Решение задач по физике на законы сохранения им пульса и энергии ☼
Автор: Горбушин Николай Николаевич
Решение задач на законы сохранения импульса и механической энергии (10 класс).
Выполнил
Горбушин Николай Николаевич
Идентификатор:300 339 209
Разминка
. Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке.
Модуль импульса первого тела равен , а второго тела равен . Чему равен модуль импульса системы этих тел после их абсолютно неупругого удара?
1) 2) 3) 4)
Если при увеличении модуля скорости материальной точки величина ее импульса увеличилась в 4 раза, то при этом кинетическая энергия
1) увеличилась в 2 раза
2) увеличилась в 4 раза
3) увеличилась в 16 раз
4) уменьшилась в 4 раза
Танк движется со скоростью , а грузовик со скоростью . Масса танка . Отношение величины импульса танка к величине импульса грузовика равно 2,25. Масса грузовика равна
1) 1 500 кг
2) 3 000 кг
3) 4 000 кг
4) 8 000 кг
Гладкая лёгкая горка массой M с двумя вершинами высотой h и 4h, покоится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). На правой вершине горки лежит массивная шайба массой m. От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать с горки в лево. Чему будет равна скорость шайбы, когда она окажется на левой вершине горки? При движении тел шайба не отрывается от горки, а горка — от стола.
Используя какие законы физики эту задачу можно решить?
В этой задаче рассматривается неравномерное криволинейное движение тела, причём равнодействующая приложенных к телу сил изменяется со временем: действующая, например, на монету сила тяжести остаётся постоянной, а вот сила нормальной реакции со стороны горки изменяется и по модулю, и по направлению. Исследовать такие сложные движения с помощью законов Ньюто на в рамках школьного курса физики не удаётся. Поэтому единственный способ решать такие задачи – это использовать законы сохранения механической энергии и импульса.
Но их можно использовать только в замкнутой системе. Система тел горка–шайба НЕ ЗАМКНУТА: шайба взаимодействует с Землёй, а горка – не только с Землёй, но и со столом.
Как быть?
Абсолютно замкнутых систем тел в природе вообще не существует. Закон сохранения механической энергии можно применять, во-первых, тогда, когда внешними силами, то есть силами взаимодействия тел данной системы с другими телами, можно пренебречь по сравнению с внутренними силами, то есть силами, действующими между телами самой системы. А в нашем случае тел на самом деле не два, а три, потому что в систему взаимодействующих тел входит ещё и Земля. В нашей задаче главными «действующими лицами» являются горка, шайба и Земля. Действия других, «внешних», тел мы считаем пренебрежимо малыми. Во вторых важно, чтобы среди внутренних сил системы не было силы трения. Вследствие трения механическая энергия уменьшается, превращаясь во внутреннюю энергию: тела нагреваются. Слова гладкая горка и гладкий стол подразумевают, что трением можно пренебречь.
Внешние силы, действующие на горку и шайбу, – это сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны стола. Но обе эти силы направлены вертикально. По этому горизонтальная проекция каждой из них равна нулю. А это означает, что они не могут изменить горизонтальную проекцию суммарного импульса нашей системы горка–шайба.
Следовательно при решении этой задачи мы можем использовать эти законы.
Идея решения
В начальном состоянии шайба и горка покоятся: их скорости, v и V соответственно, равны нулю. Поэтому равен нулю и импульс каждого из этих тел. Следовательно, равна нулю и проекция p1x их суммарного импульса на ось x.
Когда шайба находится на левой вершине, её скорость направлена влево, поэтому проекция её импульса на ось x отрицательна. Но проекция суммарного импульса системы горка-шайба на ось x по-прежнему остаётся равной нулю. Это означает, что проекция импульса горки на ось x положительна, то есть горка движется, причём вправо.
Используя законы сохранения энергии и импульса, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными — это скорость горки и скорость шайбы в конечном состоянии (когда шайба находится на левой вершине). Из этой системы уравнений найдём конечную скорость шайбы.
План решения
1. Запишем закон сохранения импульса для системы горка–шайба.
2. Запишем закон сохранения механической энергии для данной системы.
3. Из полученной системы уравнений найдём скорость шайбы.
Подробное решение
1. Как использовать закон сохранения импульса?
Проекция суммарного импульса системы горка–шайба на ось x сохраняется, то есть остаётся равной нулю. mvx + MVx=0
Выведем соотношение для модулей скорости шайбы и горки с учётом выбранного направления оси x.
2. Как использовать закон сохранения энергии?
В начальном состоянии суммарная кинетическая энергия Ek1 системы равна нулю: горка и шайба покоятся. Потенциальная энергия системы Ep1 в начальном состоянии определяется массой шайбы и высотой, на которой находится шайба. Полная механическая энергии системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии.
Запишем выражение для суммарной кинетической энергии Ek2 системы в конечном состоянии: оба тела — горка и шайба — движутся (в противоположные стороны) , поэтому каждое из них обладает кинетической энергией.
Запишем выражение для потенциальной энергии Ep2 системы. Запишем выражение для полной механической энергии E2 системы в конечном состоянии.
Согласно закону сохранения энергии
:
3. Как составить и решить систему уравнений?
Из второго уравнения:
Подставим в первое уравнение и получим:
Ответ
Задачи для самостоятельного решения
1. В системе, изображенной на рисунке, масса левого груза, лежащего на гладкой горизонтальной плоскости, равна m = 3 кг. Масса правого груза, скользящего по плоскости с некоторой скоростью V, равна M = 6 кг. Грузы соединены неупругим невесомым ненатянутым вначале шнуром, таким, что после его натяжения скорости грузов выравниваются. Сколько процентов начальной кинетической энергии системы будет потеряно во время выравнивания скоростей тел?
Решение.
В горизонтальном направлении система тел не подвергается действию внешних сил, и по закону сохранения импульса суммарная горизонтальная проекция импульса тел системы сохраняется: MV = (m+M)v, где v – скорость системы после выравнивания скоростей тел в результате их неупругого взаимодействия через шнур.
Начальная кинетическая энергия системы равна
Потери ΔEк кинетической энергии системы в процессе выравнивания скоростей тел равны разности кинетических энергий тел системы до и после их взаимодействия:
Таким образом, во время выравнивания скоростей тел будет потеряно
начальной кинетической энергии системы.
Ответ:
2. Снаряд массой 4 кг, летящий со скоростью 400 м/с, разрывается на две равные части, одна из которых летит в направлении движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличилась на величину . Скорость осколка, летящего по направлению движения снаряда, равна 900 м/с. Найдите .
Решение.
Введем обозначения: — масса снаряда до взрыва; — модуль скорости снаряда до взрыва; — модуль скорости осколка, летящего вперед; — модуль скорости осколка, летящего назад.
Система уравнений для решения задачи:
Выразим из первого уравнения: и подставим во второе уравнение. Получим:
.
Отсюда следует:
Ответ:
3.Снаряд, движущийся со скоростью , разрывается на две равные части, одна из которых продолжает движение по направлению движения снаряда, а другая — в противоположную сторону. В момент разрыва суммарная кинетическая энергия осколков увеличивается за счёт энергии взрыва на величину ΔЕ. Скорость осколка, движущегося вперёд по направлению движения снаряда, равна . Найдите массу m осколка.
Решение.
Для системы выполняются законы сохранения импульса и энергии (не механической энергии, а просто энергии, так как в данном случае внутренняя энергия взрывчатого вещества переходит в кинетическую энергию осколков):
Здесь — скорость второго осколка после взрыва. Решая систему из двух уравнений, для массы осколка получаем
Ответ:
