История возникновения квадратных уравнений. Автор: Кондалова Дарья Андреевна ☼. Работа №371588

 

 

 

 

 

 

«История возникновения квадратных уравнений»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Кондалова Дарья Андреевна,

ученицы 9В класса МОБУ «Бурейскай СОШ»

Руководитель: Пациора Ирина Александровна

 

 

 

Содержание

 

I. История возникновение квадратных уравнений ……………………….

 

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………..

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………...

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми ………………………………

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв………………..........

6. О теореме Виета ………………………………………………………

 

II. Способы решения квадратных уравнений ……………………….

Способ………………………………………………………………

Способ………………………………………………………………

Способ………………………………………………………………

 

III. Заключение…………………………………………………................

 

Литература………………………………………………………………….

 

 

 

 

История возникновения квадратных уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

 

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X2 + X = ¾; X2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные текста приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

 

 

 

 

 

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

 

Задача 1. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

или же:

100 - х2 = 96

х2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

 

у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения .

 

 

 

 

 

 

3. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах2 + bх = с, а 0

В уравнении коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 2.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась.

Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал двузначности корней квадратных уравнений о 

(рис. 1).

 

Соответствующее задаче 2 уравнение:

(x/8)2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

 

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х1 = 16, х2 = 48.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Квадратные уравнения у ал - Хорезми.

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Приведем пример:

Задача 3. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

 

 

 

 

5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. О теореме Виета.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A2, равно BD, то A равно В и равно D».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х - х2 = ab,

т.е.

х2 - (а + b)х + аb = 0,

то

х1 = а, х2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

 

Итак: Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

 

 

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

• Примеры.

а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 - 4ac 0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

 

б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корень;

   Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac , уравнение

ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула1 корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула 1 выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

 

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0

Ег о корни удовлетворяют теореме Виета,котораяпри  а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р , то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.

Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 0 и p = - 3

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 0 и p= 8 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p , или отрицателен, если p= 0 .

Например,

x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 и p = 4 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 и p = - 8

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

 

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Пример.

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1  = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у 2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

 

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

С огласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

x1x2 = 1• c/a.

П о условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = - 1• ( - c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

 

 

 

 

• Примеры.

Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

• Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение

х2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

 

 

Принимает вид:

 

Формулу особенно удобно использовать, когда р — четное число.

• 

 Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7±

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

 

Если в уравнении

х2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х2 = - px - q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.3). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

 

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

• Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0(рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = - 1;

х2 = 4.

(рис.5)

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

 

 

 

3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 6).

 

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

 

Заключение

 

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Наша работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1. С.М.Никольский, М.К.Потапов.8 класс. - М., Просвещение, 2017.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.

Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.