходимо постепенно расширять спектр практических приложений к теме, учитывая возрастные возможности обучающихся, начиная с традиционного подхода к изучению темы в 5-6 классах, продолжая эту работу на уроках в 8-10 классах, и завершая начатую работу при обобщающем повторении к прохождению итоговой аттестации в 11 классе. В докладе изложила систему своей работы с обучающимися по теме «Проценты» с 5 по 11 класс, определив ее основные методические направления.

        П. Глава 1.     Формирование положительной мотивации учения у школьников

Одной из главных проблем современной школы является формирование мотивации учения. Мотивация - это своего рода внутренний мотор, который двигает человека при достижении поставленной цели. Она складывается из многих сторон: смысл учения для ученика, его цели, эмоции, интересы. Поэтому становление мотивации есть не простое возрастание положительного или отрицательного отношения к учебе, а стоящее за ними усложнение структуры мотивационной сферы. В поле зрения учителя должно быть не только то, как учится ученик, но и происходящие в процессе обучения изменения в его личности. Просто говорить о том, что конкретный ученик не хочет учиться, мы не можем. Необходимо выяснить, почему он не хочет учиться, а где мы, взрослые, не научили его так организовывать свое поведение, чтобы мотивация к учению появилась.

Эффективность обучения зависит от того, чему обучают, кто и как обучает, и кого обучают. В обучении равная важность придается профессионализму учителя, а также учету индивидуальных особенностей учащегося, в частности, его мотивации. Иными словами, необходимо учитывать интересы, потребности, стремления, мотивы учащегося.

Изучение, исследование личности учащегося, его учебной деятельности является одним из важных профессиональных аспектов педагогической деятельности учителя.

Мне как учителю необходимо знать о ребенке все: сведения о здоровье, уровень способностей развития психических процессов, личностные качества, социальное положение, особенности личностного развития. Эти знания помогают стимулировать развитие мотивационной сферы учащегося.

Эмоциональный компонент очень важен для повышения уровня мотивации ученика. Поощрять самостоятельность, обращать внимание и постоянно отмечать активность ученика, удачный ответ, правильный способ

выполнения задания, оригинальное решение, использование дополнительного материала необходимо постоянно. Оценку выполненной работы давать так, чтобы она придавала учащимся уверенность в своих силах, свидетельствовала бы даже о небольших достижениях в учебе и настраивала на познавательную активность. На уроках и в повседневном общении строить доброжелательные, открытые отношения с учащимися.

Создание благоприятной психологической атмосферы поддерживает познавательную активность ученика. Для этого необходимо сотрудничество ученика и учителя, создание творческой атмосферы, умелое применение поощрения и наказания в случае необходимости. Эмоциональность речи учителя, познавательные игры, необычная форма преподнесения материала также способствуют повышению уровня мотивации учащегося.

III. Глава 2.  Методический подход к изучению темы «Проценты»

2.1. Усвоение понятия «проценты» учащимися 5-6 классов

Изучение данной темы начинается в 5 классе. «Что такое процент» -это первая тема изучаемой линии. Основная цель данного этапа -сформировать понимать процента как специального способа выражения доли величины, выработать умения обращения обыкновенной дроби в десятичную, десятичной дроби и натурального числа в проценты, решение обратной задачи. В результате, еще до решения основных задач на проценты, ученик должен прочно овладеть достаточно большим набором фактов, которые помогут ему в дальнейшем.

Например: 25% величины - это ^ХА этой величины; половина некоторой величины - это ее 50%; 75% величины - это ³Л этой величины. Усвоение понятия процента помогают практические задания: 1) заштриховать указанную часть круга:

25%                                   50%                            75%                           100%

2) Выбрать для каждого процента соответствующую ему дробь и поставьте стрелки:

                10%                                        1/2

                50%                                        1

                30%                                        1/10

                75%                                        1/4

                100%                                      3/10

                25%                                        3/4

Для успешного усвоения темы «Проценты» и дальнейшей выработке навыка решения задач ученик должен знать, как перевести десятичную дробь и натуральное число в проценты, как записать проценты в виде десятичной дроби. От ученика требуется четкая формулировка этих правил. С целью их закрепления полезно выполнять упражнения:

Правило: Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, ее надо умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо число процентов разделить на 100.

1)             записать в процентах: 0,03; 0,2; 0,01; 4,5; 2.

2)             Записать в виде десятичной дроби: 17%; 43%; 6%; 300%; 2,4%; 5%.

3)             Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных, а потом в виде процентов:

1/2,   1/4,  3/4,  2/5,   17/50.

Когда ученик    достаточно свободно и осознанно владеет понятием процента можно перейти к решению задач.

Существует три основных вида задач на проценты:

1.    Найти число а, составляющее п процентов от числа Ь.
Решение: а =   п/100   * Ь

2.   Обратная задача: найти число Ь, если п процентов от него равно а.
Решение: Ь = а  : п/100

      3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь.

          Решение: п = а/Ь * 100.

            Умение решать задачи на проценты тесно связано с умением решать задачи на отыскание части от целого, а также целого по его части. Анализируя условия и тех и других задач, сначала надо определить, какая величина принята за целое (в задачах на проценты - за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи.

Поэтому в учебниках и 5 и 6 классов перед набором задач, в которых надо найти часть от целого или целое по его части, мы даем учащимся указание.

Прежде чем приступать к решению задачи, ответьте на вопросы:

-    Какая величина принята за целое?

-    Известна ли эта величина?

-    Как найти величину, которая приходится на одну долю?

-    Что требуется найти - часть от целого или целое по его части? Перед задачами на проценты дается аналогичное указание. Прежде чем приступать к решению задачи, ответьте на вопросы.

-    Какая величина принята за 100%?

-    Известна ли эта величина?

-    Как найти величину, которая приходится на 1%?

-    Что требуется найти - процент от числа или число по его проценту? При этом важно, чтобы ученик в случае, если величина, принятая за

100%, известна, при ответе на первый вопрос называл бы не числовое ее значение, а описывал бы величину словами. Например, вместо «50 га» говорил бы «площадь всего поля», а вместо «230 км» - «длина всего пути».

В 5 классе мы рассматриваем задачи на проценты лишь двух типов: на нахождение процента от числа и на нахождение числа по его проценту. Задачи на процентное отношение рассматриваются только в 6 классе после изучения пропорций.

Задачи первых двух типов учащиеся в той или иной мере решают, а задачи третьего типа для абсолютного большинства из них недоступны. Сталкиваясь с задачами третьего типа, пятиклассники обращаются за помощью к родителям, которые решают задачи с помощью той же пропорции.

В 5 классе при изучении темы «Проценты» главное - приучить детей при анализе условия задачи определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина. Если этого не происходит, учащиеся начинают действовать наугад, что приводит к неверному решению.

В 6 классе уровень сложности задач повышается. Сначала возникают задачи с разными процентными базами. Приведем примеры из учебника по математике (Виленкин Н.Я. Математика 5,6).

Задача 1(№281)

Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы:

-   Что принято за 100%?

-   Известна ли эта величина?

-   Какая величина приходится на 1 %?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

-   Что принято за 100%?

-   Известна ли эта величина?

-  Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по
грунтовой дороге и по лесной тропе?

-   Чему равен 1 % этой величины?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге?

-   Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

Задача 2 (№282)

Мотоциклист проехал по шоссе 8 км, что составило 20% всего пути. 45% оставшегося пути он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Ответьте на вопросы:

-   Что принято за 100% в первом предложении, а что во втором?

-   Известны ли эти величины?

-   Чему равен 1 % всего пути?

-   Какова длина всего пути?

-   Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по грунтовой дороге и по лесной тропе?

-   Чему равен 1% этой величины?

-   Сколько километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге?

-   Сколько километров проехал мотоциклист по лесной тропе?

-    Что общего в условиях предыдущих двух задач и чем они
отличаются?

Для учеников основная трудность при выполнении этих заданий заключается в том, чтобы понять: в первом предложении за 100% принята длина всего пути, а во втором - длина грунтовой дороги и лесной тропы вместе (оставшийся путь). Результатом выполнения таких упражнений является осознание учениками того, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

Обучая детей решению задач на проценты, уже в 5 классе знакомят их с методом решения путем умножения (если надо найти процент от числа) или деления (если надо найти число по его проценту) числа на десятичную дробь, соответствующую данному числу процентов. Для этого достаточно показать, что решая задачу в два этапа: сначала находим величину, которая приходится на 1%, затем отвечаем на вопрос задачи, получаем тот же результат, что и в случае умножения (деления) на десятичную дробь.

Мы даем такой способ решения только в 6 классе после того, как, во-первых, учащимися усвоен алгоритм умножения и деления обыкновенных дробей;

во-вторых, разобран, отработан алгоритм решения задач на отыскание части от целого и целого по его части путем умножения или деления данной величины на дробь (обыкновенную или десятичную), соответствующую этой части.

Такой подход к формированию умений решать задачи на проценты находится в единстве с подходами к изучению других тем программы. Знания по изучаемому вопросу формализуются только после того, как учащиеся полностью усвоили все понятия, свободно оперируют терминами, демонстрируют понимание смысла условий и вопросов тех или иных задач и упражнений по данному разделу, осознанно осуществляют поиск решения задачи.

Задача №1

В    школе    800    учеников.    Из    них   46%    приняли    участие    в математической олимпиаде? Решение:

1). Найдем 1% учеников школы: 800:100=8 (уч.) 2). Найдем 46% учеников: 846=368 (уч.)

Решение этой задачи можно представить короче, если перевести 46% в десятичную дробь: 46% - это 0,46, а затем число всех учеников умножить на полученную десятичную дробь, т.е. 800-0,46=368. Ответ: 368 учеников.

Правило  №1

Для того чтобы найти п процентов от данного числа а, нужно: 1). Перевести п процентов в десятичную дробь;

2). Умножить число а на получившуюся десятичную дробь.

Пример 1.                          а). Найдем 17% от 32.

17% - это 0,17; 32-0,17=5,44.         б). Найдем 30% от 1,8.

30% -это0,3; 1,8-0,3=0,54.

Задача №2

 На городскую олимпиаду по математике из всех школ приехали 140 человек, что составило 3,5% всех желавших принять в ней участие. Сколько всего человек хотели принять участие в олимпиаде?

Решение:                                                                                                         

1). Найдем сначала 1% всех желавших:

140:3,5=40 (чел.)

2). Найдем количество всех желавших: 40-100=4000 (чел.)

Можно поступить иначе: перевести 3,5% в десятичную дробь (3,5% -
это 0,035), а затем число учеников, принявших участие в олимпиаде,
разделить на получившуюся дробь, т.е. 140: 0,035=4000.                                      ^

Ответ: 4000 человек.

Правило №2

Для того чтобы найти все число по известной части Ь и числу соответствующих процентов п, надо:

1)        перевести п процентов в десятичную дробь;

2)        разделить Ь на полученную десятичную дробь.                                                ,^>-,.

Пример 2.                                                                                                         ':

а)  Найдем число, если 12% его составляет 66.
66:0,12=550.

б)  Найдем число, если 150% его равны 960.
960:1,5=640.

в)  Найдем число, если 0,2% его равны 5.
5:0,002=2500.

Задача №3

Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 30% годовых. Через год он получил прибыль в 7500 руб. Найдите величину вклада.

Решение:

30% - это 0,3;

7500:0,3=25 000 (руб.)

Ответ: 25 000 руб.

Задача №4

В финале Всероссийской математической олимпиады приняли 200 школьников, из них 24 человека стали призерами. Какой % составляют школьники, ставшие призерами? Решение:

1)  Найдем 1% всех школьников: 200:100=2 (чел.)

2)            Найдем % призеров: 24:2=12%.

Однако можно рассуждать иначе: найдем частное чисел 24 и 200, затем

умножим его на 100, т.е. 24:200-100=0,12-100=12%. Ответ: 12% всех участников олимпиады.

Правило№3

Чтобы найти % числа в от числа а, нужно частное чисел в и а умножить на 100, т.е. в:а-100, или 100в:а.

Пример 3.

а)  Найдем, сколько процентов составляет число 15,57 от числа 90.

15,57:90100=0,173100=17,3%.

б)  Найдем, сколько процентов составляет число 150 от числа 120.
150:120100=1,25100=125%.

2.2. Особенности развития навыков учащихся 7-9 классов при решении задач на проценты.

В программу по алгебре старших классов не входит тема «Проценты»,однако задачи на проценты встречаются в учебнике под ред. Ш.А. Алимова. Уровень сложности этих задач невысок, поэтому  наряду  с  повторением  задач  уже  усвоенными  и  известными способами включаю решение более сложных задач.

Задача №1

Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60%

другого.

Решение:

Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи

составить уравнение.

Пусть х - одно число, тогда (120-х) - другое число. По условию задачи:

0,4х=0,6(120-х)

х=72

120-72=48

Ответ: 72 и 48.

Задача №2

В   иностранном   отделе   библиотеки   имеются   книги   на   английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг, французские - 75% английских, а остальные 185 книг немецкие. Сколько всего иностранных книг в библиотеке? Решение:

Пусть всего в библиотеке х - книг, тогда 0,36х на английском языке и 0,750,36х книг на французском. По условию задачи: 0,36х+0,27х+185=х х=500 Ответ: 500

Важно , чтобы на этом этапе обучения у учащихся не пропал навык решения задач на проценты всех типов, при этом они должны учиться решать более сложные задачи, чем в 5-6 классах.

2.3. Решение задач повышенной трудности на проценты в 10-11 классах.

Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. Предлагаются задачи на дроби и проценты (смеси и сплавы, изменение цен и банковских вкладов), на равномерное движение, совместную работу.

Предлагаемые задачи на проценты достаточно сложны, чтобы решить их без специальной подготовки. Особенно необходимо иметь навыки решения задач на проценты школьникам, решившим поступать в экономические ВУЗы.

Среди текстовых задач особое место занимают задачи, содержащие некоторые величины, подверженные поэтапному изменению, которое составляет определенное число процентов от значения этих величин на предыдущем этапе. Обычно эти задачи связаны с банковскими операциями.

Задача №1 Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 18%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 320 000 рублей? Решение:

Положив в банк некоторую сумму, вкладчик получает 18% от нее, а поскольку сама сумма составляет 100%, то через год на счете оказывается 118% от этой суммы. Поэтому при внесении вкладчиком 320 000 руб. в конце года на его счете окажется 1,18-320 000 = 377 600 руб.

Задача №2

Человек обычно получает за работу «чистыми», т.е. после вычета налога в 13% , но ему интересно узнать, сколько же «по настоящему» стоит сделанная им работа, если он получил за нее 10 870,35 руб.?

Решение:

Для вычисления он должен заметить, что полученная им сумма составляет 100 - 13 = 87 (процентов) от «настоящей» стоимости работы. Решаем с помощью составления пропорции:

х руб.-100% 10870,35 руб. - 87%; х = 1087035 • 100/87 = 12 494,65 руб.  Введем понятие простых и сложных процентов на примере задач, связанных с банковскими операциями.

5 - первоначальная сумма (в руб.)

р% - процентная такса (в %)

Р - процентные деньги (в руб.)

п - время ( в годах)

8_П - наращенный капитал (в руб.)

Проценты называются простыми, если они начисляются только на первоначальный капитал (один раз), и сложными, если они начисляются на наращенный   капитал (несколько   раз).    Сложными   процентами   часто пользуются не только при финансовых вычислениях, но и при подсчете роста народонаселение, размножения одного или другого вида животных или растений, переливании жидкостей и т.п.

Задача

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент

сделал вклад в размере 200 000 руб. Какая сумма будет на его счете через 5

лет?

Решение:

8=200 000 руб.

р=8%

п=5

Через 1 год сумма вклада увеличится на 200 000-0,08=16 000 руб. и составит

200 000+16 000=216 000 руб.

Через 5 лет сумма вклада станет (200 000+200 000-0,08)-5=280 000 руб.

Ответ: 280 000 руб.

Решим теперь задачу в общем виде.

Через п лет проценты составят рп% от S , т.е. рпS/100, а всего за п лет наращенный капитал получается S + рпS/100, т.е.

S_п = S + рпS/100 = (1+рпS/100) S.

Получаем формулу

S_п = (1+рп/100) S.

В сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесенную в банк.

            За первый год нахождения внесенной суммы на счете она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может со счета эти деньги – «проценты», как их обычно называют.

            Если он этого не сделал, то они капитализируются, т.е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются «проценты на проценты». В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах.

            Подсчитываем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счет в банк 1500 рублей и ни разу не будет брать деньги со счета, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:

            10% от этой суммы составляют 0,1*1500=150 рб., и, следовательно, через год на его счете будет  1500+150=1650рб.

            10% от новой суммы составляют 0,1*1650=165 рб., и, следовательно через два года на его счете будет 1650+165=1815 рб.

            10% от новой суммы составляют 0,1*1815=181,5 рб., и, следовательно, через три года на его счете будет 1815+181,5=1996,5 рб.

            Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом» подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчет можно провести значительно более просто.        Именно, через год начальная сумма 1500 увеличится на 10%, и, поэтому новая сумма составит 110% от начальной, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза. Но в следующем году именно новая, увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%, т.е. снова увеличится в  1,1% раза. Следовательно, через два года начальная сумма увеличится 1,1*1,1=1,1² раза.

            Но еще через год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1²*1,1=1,1³ раза.

            Поскольку 1,1³=1,331; 1,331*1500=1996,5, то через три года на счете окажется 1996,5 рб.

            При таком способе рассуждений совершенно понятно, что через пять лет на счете будет 1,1⁵*1500=1,61051*1500=2415,77 рб.

            Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма равна S рб., а сумма, которая будет на счете через п лет, равна  S_пр.

            Р% от S составляют рS/100 рб., и через год на счете окажется сумма S_п = S S₁=S+рS/100 = (1+р/100)S, т.е. начальная сумма увеличилась в 1+р/100 раз.

            За следующий год сумма S₁ увеличится во столько же раз, и поэтому через 2 года на счете будет сумма

S₂ = (1+р/100)S₁ = (1+р/100)(1+р/100)S=(1+р/100)²S.

Аналогично, S₃ = (1+р/100)³S и т.д. Другими словами, справедливо равенство S_п = (1+р/100)^пS.

Это равенство называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Задачи на увеличение (уменьшение) величины процентов

Задача№1

Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12%. Сколько стоит этот товар в магазине? Решение:

I способ: 12% это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет

5500-0,12=660 руб., поэтому товар в магазине стоит 5500+660=6160 руб.

II  способ: Оптовая цена составляет 100%, а цена в магазине

на 12% больше, т.е. она составляет 112%; 112% - это 1.12; 1,12 от 5500 руб. составляет 5500-1.12=6160 руб.

Задача №2

После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 руб. Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение:

Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е.     цена     после     подорожания,     составляет     100%+30%=130%     от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту. Рассуждать можно по-разному: 1)1%- это 52:130=0,4 руб., а 100% - это 0,4-100.40 руб.;

2)           10% - это 52:13=4 руб., а 100% - это 4-10=40 руб.;

3)           130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3

первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40 руб.

Задачи этого типа служат базовыми для успешного усвоения учащимися методов решения других, более сложных задач.

Задача №3

Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?

Решение:

100% - первоначальная цена

100%-40%=60% - цена товара после первого снижения 60-25/100=15% - второе снижение от новой цены 40%+15%=55% - общее снижение Ответ: 55%

Задача №4

 При продаже товара за  1386 тыс .руб. получено  10% прибыли. Какова себестоимость товара? Решение:

Пусть  х  тыс.  руб.  -  себестоимость товара  (100%),  т.к.  получено   10%

прибыли, то 1,1 х (тыс. руб.) - продажная стоимость.

По условию: 1,1х=1386

х=1260

1260 тыс. руб. - себестоимость товара.

Ответ: 1260 тыс. руб.

Задача №5

 Вкладчик взял из Сбербанка 25% своих денег, потом 4/9 оставшихся и еще 64 тыс. руб. После этого у него осталось на сберкнижке 15% всех его денег. Как велик вклад? Решение:

Пусть на счету первоначально было х тыс. руб. Тогда 0,25х тыс. руб. -вкладчик взял первый раз. х-0,25х=0,75х (тыс. руб.) - осталось 0,75x4/9=1/Зх (тыс. руб.) - взял второй раз 0.75х-1/Зх=5/12х (тыс. руб.) - осталось По условию: 5/12х-64=0,15х 16/60х=64 х=240 Ответ: 240 тыс. руб.

Задача №6

За   первый   год   предприятие   увеличило   выпуск   продукции   на   8%.   В следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным? Решение:

х - первоначальный выпуск продукции х-1,08-1,25=1,35х Ответ: на 35%.

Задача №7

 Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 гр. вареного? Решение:

Пусть х гр. - масса сырого мяса 0.35х - теряет при варке По условию: х-0,35х=520 х=520/0,65=800 (гр.) Ответ: нужно взять 800гр. сырого мяса.

Задача №8

Зарплату    повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз? Решение:

Пусть исходная зарплата составляла а руб. Тогда после первого повышения она стала равна а(1+р/100). После второго повышения (на 2%) зарплата стала равна

а(1+р/100)+а(1+р/100)-2р/100=а(1+р/100)(1+2р/100)руб. По   условию   задачи   эта   величина   равна   1,32а.   Получаем   уравнение а(1+р/100)(1+2р/100)=1,32а. Его корнями являются числа -160 и 10. По условию задачи подходит только второй корень. Тогда 2р=20%. Ответ: 20.

Задача №9

 После двух повышений зарплата увеличилась в 1,4 раза. При этом число процентов, на которое повысилась зарплата во второй раз, было в 3 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов повысилась зарплата во второй раз? Решение: а(1+р/100)+(а+р/100>Зр/100=1,43а

первый корень - 10

второй корень - не подходит к условию задачи

Зр=30%

Ответ: 30.

Задача №10

Вклад, положенный в Сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 тыс. руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых? Решение: Пусть х тыс. руб. - первоначальный размер вклада х+25/100=1,25х (тыс. руб.) - в конце первого года 1,25х( 1+0.25)=1,25 х (тыс. руб.) - в конце второго года По условию: 1,25 х=1312,5 х=840. Ответ: 840.

Задачи по экономике

Для  успешного   освоения  и   овладения  методом  решения  этих  задач учащийся должны знать формулу: Продажная   = Себестоимость + прибыль стоимость

Основные методы решения в этих задачах те же, что и в задачах на увеличение (уменьшение) процентов.

Задача№1

 Смешаем два сорта бензина стоимостью по 30 тыс. руб. и 50 тыс. руб. за бочку. Всей смеси получено 1200 бочек, которые были проданы по 44 тыс. руб. за бочку, причем получили 10% прибыли. Сколько бочек каждого сорта взято для составления смеси? Решение: 1). 1200*44=52800 (тыс. руб.) - получено от продажи 1200 бочек бензина.

2). Т.к.  100% - себестоимость бензина, а 100%+10%=110% - продажная

стоимость, то 52800 тыс. руб. - 110%.

х тыс. руб. - 100%

х=4800.

3). Пусть х бочек было по 30 тыс. руб., тогда (1200-х) бочек по 50 тыс. руб.

По условию задачи:

30х+50(1200-х)=4800

20х=12000

х=600.

600 бочек по 30 тыс. руб.

1200-600=600 (бочек) - по 50 тыс. руб.

Ответ: 600 бочек; 600 бочек.

Задача №2

 Прибыль составляет  11   ¹А% продажной стоимости товара.  Сколько это составит от себестоимости товара? Решение:

100% - себестоимость товара

х % - прибыль, тогда (100+х)% продажная цена товара. По условию задачи: х=(100+х) 11%% или х=Ц00+х) 45/(100*4) -> х=12,676%~12,7%. Ответ: 12,7%.

Задача №3

 При продажной стоимости товара 22 руб. за 1кг продовольственный магазин получает 10% прибыли. Если продать этот товар по 18 руб. за 1кг, то магазин понесет убыток в сумме 430 руб. Сколько кг этого товара было в магазине? Решение:

Пусть товара было х кг. По условию: 22х руб. - 100%+10% 18х руб.-100%-430 руб.

2х руб. - 110% -> 100% - 20х руб.

? - 100%    20х=18х+430, х=215.

Ответ: 215кг.

Задача №4

Две шкурки ценного меха стоимостью 22,5 тыс. руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй - 50%? Решение:

Пусть х тыс. руб. стоимость одной шкурки, тогда другой (22,5-х) тыс. руб. 22,5*1,4=31,5 (тыс. руб.) - продажная стоимость двух. По условию задачи: 1,25х+1,5(22,5-х)=31,5 х=9

9 тыс. руб.    22,5-9=13,5 (тыс. руб.) Ответ: 9 тыс. руб., 13,5 тыс. руб.

Задачи на производительность труда                                                             '

Задача №1

Один из рабочих выполнил пятилетний план за 3 года 4 мес. На сколько процентов он перевыполнил тот план, который был намечен на 3 года 4 мес? Решение: 5 лет-100% 3 года 4 мес. - х% х=(3 1/3*100)/5=66 2/3% 100-66 2/3=33 1/3. Ответ: на 33 1/3%

Задача №2

Рабочий день уменьшился с 8 до 7. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата выросла на 5 %?

Решение:

Производительность        Количество часов      Заработная плата

100%                                                8ч.                                     хруб.

(100+а)%                                          7ч.                                     1,05хруб.

Составим пропорцию: х/8=1,05х/7(1+а/100) 8,4х=7х(1+а/100) 1+а/100=8,4х/7х а/100=1,2-1 а=20. Ответ: на 20 %.

Задача №3

Двое рабочих смену вместе изготовили 72 детали. После того как первый рабочий, а второй - на 25%, вместе за смену они стали изготавливать 86 деталей. Сколько деталей изготавливает каждый рабочий за смену после повышения производительности труда? Решение:

Пусть х деталей изготовил первый рабочий, тогда другой (72-х) деталей. По условию задачи: 1,15х+1,25(72-х)=86 х=40.

40* 1,15=46 деталей изготавливает первый рабочий. 1,25(72-40)=40 дет. изготавливает второй рабочий. Ответ: 46 дет; 40 дет.

Задача №4

 Вследствие реконструкции оборудования производительность труда рабочего повысилась дважды в течение года на один и тот же процент. На сколько процентов возрастала каждый раз производительность труда рабочего, если он сначала вырабатывал изделий на 25 тыс. руб., а после реконструкции - на 28,09 тыс. руб.

Решение:

25х²=28,09

х=±1,06

х=-1,06 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: на 6%.

Задачи на сплавы и смеси

Задачи на «концентрацию», «сплавы» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

При решении задач этого типа учащиеся могут воспользоваться предложенным алгоритмом для составления системы уравнений.

Алгоритм решения задач на сплавы и смеси:

1.  Обозначьте буквами количество растворов соли разной концентрации.

2.              Запишите   уравнение,   связывающее   эти   две   величины   и   общее количество раствора.

3.              Определите количество соли в получившемся растворе.

4.              Запишите уравнение, связывающее количество соли в растворах разной концентрации и получившемся растворе.

5.              Составьте систему и решите ее.

Задача №1

 В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл. раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? Решение: Решим задачу с помощью системы уравнений, используя следующий план:

1) Обозначим буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли:

х мл.-60%-го

у мл. - 80%-го;

2)     Запишем   уравнение,   связывающее   эти   две   величины   и   общее
количество раствора: х+у=35;

3)   Определим количество соли в получившемся растворе:
35*0,72=23,04 мл;

4)   Запишем уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-
ном и получившемся растворах: 0,6х+0,8у=23,04;

5)   Составим систему и решим ее
х+у=35                                           х=24,8
0,6х+0,8у=23,04                               у=10,2
Ответ: 24,8 мл; 10,2 мл.

Задача №2

 Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй - 55%. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100 л. 50%^го раствора азотной кислоты? Решение:

Пусть первого раствора нужно взять х л., тогда второго - (100-х) л. По условию задачи: 0,Зх+0,55(100-х)=100*0,5 х=20 Ответ: 20 л.

Задача №3

Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того как из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества стало столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси? Решение: х кг - первого вещества

(18-х) кг - второго вещества 0,6х=0,75(18-х) х=10,у=8. Ответ: 10 кг, 8 кг.

Задача №4

 Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 гр. золота и 20 гр. меди, а второй слиток - 240 гр. золота и 60 гр. меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 гр. сплава, в котором оказалось 84% золота. Определите массу (в гр.) куска, взятого от первого слитка. Решение:

1)   определим  %  содержания золота в  первом  и  во  втором  слитке 230/250* 100%=92%; 240/300* 100%=80%.

2)                   Составим систему уравнений по условию задачи, обозначив за х гр. кусок первого слитка, у гр. - второго.

0,92х+0,8у=0,84*300     х=100    х+у=300        Ответ: 100 гр.

IV. Заключение

Формирование умственной культуры мышления - одна из важных проблем математического образования школьников.

Одна из основных целей работе каждого учителя математики состоит в том, чтобы научить обучающихся решать любую математическую задачу. Для этого все действия учителя должны быть направлены на развитие мышления учащихся, на обучение их эффективным приемам умственной деятельности, обучению умению выделять главное, существенное в задаче и ее решении. По мнению психологов и дидактов, в школе невозможно (и не нужно) рассмотреть все виды математических задач. Важно вооружить обучающихся общим подходам к решению любых задач. Не количество решаемых задач, а метод подхода к их решению определяет обучающий эффект.

Поэтому в процессе обучения из всего разнообразия задач на проценты, старалась выбирать наиболее типичные, узловые, доступные на первом этапе решения и знакомить школьников с общим принципом, подходом к решению задач определенного типа, со своеобразным алгоритмом решения. В этом особенно нуждаются слабо успевающие в математике ребята.

Далее формируем у них общий подход к решению любых задач и усваиваю с ними знания, необходимые для их решения: о структуре задачи, об этапах их решения, о ведущих методах решения задач.

Особо ценным считаю этап работы с уже решенной задачей, что особенно важно для развития учеников. На мой взгляд, это формирует один из важных приемов мыслительной деятельности обучающегося - умение обобщать.

Таким образом, только кропотливая, последовательная работа по развитию культуры мышления школьников помогает реализовать основную цель учителя - научить их учиться. Такой подход к изучению темы «Проценты» позволил достичь мне определенных результатов в работе. Данный доклад, несомненно, является ценным методическим пособием для практического использования в процессе преподавания математики, особенно для молодых учителей.